Том 1 (1160083), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для формулы Гаусса для интерполирования вгеред узлы брались в следующем порядке: хй, хе+ )г, хй — 1г, хе+ 2)г, хй — 2)г, ... Поэтому у!й и (г) Йги 2 ~ г (х — хй) (х — хе Й) (х — хе .+ и)... ... (х — х„— лп) (х — х, -1- пй), ~ 7) ФОРмулы, использующие центРАльные РАВБОсти !87 Грубые оценки примут вид: уале1 узв Ра„-1 — 2, Г !г' — ! ') (Г' — 2 )... (Г' — (и — !)'1 (7 4- и) (18) (19) Производные, входящие в оценку, целиком определяются выбранной функцией 7(х). Множители при этих производных зависят от выбранной формулы интерполирования.
Приведем здесь таблицу абсолютных значений этих множителей при изменении Г от — 1 до 1. Индекс и означает степень взятого нами интерполяционного много- члена. В левом столбце даны значения 7 к формуле Гаусса для интерполирования вперед, в правом — для интерполирования назад. 4 Сравнивая с соответствующими значениями множителей для интерполяционных формул Ньютона, приведенными на стр. 124, мы видим, что формуле Гаусса нужно отдать предпочтение.
Объяснение этому факту давалось нв стр. 94 — 96. Мы пользуемся в первом случае крайними чзстями приведенных там графиков, в последнем †средни. Это дает нам основание отдать формулам Гаусса предпочтение, Однако имн не всегда удается воспользоваться. действительно, если значение х, для которого нужно произвести интерполирование, находится вблизи начала нли конца таблицы, то нам не будут известны разности, необходимые — 1,Π— 0,9 — 0,8 — 0,7 — 0,6 — 0,5 — 0.4 — О,З вЂ” 0,2 — 0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 О,б 0,7 0,8 0,9 0,86 0,72 0,60 0,48 0,38 0,28 0,20 0,12 0,06 0,00 0,045 0,080 О,Иб 0,120 0,125 0,120 0,105 0,080 0,045 0,000 0,028 0,048 0,060 0,064 0,062 0,056 0,046 0,032 0,016 0,000 0,016 0,032 0,046 0,056 0,062 0,064 0,060 0,048 0,028 0,000 0,020 0,034 0,040 0,042 0,039 0,034 0,026 0,018 0,008 0,000 0 008 0,014 0,020 0,022 0,023 0.022 О,ОЮ 0,014 0,008 0,0000 0,0046 0,0081 0,0104 0,0116 0,0117 0,0108 0,0089 0,0063 0,0033 0,0000 0,0033 0,0063 0„0089 0,0108 0,0! 17 0,0116 0,0104 0,0081 0,0046 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 — О,! — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0.5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 138 теОРиЯ интегнолиговання и некОтОРые ее пРилОжениЯ (гл.
2 для использования формул Гаусса. В этих случаях мы будем вынуждены применять формулы Ньютона. Если х находится вблизи начала таблицы, используют формулу Ньютона для интерполирования вперед, если вблизи конца таблицы — для интерполирования назад. В остальных случаях применяют либо формулы Гаусса, либо формулы, полученные путем преобразования формул Гаусса. Формула Эверетта получается путем исключения разностей нечетного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед. Поэтому и остаточный член ее будет таков же, как и у формулы Гаусса для того случая, когда последняя использованная там разность имеет нечетный порядок 2и-+1, следовательно, остаточный член ее будет иметь вид )та„~ = 2- — —..--, $(1Я вЂ” 1') (1а — 2')... (Р— и') (1 — и — 1). (20) Рассмотрим теперь неустранимые погрешности формул Гаусса.
Для этого выберем из таблицы, приведенной на стр. 97, нужные нам значения коэффициентов при р, учитывая определение 7 для обеих формул (и, как и прежде, будет означать степень интерполяционного многочлена). Левый столбец 1 будег относиться к формуле Гаусса для интерполирования вперед, правый — к формуле Гаусса для интерполирования назад. и 1 ~ 2 ~ 3 ~~ 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,62 0,62 0,62 0,60 0,58 0,54 — 1,0 — 0,9 — 0,8 — 0,7 — 0,6 — 0,5 — 0,4 — 0,3 — 0,1 о,о 0,1 0,2 0,3 О,'4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 ~ 0,5 1,4 ~ 0,54 1,3 0,58 1,2 0,60 1,1 0,62 1,0 0,62 0,9 ~ 0,62 0,8 ', 0,60 0,7 , '0,58 О,ь ' 0,54 0,5 ~ ~0,5 0,5 ! 0,54 0,5 0,58 0,5 ~ 0,60 0,5 0,62 0,72 0,78 0,8! 0,81 0,79 0,74 0,68 0,59 0,5 0,54 0,58 0,60 0,62 0.62 0,62 0,60 0,58 0,54 0,5 0,5 0,57 0,62 0,66 0,69 0,70 0,69 0,66 0,62 0,57 0,5 0,57 0,62 О,бб 0,69 0,70 0,69 0,66 0,62 0,57 0,5 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 — 0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 а 7! эогмулы, использующив цвнтвальные влзности ~зй Как мы видим и неустранимые погрешности для формул Гаусса меньше, чем для формул Ньютона.
Перейдем теперь к оценке погрешности интерполяционной формулы Стирлинга. Она является полусуммой формул Гаусса. Поэтому и остаточный член ее будет равен полусумме остаточных членов формул Гаусса. Отсюда )7 = /г'"э' ' ' г ((г — 1') (гг — 2') . (!г — и') г» 2 (2и+ 1)!' и так как производная ~"» н(г) наряду с утз" гн((,) и У<з»»н((г) принимает все промежуточные значения, а среднее арифметическое двух чисел всегда заключено между наибольшим и наименьшим из пих, то у1з»эц (г ) ! у1з»ч-ц (г ) 2 аз»тгу1з»эп (о) Я (2и -1- 1)1 ((Р— 1') (Р— 2'); .. (Р— и'), (21) Если последняя из использованных в формуле Стирлинга разностей имеет нечетный порядок, то остаточный член будет иметь вид дз» (Р— (и — 1)г) (У'з»' ($~) (( — и) + У "»' (Цг) ((+ и)), (22) Получилось более сложное выражение, чем в предыдущем случае, и его не удается упростить так, как это было сделано в первый раз.
Однако если предположить, что 71г»> (х) постоянна или хотя бы что она меняется незначительно на рассматриваемом промежутке, то, заменяя Рз»1((,) н 71г»1(г) некоторым значением утз»1(1), получим: дз»у(г»> (о) Яг —, гг (гг 1г) ф 2г) [гг (и 1)г! (22 ) (2и)! Грубые оценки остаточных членов для формулы Стирлинга будут иметь вид: уз»» 1 о ! 1г !о) (р 2г) ф — и'), (23) г» (2и+ 1)1 уз» о г, П) ((г 2г) ((г (и 1)'), (24) Дадим и для этого случая таблицу абсолютных значений коэффициентов при йзутю(г) в остаточном члене формулы Стирлинга. Для того случая, когда берется формула Стирлинга, оканчивающаяся на Разностях нечетного порядка, будем предполагать, что возможны упрощения, которые мы проделали.
(и, как и всегда,— степень интерполяциониого многочлена.) 140 твогия интвгполиговлния и нвкотогыа вв пгнложания ]гл. 2 2 4 о,о о,ооо 0,2 0,020 О',З ] 0,015 О.О8О 0,125 О 180 0,245 О,520 0,405 0,500 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 О,'9 1',О Лля отринательных 1 получатся значения, симметричные относительно !=О. Сравнивая приведенные значения с соответствующими значениями для формул Гаусса, видим, что при четных п значения одинаковы, а при нечетных а и при 1, близких к нулю, значения получились значительно меньшими Правла, последнее имеет место при почти постоянных соответствующих производных.
Вообще говоря, (бормулу Стирлинга выгодно арименять, останавливаясь на разностях нечетного порядка, и при значениях (, близких к нулю. 1 На практике ее применяют для значений ]г] ( 4 . Перейдем к формуле Бесселя. Ее мы получили как полусумму формулы Гаусса для интерполирования вперед и формулы Гаусса для интерполирования назад, но взятой со сдвигом на один шаг вперед. Для последней формулы остаточный член можно записать в одной из следующих двух форм: две-~-1 )7г = (2и+ 1)1 утгятп (») С БР 1г) ((г 2г) ..
]Р— (и — 1)'] (~ — и) (7 — и — 1), дг" — у»~ ) (»)1(7г 1)(Р— 2г) ., ]Р— (а — 1)г](1 — и). Беря полусумму этих остаточных чяенов и соответствующих им остаточных членов формулы Гаусса для интерполирования вперед, получим остаточные члены формулы Бесселя: Л~" Йгч 2 1У чь 1(»1) 0 а !)+У~~к~ о(» )(» + а)]Х Х 1(Р— 1) (Р— 2г) .. ]Р— (и — 1)г) (Š— и), (25) Ь|Ф 1 , )згя-1= (2~)) 2 ]У~ ' (11) +Р (»г)] 7 (т 1 ) (Г 2 ) ° [(г (и — 1)г] (( — и) (26У о,ооо 0,016 О,'О52 0,045 0,056 0,062 О',064 О,О59 0,048 О,О28 о,'ооо О,ОО0О О',0004 0,0016 О,'ОО84 0,0056 0,0078 О',ОО96 0,0104 О,ОО96 о,а67 о',оооо о,оооо 0,0088 0,0068 0,0089 О,О1О7 О,О1П 0,0116 0,0104 0,0081 0,0045 о,оооо 4 7) чогмглы, использгющив цвнтглльныв глзности 141 Предполагая опять, что производная 7>а"+и(".) либо постоянна, либо меняется незначительно в рассматриваемом промежутке.
мы можем упростить первое выражение (25) и записать: азчь> >2е" 2 1 ' г>з"ч»Г) г'(Р 1а) (Р 2з) ... (Р— (и — 1)а) (à — и) (à — — ) . (25') '2) ' Последнее выражение (26) упрощается, так же как и для формулы Стирлинга, путем использования свойства среднего арифметического и свойства производных. Оно может быть записано в виде ааач = —, У>з" > (1) Г (Р— 1Я) (Р— 2з)...
[Р— (и — 1)з)(à — п). (2б') Грубые оценки остаточных членов записываются в виде узле> Й вЂ” ' Г (Р— 1Я) (Р— 2')... (2п+ 1)! ... (Р— ( — 1)') (1 — ) (( — — ~1, (27) 27' Ра„> — '*, Г (Р— 1') (Р— 2а)... (Р— (п — 1)з) (à — и). (28) (2л)! 1 Здесь бросается в глаза следующий факт. При г= — упрощенное выражение для >тз„ обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
