Том 1 (1160083), страница 31
Текст из файла (страница 31)
хо' х!) х(; ...; х!) ..., х,„' х„;...; х„)— А„-! раз Ф, раз Ф раз — У(ха( хо' ° ., хо' хь ..., хь .. л х„; ...; х„) 1 (43 ! а, раз а, раз а -! раз Полученные нами выражения разделенных разностей с повторяющимися значениями аргументов слишком громоздки и не могут служить для практических вычислений.
Перенесем на ник способ вычисления обычных разделенных разностей через разности низшего порядка. Пусть нам требуется вычислить разделенную разность 9 11) ЕАЛАЯА интеРпОлиРОВАниЯ АЛГРБРАическнми многочленАмн 179 Отсюда получается простой способ составления таблицы разделенных разностей (р. р.). В первом столбце выписываем узлы интерполирования, причем каждый узел повторяем столько раз, какова его кратность.
Во втором столбце выписываем соответствующие узлам значения функции. В третьем столбце помещаем разделенные разности, если соответствующие аргументы не совпадают, нли первые производные, если аргументы совпадают. В четвертом столбце помещаем разделенные разности второго порядка, если они вычисляются так же, как это делалось ранее для обычных разделенных разностей, или же производные второго порядка, деленные на 21, если аргументы. на которые нужно делить, совпадают.
Продолжая так же н дальше, мы сумеем заполнить всю таблицу. Так, для примера, приведенного на стр. 166, таблица будет выглядеть следующим образом: 5 р. р. 6 р. р. 7 р. р.~ 3 р. р. 4 р. р. х у 1 р. р. 2 р. р. 72 120 39 127 201 150 321 129 448 672 129 129 6. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями. Перейдем теперь к обобщению интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков на случай кратных узлов. Пусть нам поставлены такие же интерполяционные требования, как в п. 1 (условия (2)), причем у, являются значениями некоторой функции7 (х), определенной и непрерывной на отрезке [а, д), в узлах хн расположенных на этом отрезке вместе со значением х. а у()1 является значением ~-й производной от 7(х) в узле х,; все нужные производные предполагаются непрерывными.
Будем рассматривать на (а, д) наряду с узлами х, х,, ..., х„еше узлы х01, ... ...,х~,х111, ..., х( ' ~...., х11, ..., х("А ), выбранныетак,что СРЕДИ ВСЕХ УЗЛОВ Х, Х111, ..., Х1"-11, Х, ХЩ, ..., Х1"-11, ..., х, 11) (» — 1) х„, ..., х~„ч нет равных. 180 теория интврполировлния и нвкоторыя вв приложения [гл. 2 Тогда )'(х) =у(х )+(х — хз)у(хз: Х~Р))+(х — х,) (х — х(н)у(ха; х((ь, х(з)) +... ... +(х — х,)(х — х(з(~), ..., (х — х(," -0) у (хз; х~'~; ...; Х(ч-Н; х,) + +(х — х )(х — х(())...
(х — х( 0)(х — х,) х, Х Г(хз; х(,"....; х~" -а>; х,; х~а())+... + (х — х ) (х — х( ))... ... (х — х'," ')у(х,; х~"; ...; х(" '))+(х — х,)(х — х~")... ...(х — х(" ))У(х; х", х ); ...: х(" )). (44) Перейдем в этом равенстве к пределу при х(,» -з х,. При этом получится: ~ (х) = у (х ) +- (х — хз) ('(хз; х ) +- (х — хз)ау (хз; х,; х,) + ... ... —:-( -*~" 'I(*,;,:...;,)(( †.)У(а; '*.;,);— а, раз «, раз '+ (Х Х()) (Х Х()з (Хз~ ° ° ° ~ Ха~ Х(~ Х() + , раз ... +(х — х )" (х — х,)ч...
(х — х„)" ' К х д*,: ...: ,: „' ,: ...: ,: ...: : : ...: * ) -)- «, раз «, раз "з раз + (х — х,)"'(х — х,)"'... ...( — *„)Ъ~(;*,;,;...;*,;,;...;*,;...;»„; „,...; Лр((З) а, раз а, раз Первые а+1 членов и дадут нам выражение для интерполяционного многочлена. а последний член будет являться остаточным членом. Покажем теперь, что полученный интерцоляционный многочлен будет удовлетворять поставленным условиям.
В связи с этим мы его будем обозначать через Нзз (х). Действительно, при х = х, Н (хе)=уз, ..., Н<" п(х„)=у',"-'), что видно из самой записи многочлена. С другой стороны, до перехода к пределу мы могли бы взять за начальную точку не х,, а любую лругую из х;. При этом в силу единственности интерполяционного многочлена Лагранжа мы получили бы тот же самый многочлен, только лишь записанный в другой.форме. Следовательно, и предел этого многочлена будет тот же самый. Но в этом случае начальные члены его будут иметь внд: у(а)з-(* — Зу( а )-)- . -)-(* — *з" у( а:.: з-)- а раз -З(* — *Фл*а *' ":; ч)-з ". а, раз 12) ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 181 и следовательно, он удовлетворяет интерполяционным условиям в точке хе Так как этот многочлен тождественен с Н,„(х), то и Н (х) удовлетворяет этим условиям.
Итак, 1(х) = Н,„(х) + (х — х,) ' (х — х,) '... (х — хи) и )( ХУ(х; хо', . ', х!з', хб; хз! х„;: х„) (46) „раз «, раз «„раз Ранее мы получили другое выражение лля остаточного члена. Срав- нение этих видов остаточных членов дает з Ои Ф ! ! (1) у'(х; х„; ...; х„; х,; ...; х,; ...; х„; ...; хи) = (47) раз «, раз «ра'! Применим полученную нами обобщенную формулу Ньютона для решения примера, указанного на стр. !66.
В этом случае Н(х)=1+х ° О+х'О+х' 1+х'(х — 1) ° 4+ха(х — 1)з ° 11+ +х'(х — 1)а(х — 2) ° 6+-хз(х — 1)'(х — 2)' 1 = х'+ 1. Как и следовало ожидать, получилось то же самое, что и раньше. Способ Эйткена в той форме, как он был описан у нас ранее, также может быть применен лля интерполирования с кратными узлами. В заключение этого параграфа получим выражения разделенных разностей с повторяющимися значениями аргумента в виде линейных комбинаций значений функции и ее производных, Для этого сравним коэффициенты при х'" в обобщенной формуле Ньютона и интерполяционной формуле Эрмита, Сравнение дает: З (ХО' ХО' ' ' ' ХО! Хз! ' '' Х!! '' '' ХИ' Хи' ' ' '' Хи) „ раз «, раз а раз и (" -'-з) уп а«!а ! у!(«г — 1 — я! ( ы (х) г-о з-о ! й !2.
Интерполирование функций многих независимых переменных 1. Трудности задачи интерполирования функций многих переменных. Интерполирование функций многих переменных значительно сложнее, чем функций одной переменной. Это вызвано не только тем, что рассуокдения становятся более громоздкими в силу наличия большого числа переменных, но и рядом принципиальных трудностей. В дальнейшем ради краткости мы ограничимся случаем двух переменных.
Пусть на плоскости (х, у) даны и + 1 точек (хо, у,). (х! у!) (х, уи). Будем разыскивать многочлен Р (х, у) 182 твовия интвгполиеовлния и нвкотовыв вв пеиложвния [гл. 2 относительно х и у возможно низшей степени, который бы в этих точках принимал соответственно значения хо, во ..., з„, Если искомый многочлен записать в виде Р(х, У) = аш+ажх+анУ+ ааоха-[-апхУ+аз Уо+ ... ... +амох'"+ам-г гх'"-'у-+ ... +аооь)л" хоу уо а х~у, у, хауз уо хауз уо о х,у4 у, х у уоо 1 х у о 1 х, у, х", з 1 хо уа 2 Уо ! хо уо [ 1 х1 уо (а=2), 1 хо уо (п = 5). 1 х уя х 1 хо Уь х,. Первый из них будет обращаться в нуль, если три точки (х, уо), (х,, у,), (хо, уо) лежат на одной прямой. Второй будет обращаться в нуль, если шесть узлов интерполирования лежат на одной кривой второго.
порядка. Аналогично, если взять 1О узлов, то определитель системы обратится в нуль, если все они лежат на одной кривой третьего порядка. Это порождает второе принципиальное затруднение: узлы интерполирования не могут быть расположены произвольно. Проверка того, что определители не обращаются в нуль, чрезвычайно затруднительна. Третье принципиальное затруднение возникает при оценке остаточных членов.
Теорема Ролла, которой мы пользовались ранее, для того случая, который мы рассматриваем сейчас, действовать не будет. Формулы интерполирования функции двух переменных будут громоздкими и потребуют большого количества записей. С целью то, подставляя данные координаты точек и приравнивая левую часть соответствующему значению хп получим систему а+1 линейных алгебраических уравнений относительно 1-+2+ ... +-(т+1)=— (т+ 1) (гв+ 2) неизвестных а11.
Вообще говоря, эти уравнения независимы. Следовательно, если не накладывать на Р (х, у) никаких дополнительных условий, то а+! должно быть равно (ж + 1) (т+ 2) . Это — первое принципиальное затруднение. Мы уже 2 не можем решить поставленную задачу при произвольном количестве узлов интерполирования. Далее, рассмотрим определитель полученной системы уравнений.
При и = 2, 5 этот определитель принимает вид 12] интеРпОлиРОВАние Функций мнОГих пеРеменных 183 сокращения этих записей будем использовать векторные обозначения. Мы будем пользоваться следующими векторами: г!, = (х — хо) ! + (у — уо),К гы = (х„— х,) ! + (Уь — У,) Г', г"„, = (уо — у,) ! — (х„— х,) г. Вектор гя, получается из вектора г, путем поворота на 90' по часовой стрелке. Пусть теперь заданы три узла интерполирования: (хо, у ), (х,, у,), (хо, уо) и нам требуется найти многочлен Р,(х, у) первой степени, принимающий соответственно в этих узлах значении ещ ЕО ео.
Будем разыскивать, как и в случае интерполирования функций одной переменной, многочлен Р,(х, у) в виде Р, (х, у) =- гоР „(х, у) + я!Рп (х, у) + Е,Ро (х, у), (2) (г! !'Гв) (го, г,) диалогично (г,г ) (гго, гоо) (г!„г<„) (»30' »0!) будут давать Р„(х, у) и Рм(х, у). Итак. искомый многочлен может быть записан в виде (»Р ! „) (го, гоо) (»Ф »0,) — '(-" -:0) '(-- ") '(- ') где Ри(х, у) — многочлены первой степени, равные единице в точке (хо у!) и обращающиеся в нуль в остальных двух точках. Рассмотрим скалярное произведение (г„ гг). Это — многочлен первой степени относительно х и у.
Он обращается в нуль в точке (х,, уг), так как при этом первый множитель скалярного произведения обращается в нуль, Он обращается в нуль и в точке (хо, уз), так как вектор г„ перпендикулярен к г"„, В точке (х, у ) (»м г",) будет равно нулю в том и только в том случае, когда три точки (хо, уо), (хо у,), (хя у,) лежат на одной прямой. Но это н будет как раз тот случай, когда определитель обращается в нуль и, вообще говоря, не сушествует многочлена первой степени, принимающего в заданных точках заданные значения. Исключая этот случай, мы можем принять за Р, (х, у) выражение 184 теОРия интеРпОлиРОВАния и некОтОРые ее пРиложения (гл, 2 Если раскрыть скалярные произведения, то получим более громоздкое выражение: Р,(х, у) = го — --+ (Х вЂ” х,) ( у, — уз) — (у — уз) («1 — «4) (Хо — Х1) (Уз — Уз) — (уо — У1) (Х1 — Хз) (х — «4) (уз — уо) — (У вЂ” уз) (хз — хо) +Х1— («1 — хз) (Уз — Уо) — (У1 — Уз) (хз — хо) + ез (х — зо) (Уо У1) (У вЂ” Уо) (хо — «1) (хз — хо) (Уо — Уз) (Уз — Уо) (хо - хг) (4) Возьмем теперь шесть точек (хо, уо), (х,, у1), (хз уз) (хз уз) (х4, У4), (хо, уо), не лежащих на одной кривой второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
