Том 1 (1160083), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(л+ 1)! (11) Опять ответ получился с шестьТо верными десятичными знаками Мы получили две новые формулы интерполирования и несколько позже получим еше ряд таких формул. Но нужно твердо помнить, что каждая из них является другой формой записи интерполяционного многочлена г!агранжа.
Поэтому, если отвлечься от различия в обозначениях и в форме записи, все эти формулы тождественны. При этом, конечно, предполагается, что в них использованы одни и те же узлы интерполирования, Однако специалисты-вычислители применяют в различных случаях разные формулы. Дело связано с тем, что обычно бывает удобнее вести вычисления, сли при интерполировании сначала используются ближайшие к х узлы, а затем постепенно подключаются все более удаленные.
При этом первые члены интерполяционных формул дадут основной вклад в искому1о величину, а остальные будут давать лишь небольшие поправки, В этом случае легче избежать просчетов, легче установить, на какой разности следует закончить вычисления. Чаше всего интерполяционные формулы для равных промежутков применяют для значений Г, не выходящих за пределы промежутка ( — 1, 1!. Но так как Г в различных интертюляционных формулах имеют различный смысл, то разные интерполяционные формулы будут использовать разные участки изменения х в иитерполяциоиной формуле Лагранжа. В 6 3 мы видели, что точность интерполирования на разных участках изменения х разная.
В этом смысле мы можем сравнивать по точности различные интерполяционные формулы. ~ 6) ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ 123 Для второй у(".Н)6) )с =(х — хе)(х — х .+)1)... (х — ха-+ий) В (и+ 1)! лч.Р1уш ~. и (() Г(г+-1)... (г+и). (12) 1 шея (() у(хе., хе-(-и;; хз-(-(и.+1)и)= 11. (13) С другой стороны, н-Р! ~в+м У'(хз; хе+А; ...; х, » (и ( 1)й) — ' (14) а"" (и+1)1 ' Считая, что на рассматриваемом отрезке производная (1""п(х), следовательно и разности УР+', меняется не сильно, мы можем заменить производную, входящую в остаточный член, разностью и получить Г(т — 1) ... К вЂ” и) ШРП (и+1)~ Аналогично для второй формулы (15) (16) Нужно еще раз подчеркнуть, что полученные формулы очень грубы н применять их можно только в случае крайней необходимости.
Если не выполнено условие о том, что производная меняется незначительно, то можно получить совершенно нелепый результат. Так, наприиер, рассмотрим функцию ((х) = х+ и з(п кх, и пусть в качестве узлов интерполирования использованы целочисленные значения х; = О, + 1, + 2, ... Тогда разности ведут себя очень хорошо и уже, начиная со второго порядка, точно равны нулю, Слеловательно, на основании грубой оценки мы получили бы, что .Т(х) — линейная функция. Однако на самом деле х.+ й а(ппх при больших й будет сильно отличаться от линейной функции. По грубой оценке ошибка интерполяционной формулы равна п~рвому отброшенному члену.
В некоторых случаях, особенно когда значения Уч получены из эксперимента, бывает очень трудно оценить величину производной у("ч-и (с). дадим здесь простой, хотя и очень грубый способ такой оценки. Как известно из предыдущего параграфа, 124 теоеия интаеполиговлния и некотогые аи пгиложания )гл. 2 Для того чтобы можно было сравнивать по точности различные интерполяционные формулы, приведем здесь значения коэффициентов Г (à — 1) ... (т — л) (и+ 1)! для значений г на отрезке [ — 1, 1). Мы их будем брать по абсолютной величине. Эти абсолютные значения будут пригодны и для интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования назад с заменой г на — г.
Поэтому в левом столбце мы дадим значения г для формулы Ньютона для интерполирования вперед, а в самом правом — для интерполирования назад: 3 ~ 4 +0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 +0,3 Как и всегда, погрешности экстраполяции значительно превышают погрешности интерполяции, Приведем еще таблицу значений неустранимой погрешности доя наших формул, точнее таблицу коэффициентов при р (сч. (7) 9 3), Значения взяты из таблицы на стр. 97 с соответствующим видоизменением значений г. Опять левый столбец будет соответствовать интерполяциоиной формуле Ньютона для интерполирования вперед, а правый для интерполирования назад, — 1,Π— 0,5 — 0,4 — 0,3 — 0,2 — 0,1 0,0 + 0,1 + 0,2 ,)-О,'4 +0,5 4+0',6 + 0,8 +09 +1,0 1,000 0,86 0,72 0,60 0,48 0,38 0,28 0,20 0,12 0,06 0,000 0,045 0,080 0,150 0,120 0,125 0,120 0,105 0,080 0,045 0,000 1,000 0,83 0,67 0,54 0,42 0,31 0,22 0,15 0,09 0,04 0,000 0,028 0,048 0,059 0,064 0,062 0„056 0,045 0,032 0,016 0,000 1,000 0,81 0,64 0,50 0,37 0,27 0,19 0,12 0,07 0,03 0,000 0,021 0,034 0,041 0,042 0,039 0,034 0,026 0,018 0,009 0,000 1,000 0,79 0,61 0,47 0,34 0,25 0,17 0,11 0,06 0,02 0,000 0,016 0,026 0,030 0,030 0,027 0,023 0,017 0,011 0,005 0,000 ч- 0,2 +0,1 0,0 — 0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 — 1,0 9 7) еогмтлы, использгющив цвнтглльные глзности 126 +1,О +0,9 +0,8 +0,7 +о,б +О,'5 +0,4 — 0,9 — 1,О На этом мы временно оставим интерполяционные формулы Ньютона и перейдем к выводу других формул.
Недостатком формул Ньютона при интерполировании в промежутке изменения от — 1 ло 1 является то, что узлы интерполирования расположены несимметрично относительно х . Сейчас мы получим формулы, свободные от этого недостатка, ф 7. Интерполяционные формулы, используюшие центральные разности 1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя и Эверетта. Опять воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона лля неравных промежутков ((6) 9 б) и возьмем в качестве галов ха хг ... хи .. точки хв„ха + л ха 7г, ха + Вл, х,— гг!1, ... Тогла 5(х)=7(хз)+(к — хз)7(ха! Ха+)а)+(х — кз) Х Х (х — хв — )г)7 (ла; ха+)г; ха — )г)+...
+(х — ха)(х — хч — 7г) Х Х (х — ~~+а)... (х — х — пй) (х — х +~)г)7'(~~; х~+)г; х„— й; ... 'ха+ 3; ха — пй', х +(и+1)Ь)+ ", (1) Используя симметричность разделенных разностей относительно своих аргументов и их связь с конечными разностями, получим: .ав Г(х,; х,+5; х,— 63! ...; х,+78; х,— аа)= ',, (2! (2Л), Лаз 1,о — О',9 — 0,8 — 0,7 — 0,6 — о,з — 0,2 — о,! о,'о +о! + 0,2 + о,'з +- 0,4 + 0,5 + 0,6 + О,'7 + 0,8 + 0,9 + 1,*о 1,5 1,4 !,'з 1,2 1,'1 !,'о 0,9 0,8 О,'7 О,б 0,5 0,5 0',5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 О,'5 0,5 0,5 3,5 З,1 2,7 2„4 2,1 1,7 1,5 1,2 1',О 0,71 0,5 0,54 0,58 о,бо 0,62 0,62 0,62 о',бо 0,58 0,54 О,б 7,5 6,4 5,4 4,5 3,7 з,'о 2,3 1,8 1,3 О,'86 О,'5 0,63 0,72 0,78 0,81 0,81 0,79 0,74 0,68 0,59 0,'5 15 !з 11 8,5 6,7 5,2 3,4 2,8 1,9 1',1 0,5 0,76 О',96 1,'06 1,'10 1',1 1,'о О',92 О,'66 0,5 -г "3 +0,2 +о'! о',о — 01 — 0,2 — о',з — 0,4 — 0,5 — О,б — О',7 — О,'8 !26 теоеия интееполиеовлния и некотоеые ее пеиложения [гл.
2 Отсюда г [ х хо гз [ (»»о) ("» .»о Л) го Ч, (х — хо) (х — хо — Л) (х — хо + Л) + 3! Ло уо + (х — хо) (х — хо — Л) (х — хо + Л) ... (х — хо + (п — 1) Л) + (2п — 1)! Лоо '+ (х — хо) (х — хо — Л! (».— хо -с Л)... (х — хо+(и — 1) Л) (» — хо — пй) +- Л" + .
(2п)! Л~ (4у Обозначив, как и ранее, х — хо й получим: е (Ео — 1) (Го — 2»)... [Го — (п — 1)о[ (2п — 1)! у'о + Ц» — 1») ... [à — (и — 1)о[(à — и) + ''' ~" -(- ... (5) Это — интерполянионная формула Гаусса. В ней используются следуюшие разности (подчеркнуты черточкой): уо х о 1 У ч У и х-1 Х ю о уо Л„ о у,'л х, у'л Уой 1 12 хо уоо — 1 У'(»1 х +й; хо — И;...; хо — (И вЂ” 1) И; хо+ЛИ)= о о (2Л вЂ” 1) ! Лоо (з) 7] ФОРмулы. Используюшив цвнтРАльныв Разности 127 Если бы мы взяли узлы интерполирования в другом порядке, а именно: хв, хз — Ее, хв+ Ее, ...,хв — п)е,хр+ЛЕЕ, то совершенно аналогично получили бы вторую формулу Гаусса: Е (Ез — 1) (Ез — 22)...
(Ез — (и — 1)2) ' + (2п — 1)1 е — |ь + ) ) ( + )7м" + (6) (2п)1 в 72 7 .л з х Е-л з 1В хв 71Л з 72 х, уч, з Уч 1 убь Полусумма двух интерполяционных формул Гаусса даст нам: Е (Ез — 1) (Ез — 22) ... ]Ез — (и — 1)2] (2п — 1)1 7о + Ез(гз — 1)... ]Ез — (п — 1)2] + (2п)1 з + (7) Для того чтобы их можно было различить, будем называть первую из них интерполяиионной формулой Гаусса для интерполирования вперед, вторую — для интерполирования назад.
Интерполяционная формула Гаусса для интерполировачия назад использует слелуюшие разности: 128 таогия ннтатполиговлния и некотогые ев пгиложения [гл. 2 так как 1 у( (га — 1) (Га — 2~) ... [(а — (л — 1)а] (à — л) 2 [ (2л)! + Г (га !а) (Ге — 2т) . [Г~ — (л — ца] (г+ л. ] Га (Гя !а) [Га — (л — 1)а] + (2л)! [ (2л) ! а 1 [узч — г ] гав-1] гяя-г Мы получили формулу Стирлинга.
В ней используются разности четного порядка с индексом 0 и полусуммы разностей нечетного 1 1 порядка с индексами + — и — —,, как это показано в следующей 2 2' таблице: га х ! $ У' ч ! У'5 2 ~ И. у2 хг Приведем пример на вычисление по формуле Стирлинга. Пусть требуется найти з!п!4' по значениям ебп 9', сйп 12', з!п 15', з!п 18', з!п21'. Таблица разностей будет такова: уз з!и х 9' 51 478 12 — 138 — 138 !5' 50 193 49 351 0,156434 0,207912 0,258819 0,309017 0,358368 — 571 — 709 — 847 Фовмулы, используюшив цвнтвальныв Разности 129 возьмем ближайшее к х узловое значение, т. е. 15'. Тогда За хо 1 Е = — — —,— 3 и вычисления дадут: Еа = 51п 15 Е-Уо = 3 0,0505525 = — 168508, 0,258819 у,)а = — 18 ° 0,000709 = — 394, Уаа = — 81 ° 0,000138 =.
— 69, 5 (14') = 0,241922. Все знаки верны. Получим еще одну важную интерполяционную формулу. е(ля этого применим интерполяционную формулу Гаусса для интерполирования назад (6) к точке х,. Тогда Е' (Е'~ — 1) ° .. (Е' — (л — 1)а! (2л — 1)! Е' М'3 — 1) .. (Е'а-- (и — 1) ! (Е'+п) (2и)! 1 (( ! Еь) ( ! (Е 1)(~ ! Е(Е 1) уа ! Е(Е 1)(Е 2)уа Е (Еа — 1) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
