Том 1 (1160083), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Во всяком случае, если приближенные ~псла не носят окончательного характера и с ними предполагается производить еще какие-то вычисления, то следует сохранять одну или две сомнительные цифры. Если мы знаем последнюю верну1о цифру приближенного числа, то можем сразу же дать оценку его абсолютной погрешности, Получим теперь формулы, позволяющие оценивать относительные погрешности чисел, Пусть дано приближенное число причем последней верной цифрой является а,„и а1+ О.
Абсолютная погрешность А, этого числа будет заключена в пределах 1зр" ~ < А, (з1р" Следовательно, ир 1' "' а1Р~+атя~ + . +л„,р" '""1+а 13" 1з „,~ч-т1-1 <Ас~ ( ~~3" +атр" '+ ." +~ Р" '+~ ~~Р" "+ Получим отсюда более грубые, но зато и более удобные оценки. Лля этого увеличим правую часть, заменив в ней аз, аз, ..., а„,, ... нулями, и уменьшим левую часть, заменив в ней аз, аз, ..., а, ...
нулями и а1 на а1+1. Тогда будем иметь: 1п14-113" ' ~ а13 -' За грубое значение А,э можно принять н 31и 1 Нзши формулы позволяют также грубо оценить количество верных цифр или верных знаков приближенного числа, т. е. число т, если известна относительная погрешность. Пусть, например, в результате вычислений получено число 2,14865. Найдем, сколько оно имеет верных знаков, если Ь = 0,000023 и 1Я = 0,5.
Нам нужно найти лг. при котором — < 0,000023 ( 0,5 0,5 3 ° 1О 2. 101И 1 или 1 < 0 000138 1О ( 15. 48 двйствия с пгивлиженными ввличиилми [гл. 1 Оба неравенства будут выполнены при а=4 или 5. Значит, мы можем уверенно сказать, что иаш результат имеет четыре верных знака. Фактически при отыскании числа верных знаков мы должны отыскивать наименьшее лг, при котором выполняется неравенство (аг+1) 1 Заметим здесь же, что в вычислительной практике используют также термин число верных десятичных знаков.
Под этим понимают число верных цифр после десятИчной запятой. Так, например, если в числе 0,000304 все цифры верны, то говорят, что оно имеет шесть верных десятичных знаков. В то же время это число имеет три верных знака. При подсчете верных знаков нули, стоящие слева, не считаются.
3. Неустранимая погрешность значения функции для приближенных значений аргументов. Погрешности результатов арифметических операций. Перейдем теперь к отысканию областей неопределенности функций приближенных аргументов. Как мы уже говорили ранее, задача по существу сводится к отысканию экстремальных значений функций и может быть решена методами математического анализа. Здесь мы будем изучать более грубые способы определения абсолютной и относительная погрешностей функций, Для их применения нужно наложить некоторые ограничения иа изучаемые функции и погрешности аргументов. Мы будем предполагать, что наши функции Пепрерывно диффереицируемы в рассматриваемых областях. Предположим также, что погрешности, с которыми мы будем иметь дело, определяются с небольшой точностью — один-два верных знака.
Это позволит нам сократить работу по вычислению самих погрешностей. Далее, будем предполагать, что погрешности значительно меньше приближенных величин, так что ими можно пренебрегать в суммах, содержащих одновременно приближенную величину и ее погрешность. Это условие на практике обычно выполняется. Нам часто придется встречаться с значениями функций и их производных в некоторых точках области, определяемой областями неопределенности аргументов. Пользуясь нашими предположениями, мы будем фактически рассматривать их в других точках, более удобных для наших целей.
Найдем абсолютную и относительную погрешности функции у= =«(хи хз, ..., х„), считая. что погрешности аргументов заданы. По формуле конечных приращений получим: а„в =«(х„, х„„..., х„) — «(х,*, х', ..., х„)=~~.', «' ($)а,, 5 2) 49 НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ где /' (с) — значения производных )', взятых в некоторой точке х1 х.' отрезка, соединяющего точки (х,, х,,..., хи) и (хп х", ..., х„'). Используя последнее замечание предыдущего абзаца, заменим у' (.') а на у' (х'). При этом получим: ау» —— ,'5~у' (х') а,.
а 1 Таким образом, и Ав, ( ~~", ~ /" (х") ~ А Легко видеть, что при соответствующем выборе е правая часть последнего неравенства будет равна А„». Отсюда АУ вЂ” — ~~'„)»' (х') ~ А Теперь нетрудно найти и относительную погрешность. Она будет равна Ь„= ', = ~)„) '„)'А или Ьу» = ~~'., ) 11п) (х') ) 1А, . Если нам нужно выразить относительную погрешность функции через относительные погрешности аргументов, то мы запишем наше выражение так: и А ба*= ~~) ! х',11п У(х) )' ~ —,' . 1 1 а Отсюда и Ь„= ~~~ ~! х,*. (1п у (х") ) А(ы получили общие выра1КЕння для абсолютной и относительной погрешностей функции нескольких приближенных аргументов в предположении малости погрешностей аргументов.
Применим теперь наши общие формулы к некоторым частным случаям. Начнем с простейших арифметических очераций, Пусть нам требуется найти сумму нескольких приближенных величин Х = Х, + ХЯ + ... + Хи. 50 дейстВия с пРиБлиженными Величинами (гл. 1 Мы будем отдельно рассматривать разность приближенных величин н поэтому предполагаем, что зсе х; ) О, В нашем случае зсе у' (х) равны 1, а все (!В)(х'),' = —..
Отсюда в 1 1 х гФ' Таким образом, при сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются. Заметим, что это равенство не является грубым и не зависит от тех предположений, которые мы высказали ранее. Пусть М и т — соответственно наибольшая и наименьшая из относительных погрешностей слагаемых. Тогда на основании второго равенства получим: х' х, + хг + ... -1-х„ и аналогично х,+х+ ... +х„ Ь„*)~т „' =т. Таким образом.
при сложении приближенных величин относительная погрешность суммы будет заключена между наибольшей и наименьшей относительными погрешностями слагаемых. При производстве вычислений на автоматических Вычислительных машинах нет смысла производить округления слагаемых перед производством сложения, если только онн помещаются в машине, Это не ускорит вычислений, но расширит область неопределенности слагаемых, а следовательно и суммы. Другое дело при производстве вычислений вручную или на неавтоматической вычислительной машине.
В этом случае большое количество разрядов будет связано с длительной установкой чисел, длительными вычислениями и громоздкими записями. Поэтому при вычислениях вручную или на неавтоматических вычислительных машинах и р о изводят предв ар итель н ое округление слагаемых. При этом слагаемое, имеющее наименьшее количество десятичных знаков, оставляют неокруглеиным, а в остальных слагаемых оставляют на один пли два десятичных знака больше. Обратимся теперь к вычитанию. Рассмотрим разность х* = х' — х*, 1 2' НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ предполагая, что х', ) хг ) О. Тогда А = Ах,'+А..', Х1 ах + Хг ахг Ь Х П в этом случае абсолютная погрешность будет равна сумме абсолнзтных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, но относительная пог ешность будет уже больше, чнм каждая из относительных погрешностей.
Если уменьшаемое значительно больше вычитаемого, то знаменатель последней дроби близок к х', и сама дробь близка к Ь,. В этом случае нужно действовать также, как 1 и при сложении Совершенно другая картина получится, когда уменьшаемое и вычитаемое близки друг к другу. В этом случае знаменатель дроби очень мал и, следовательно, дробь будет очень велика. Получается большая потеря верных знаков. Поэтому там, гле это возможно, надо стараться избегать вычитания близких по абсолютной величине чисел. Этого иногда удается достичь заменой вычитания близких чисел непосредственными измерениями или некоторым преобразованием формул.
Так, например, пусть нам требуется вычислить объем, заключенный между двумя сферами с общим центром, если дан радиус меньшей сферы г и разность радиусов сфер равна а. Искомый объем будет равен к 1гг+ а1з гз) 3 и если а мало, то вычитание даст большую потерю точности. Вы- годнее вычислять результат по формуле — к ~Згза+ Згаз+ а'1. 4 3 Заметим, что формулы для вычисления погрешностей суммы и разности являются абсолютно точными и не используют тех предположений, о которых говорилось выше.
Рассмотрим теперь произведение приближенных величин. Пусть Тогда А = У вЂ”,А,. 1 действия с пгизлиженными ВеличинАми 1гл. 1 Таким образом, при умножении приближенных величин относительные погрешности сяладываются. Оценим грубо число верных знаков в произведении т множителей, заданных в десятичной системе счисления, имеющих одинаковое число й верных знаков, если т невелико (меньше 1О). Обозначим через бн Ьг, ..., Ь первые цифры сомножителей, отличные от нуля (их называют первыми значащими цифрами). Тогда по данной ранее приближенной формуле о! Ь, 10- Отсюда о! ~ч 1 а ж — х —. 102-! ЙЬ,' »|' Обозначив через д первую значащую цифру произведения, будем иметь: х (~+ )|!хо (~+ ) =1 Заменим в правой части Ь на 9 и б! на 1. Получим: (о+1)Ь;(,, т. 102 Так как т не превышает 10, то »~+ !)~о" ~ ь-з 102-2 ' Таким образом, мы будем иметь по крайней мере я — 2 верных знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
