Том 1 (1160083), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Мы воспользояались тем свойством много1 членов Т„(х)= —, Т„(х), что для них зцр [Т„(х)[ имеет наи- 2" ~61-ь ьг1 меньшее значение среди всех многочленов степени л с коэффициентом при старшей степени, равным единице. Благодаря этому свойству многочлены Т„(х) получили название многочлеиов, наименее и достигается в п-[-1 точках х,„=соя — (т= О, 1, ..., а). Если и в качестве отрезка интерполирования [а, 6] взять [ — 1.
1[ и в качестве узлов интерполирования — корни многочлена Чебышева х, то в„(х)= — „, Т„(х) и зцр[ы„(х)[= — „,. Покажем, что какой бы 1 1 многочлен Р(х) степени п со старшим коэффициентом 1 мы ни взяли, зцр [Р(х)[)~ — „,. Действительно, если бы это было не так, 1 ~я-~ +и 2" 1 то разность †„ , Т„(х) — Р (х) представляла бы собой многочлен щя степени и — 1, принимающий в л-+1 точках х,„=сов — ' (лг=О, 1, 2, ..., и) попеременно то положительные, то отрицательные значения, Следовательно, он должен иметь по крайней мере и корней, что невозможно. Таким образом, если ограничиться рассмотрением отрезка [ — 1, 1[, то ы„(х) будет иметь наименьшее возможное значение зпр[ы„(х)[ при условии, что в качестве узлов интерполирования взяты корни многочлена Чебышева, и в этом случае.
наша оценка примет вид 94 твогия интвгполиговлния и нвкотогыв вв пгиложзния (гл, 2 отклоняющихся от куля. Можно поставить и другую задачу: при фиксированных узлах интерполирования изучить, для каких промежутков изменения остаточный член будет принимать большие значения и для каких меньшие. Йля решения этой задачи нам нужно изучить поведение функции в„(х) при фиксировзпных х,, х,,..., х„. Многочлен <о„(х) обращается в нуль в точках хз, хо ..., х„, меняет знак, переходя через каждое из этих значений, и где-то в промежутках между ними принимает попеременно то максимальное, то Рис. 19. минимальное значение (рис.
19), Абсолютные значения этих экстремумов будут равны друг другу только в том случае, если хз, х,, ... ..., х„являются корнями многочлена 2х — Ь вЂ” а1 соз ~и агс соз 6 — а В остальных случаях они будут различны. При интерполировании вблизи больших по абсолютной величине экстремумов можно ожидать большей погрешности, там же, где эти экстремумы будут принимать меньшие значения, следует ожидать меньшей погрешности. Исследование общего случая е„(х) при произвольном распределении узлов интерполяции довольно затруднительно.
Поэтому мы ограничимся случаем равноотстоящих узлов, т. е. будем предполагать, что х,— ха= х,— х,= ... =х„— х„,=)г. х — ха Опять введем Г при помощи соотношения Г= . Тогда а ы„(х)=ы„(хз+-Г)г) =й" '1(à — 1)(à — 2) ... (1 — и), и нам следует изучить поведение функции т (С) = Г (С вЂ” 1) (С вЂ” 2)... (à — и) 96 теогия интвгполиговлния и некотогые вв пгиложвния (гл. 2 ожидать, что если мы производим вычисления по интерполяционной формуле для значений х, лежащих вне отрезка (хо, х„), или, как принято говорить, производим зкстрааолирование, то погрешности будут очень велики.
Во-вторых, при интерполировании для значений х, лежащих не близко к узлаи интерполирования, точность будет больше для средних отрезков (х,, х,ог) и меньше для крайних. 3. Неустранимая погрешность формулы Лагранжа. Изучим теперь неустранимую погрешность формулы Лагранжа, предполагая, что значения 7(х ) приближенны, а значения хз точны. Формулу Лагранжа возьмем в виде (.„(х) = ~ г" (х,) Ф, (х). о о Тогда аь =,г, Ф, (х) сгг (е,), г-о (б) Аь = ~~~ ( Ф, (х) ) Аг ( ). (6) Ничего большего о неусгранимой погрешности для случая, когда узлы интерполирования расположены произвольным ьобразом. мы сказать не можем, Обратимся к случаю, когда узлы интерполирования равноотстоящие.
Тогда, как мы видели, ( -1) А„(х) = Е.„(хо+е)г) = г (г — 1) п' ." хо где г= '. Следовательно. в этом случае а Пусть все значения функции у, известны с одинаковой точностью и предельная абсолютная погрешность каждого из них равна А„= —,р. 1 Тогда предельная абсолютная погрешность Аь будет равна ~Г« — 1) .
(à — п)~,~, С'„ Аъ= —,р'— 2 ~ п' (7) -о Приведем таблицу значений коэффициента при р в правой части этого равенства для различных значений и и Н 9 3! поггвшности интвеполяционной еогмглы ллгглнжл 97 Коэффициенты прн р Как видно из этой таблицы, неустранимая погрешность янтарно !яционной формулы Лагранжа при изменении 1 на отрезке !О, и! сравнительно невелика Она незначительно возрастает при увеличении л.
Минимальные погреш гости получаются в средних отрезках !ц г+1! при изменении ! от 0 до и При экстраполяции опять получаются значительные погрешности. Оценок ошибок округления мы здесь производить не будем, так как они целиком определяются программой вычислений В дальнейшем мы изучим ряд формул, являющихся видоизменениями формулы Лагранжа Эги формулы находят широкое применение в вычислительной практике. Поэтому целесообразно исследовать все эти формулы совместно с точки зрения тех ошибок, которые они дают, и с точки зрения удобства вычислений.
— 0,5 — 0,4 — 0,3 — О,'2 0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 о,ь !4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 20 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 О,б 05 0,5 О,о 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 О,б 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 3,5 3,1 2,7 2,4 2,1 1,7 1,5 1,2 1,0 0,71 0,5 0,54 0,58 0,60 0,62 0,62 0,62 0,60 0,58 0,54 0,5 0,54 0,58 0,60 0,62 0,62 0,62 0,60 0,58 0,54 0,50 7,5 6,4 5,4 4,5 3,7 3,0 2,3 1,8 1,3 0,86 0,5 0,63 0,72 0,78 0,81 0,8! 0,79 0,74 0,68 0,59 0,5 0,54 0,58 0,60 0,62 0,62 0,62 0,60 0,58 0,54 0,50 15 13 1! 8,5 6,7 5,2 3,4 2,8 1,9 1,1 0,5 0,78 0,96 1,06 1,10 1,1 1,0 0,92 0,80 0,66 0,5 0,57 0,62 0.66 0,69 0,70 0,69 0,66 0,62 0,57 0,50 98 твогия интвгполитовлния и некотогыв ви пгиложвния ]гл.
2 й 4. Остаточный член общей интерполяционной формулы В предыдущем параграфе мы нашли остаточный член формулы Лагранжа. Найдем теперь остаточный член общей интерполяционной формулы. На функции та(х), т((х), ..., уа (х) наложим те же ограничения, что и в конце б 1, т. е. будем предполагать, что они дифференцируемы до порядка и -)- 1 на ]а, б! и все вронскианы йт(те, т),..., та] (О(б (л) отличны от нуля на (а, б!. рассмотрим функцию двух переменных х и ю К(х, з) = (Р (те(з) у) (з) тч(л)] Х та (х) т( (х) ... у„(х) Как функция х она является линейной комбинацией функций тг(х) и, следо- вательно, Р.„ч) ]К(х, а)] = О, где у ! ! (тг(та т) ''' та у! (р (та т( ", т 1 (см.
В 1). С другой стороны, очевидно, дК(х з)] ! О при 1<и — 1, дхг ! „! 1 при (=п. Фуякция и х у(х) = ~~) а(т((х)+ ~ К(х, з) ф (з) дз (-е а при любых лействительных постоянных а( удовлетворяет уравнению Е.„ь) (у! = ф (х). В самом деле Первый член справа, очевидно, равен нулю. Для того чтобы найти значение второго члена, заметим, что — ] К(х, з) ф(л)да=К(х, х)ф(х)+ 1 ' ф(л) дл = /' ('дК(х, з) дх ./ дх а ф (з) дз. дК(х, з) дх а те (а) т) (з) то (з) т)(з) Х те (я-О ( ) (и — Ц . ° ° тч (з) т„(з) бгг (л) е( (х). (л) . ° у„(з) (-е й 4) остаточный члкн овщкй иитцгцоляциоииой еопмулы 99 Отсюда дз à —, / К(х,з)ф(з)дз= ' ф(х)+ ~ д; — 'ф(з) 'з= дК(х, х) ГдзК(х, з) ~' д'К(х, з) дхз — ф(з) дз и, вообще, д — т / К(», з) ф(з) дз = ' ф(х)+ ! ' ф(з) дз = д' д~ 'К(х, х),, ! дтК(х, з) а а ~'дзК(х, з) дх! д х для всех (~(п.
Для ( = и+ 1 получим; — ! К(х, з) ф(з) из = — „' — ф(х)+ т! „,' ф(з) дз= ~аь1 д"К(х, х), Гд""К(х, ) а а ~ д К(»,5) ,/ д а Таким образом, х 1 Г -1(па ц )а а .с !а! +аз(х)" ~ К(х,з)ф(з)дз + ... +а„ат(х) ( К(х,з)ф(з)дз= ) а а = ф(х) + ~ й„чт(К(х, з)) ф (з) да = ф(х). а Этим наше утверждение доказаио, Заметим, что если мы вместо функций уз(х) взяли бы любую другую систему и+1 линейно независимых решений уравнения г сс+ т ('т! = О то получили бы ту же самую функцию К(х, з).
действительно, если функ- ции фа(х), ф,(х), ..., ф„(х) образуют такую систему, то фз (х) = ~~~~~ агууу (х) (! = О, 1, 2,..., и) у-а 100 ткогия инткгполиговлния и нккотогык кк пгиложкиия (гл. 2 и определитель аоо аот .. а„. азо ап ... аьч аао ааэ ... а отличен от нуля. При этом (р-'(фм фп..., ф„!=в-'в"-'(„,, „..., „), " . ф (а) . ф„'(з) фз (з) ф',(э) 'Ро (а) уз (Э) ° Уа (э) уо (з) 'т1 (э) ° ° у, (з) уо (а) ф, (з) фо("-О(л) ф11"-Ц(л) ... ф'„"-"(з) фо(х) ф (х) ...
фи(х) 'то (л) 'Р~ (5)... У (э) РО(х) У! (Х) ... Т (х) При умножении последних выражений получим то же самое, что и раиюие В частности, функции Ф;(х), введенные в б 1, являются линейными комбинациими фУнкций Ут(х). Они линейно независимы. В саном деле, если бы су цествовала линейная зависимость софа (х) + озФз (х) -(- ... + О„Ф„(х): — О фу Фт(ху) = агу, где осу — символ Кронекера, равный 1 при 1 =у и равный О при Р ~ у. Таким образом, функпию К(х, э) можно записать в виде К(х, з) = ~Ч 0г (з) Фо (х). З-О Но К (хф з) = ю О, (з) Ф; (ху) = 0у (з) Итак, К (х, з) = ~~~ К(хо з) Фг (х) г-о Функция а ! у = у РтФ» (х) + «~ Ф ' (х) ~ ыг (з) ф (з) "з а-о удовлетворяет уравнению й„от (у) = ф и принимает в точках хг значения 'Рг. В частности, функция д(х) = 1) Фг(х) ~ 6т(л)пэ э-о а удовлетворяет условиям д(хг)=О (Р=О,(,й,...,и) и ст при некотором 1 отлично от нуля, то, полагая в этом тождестве х = х, мы получили бы с; = О вопреки предположению. Здесь мы использовали свойства нкций Фт(х), что б 4] остаточный член овщвй ннткгполяцнонной еогмглы ! 01 функция И(х) не может обращаться в нуль нн в какой другой точке ха [а, Ь), так как мы получнлн бы тогда противоречие с обобщенной теоремой Ролля.
Рассмотрим разность Р(х) =У(х) — т(х) =у(х) — ~~',усфг(х), хй [а, Ь); с=а И'(х) обращается в нуль в точках хэ, хь ..., х„. То же самое можно ска. зать и про функцию Отсюда й (х') = У(х') — Т (х') = Е.„., [У(Я)] И (х'). Это равенство, очевидно, сохранит свою силу н для того случая, когда х' = хв Итак, прн любом х б [а, Ь) Р (х) = У(х) — Т (х) = Е» »1 [У (6) ] И (х). Это н есть остаточный член оба(ей интерполяционной форлгулы.
Получим еще одну форму остаточного члена. Любая л-[-1 раз днфференцнруемая функция у(х) на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Е»+, [у] = Ен+з [У(х)]. Следовательно, у(х) = ~~) усфс(х) )- ';г' Фс(х) / 6г(з) Е. +т]T(з)) йз = 1-а 1-а жс » а =Т(х)+ )'„Фт(х) ~ К(хо з)Е„+,[У(з)] йж (2) Но ~ = ~ — ~, н поэтому т~ а а Й (х) = у(х) — Т (х) = '()' Ф, (х) / Пч (з) Ек ы [у (з)) йз— $ а а » аг — 7 Фс(х) / 6г (з) Е„ьз [У(з)] йз = т-о а Ж » Ят = ~ К (х, з) Е»„., [у(з)) йз — 1) Ф, (х) ~ П, (з) Е.„„., [у (з)] йж 1-а У (х) — Т (х) — МИ (х), где М вЂ” произвольное постоянное число.
Пусть нам требуется оценить Р (х) для некоторой точки х' 6[а, Ь] (х' ~ хс). Подберем М так, чтобы последнее выражение обратилось в нуль н в точке х'. Это возможно, так как И (х') ~ О. Тогда Е. +~ [У(х) — у(х) — МИ (х)] = Е»», [У(х)) — М на основании обобщенной теоремы Ролля должно обратиться в нуль по крайней мере в одной точке об[а, Ь]. Таким образом, М=Е н[У(()1 102 твогия интвгполигования и нвкотогыя вв пгиложвния [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
