Том 1 (1160083), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Рекуррентная формула для многочленов Чебышева второго рода примет вид (Г„+1(х) = 2х ()„(х) — 0„! (х). (28) Если на отрезке ! — 1, +1) нужно найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции )'(х) ~ 1.1 (р), где р (х) = )/ 1 — хз, в совокупности многочленов степени не выше и, то и!цем его в виде Р„ (х) = с„ 1- с,(/,(х) +- с,(/, (х) + ... + с„()„ (х), (30) где коэффициенты се находятся по формулам: — 1 с„= — ! )'(х) ц, (х) 1/1 — хзс(х = 2 !' -1 Т вЂ” ~ 1(созО)з!пО ч!Н(й+-1) Ос(О. (31) Величина же наилучшего приближения найдется из равенства -' ! ь у= / ~з(х))/1 — хес(х — — «~~ с'.
(32) -1 А-о Приближение, получаемое с помощью мвогочленов г!()А(х)). в большей степени учитывает значения приближаемой функции в середине отрезка 1 — 1. -+11. 4. Многочлены Лагерра и Эрмита. Возьмем теперь в качестве интервала (а, Ь) полупрямую 10, эо) и в качестве веса р(х) =х"е *, где к) — 1. Мпогочлелами Лигерра нааывают выражения !Гп (~;,!(х) =( — 1)"х-"е — в(х"э "е-и). (34) йх"- Что это действительно иногочлены, нетрудно убедиться, если применить формулу Лейбница для дифференцирования к лл а'х" — !харч пе-х1.
Старший коэффициент в этом случае всегда равен 1. Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева второго рода выглядит так: (1 — х ) (!11(х) — Зхс111(х) + (пт — 4п! У„(х) = О. (29) [гл. 5 420 сРеднеквАЯРАтичные пРВБлижения где 1 а — л РО са —— ,, [ х"е- г (х) ЕА (х)д!х. О Дифференциальное уравнение для многочленов Лагерра примет х . [Е'„"'(х)[а -[-(а-+! — х) [Е,'",'(х)[' -+ пЕ~„" (х) = О. (38> Рекуррентная формула в данном случае будет выглядеть так: ЕО!'+!, (х) — (х — а — 2п — 1) Е! (х) +- п (а +- п) Е;,"', (х) = О. (391 Иногда многочленами Лагерра называюг частный случай рассмотренных нами многочленов при р(х) = е-"'.
Если весовая функция р(х) = е ' ' и мы рассматриваем приближения /(х)~Е,(р) на всей действительной оси, то ортогональную систему образуют мпогочлены Эрмита О О„(х) = ( — 1)" еа „вЂ” „(е-е'), ,40) Покажем, что многочлены Лагерра ортогональны с весом х"е-и на полупрямой [О, со). Для этого рассмотрим интеграл )= / х'е- Еоч(х)ЕИ!(х) г(х=( — 1)" ~ Е'"~(х)ср'О~(х)ах, о о Рде через с[со(х) обозначено с[О(х) = х" +"е- . Пусть т (и. Интегрируем т раз по частям. Получим: +СО ) ( !)Не а ~' [Е! 1(х)[! ~>~~Р~- »(х)г(х о Если т(и, то, интегрируя еше один раз по частям, получим под знаком интеграла в качестве множителя [Е~'(х)[о"+о, и так как Е!'„~(х) — многочлен степени т, то 1=0. При т=п будем иметь: СО СО )= [ [Е„"'(х)[со ч„(х) с(х=п1 / ясо(х) г)х, о о так как старший коэффициент Е~„'(х) равен 1. Итак, [[Еом'[[з= ~ [Ео~'(х)[зх е-сг[х= и! ( х'+"е- стх=п!Г(а.+п-[-!).
о о (35) Если у(х) разлагается в ряд по многочленам Лагерра, то у'(х) ~г сАЕ)м (х), (36! А-О 5 51 члсгныя слгчли огтогональных систем многочлвнов 42! Проверим их ортогональность и вычислим их норму. Имеем: есо Мяе-и е 'Н (х) Н„(х) г(х = ( — 1)" / Н (х) — „— „— дх.
Интегрируя по частям, получим: Лв -х' е-Я'Н„,(х) Н„(х) Нх =( — 1)" / Н (х) — „„г(х = ях" дя-г„,-е' =( — !)"+' / Н,„(х) — — „, Их=... =( — !)Я" ~ Н,'„"'(х)е ' г(х. СО Ш Если и) и. то Нм„",'(х) =О и ( е- 'Н (х)Н„ (х) г(х = О. Так как т и и равноправны, то это имеет место при всея «г Ф п. При яг=в Н!„"'= 2"и! и е-еН„'(х) йх = 2"и! ~ е-*'~(х = 2" ° и))У гг. Отсюда +со (Н, Н„) = ] е-**Н„(х) Н (х) ~(х = 1 О при «гФн, ' (41) ! 2" иЯя при лг=и. Для многочленов Эрмита имеет место рекуррентное соотношение Н„„(х) — 2хН„(х) !- 2пН„, (х) = О (и = 1, 2, ...), (42) которое нетрудно проверить непосредственно.
которые несложно выписать. Первые многочлены Эрмита имеют вид Н„(х) = 1, Н,(х) = 2х, Н, (х) = 4х' — 2, Н,(х) = 8х' — 12х, (гл. 5 сРеднеквАдРАтичные пРББлижения Они удовлетворяют дифференциальному уравнению Н„(х) — 2хН„(х)-(- 2 и Н„(х) = О. (43) Коэффициенты многочлена наилучшего квадратичного приближения с весом р(х)=е А к функции 7(х)~)Б(р) среди многочленов степени не выше и, если его записать в виде . СО е- 'У(х) Нв(х) с(х = лве ~ У (Х) „хе ИХ. 1 2еа! Г я ( 1)ь 2АЛ1 )7 я (43) При этом лучше всего учитываются значения 7(х) в окрестности точки х=О, так как вес в этой окрестности имеет максимальное значение.
П р н и е р. Приблизить функцию 7'(х) = хе' с помощью много- члена степени не выше б-й, наилучшим образом учитывающего значении функции вблизи начала координат. Будем искать этот многочлен в виде РБ (х) = се+ с|Н~ (х) + сз Ня (х) + саНЯ (х) -+ с,Н, (х) + с, Н, (х). Коэффициенты его вычисляем по Будем иметь: .~- с 1 св — — — = ~ хе ' дх=О; с,= = ~7.—,/ указанным выше формулам (45). ч-сс 1 4 хе ' 2х~(х==; 2г'я ЗФ3 се= ~ хе ' (4хе — 1)дх=О; б у' .~. Π— 1 хе А (8хз,— !2х)дх = б бг'я l 9 г'3 СО хе А (1Бх' — 48х'+12)с1х=О; 16 24 уе11 +~ с,= 1 хе ' (32х' — )БОхз+ 120х)Нх = 32 120)7Я / б 27г'3 Р„(х)= се+ с Н,(х)+с,НЯ(х)+- ...
+с„Н„(х), (44) вычисляются по формулам: 9 6! сходимосгь яядов по огтогонлльным системам миогочлвнов 423 Таким образом, Р,(х) = (32х' — 160х' + 120х)+- .(8х' — 12х) + ь з 1 8 2?УЗ 9УЗ 4 1 + — х = — [4х'+ 4х'+ 51х!. 3 )гЗ 27 )? З Ниже для сравнения приведена таблица значений хе 4 и Р,(х) в некоторых точках: РБ ('т) о,ин о,оооо 0,0089 0,0168 0,4419 0,6?94 0,9443 0.0256 0,0229 0,0055 0,0224 — 0,1659 — 2,0974 1,2616 5,6024 26,3657 Если в качестве приближающего многочлена взять сумму трех Ж' первых членов степенного ряда для функции хе', то для значений х между нулем и единицей эта сумма даст лучшее приближение к заданной функции, но при х = 2 она будет отличаться от точного значения уже на — 0,4365, а при х = 3 на — 11,1198, т.
е. при х = 3 приближение отрезком степенного ряда будет в пять раз хуже приближения с помощью нашего многочлена. ф 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов Как мы видели, для сходимости ряда Фурье для некоторого элемента гильбертова пространства к этому элементу в смысле нормы пространства требуются полнота пространства и полнота ортогональной системы, по которой строится ряд Фурье. Для доказательства того, что это имеет место в рассматриваемом нами случае, нам будут нужны некоторые сведения из теории функций действительного переменного. Приведем пока две теоремы: Теорема Леви. Если на [а, 5! дан ряд неотрицательных измеримых функций с?1 (х) + Уя (х) + ...
+ (/в (х) + 0,2 0,4 О,б 0,8 1.0 2,0 3,0 0,0000 0,1002 0,2020 0,4163 0,6565 0,9388 1,2840 5,4365 28,4631 [гл. 5 севднвквлдглтнчныв пеивлижвння и если ь ~„~ и„(х) дх (+- Ь 1а то почти везде на [а, д[ сходится ряд ~~ Ув(х). (Почти везде Ь-1 на [а, д[ означает, что всюду за исключением, быть может, множества меры нуль,) Те орем а Фату. Если 1у1(х), <ря(х), ... — последовательность неотрицательных измеримых функций, заданных на [а, Ь[, почти везде сходящаяся к функции (1(х),,и если при всех й ~ рь (х) Нх (А, а то и ~ ф(х)дх (А. а Доказательств этих теорем здесь приводить не будем и отсылаем читателя к любому более или менее полному курсу теории функций действительного переменного.
Относительно веса р (х) будем предполагать, что р (х) ) О почти всюду на [а, Ь[ и суммируем на этом промежутке. Докажем следующую теорему, показывающую полноту пространства Ц (р): Если последовательность [У„(х)) (Уа(х) ~ 1.з(Р)) сходитсЯ в себе, то она имеет предел, также принадлежащий Ее(р). ПуСтЬ ПОСЛЕдааатЕЛЬНОСтЬ фуНКцИй [ув (Х)), у„~ Ьв (р) СХОдИтСя в себе в пространстве 1.1(р). Тогда можно найти такую последовательность натуральных чисел и1 ( пз ( пз ( ( пи ( что [) г1(х) — у (х))[ ( й1 1 1 1 [, И °,*, 1,,11< Н.=1~/(11 Н1111. а В частности, )[ у„„~,(х) — уа„(х)[[ ( †, и ряд ,у„ „ (х) — у'„„ (х)) б б) сходимость вядов по огтогонлльным системам многочлвнов 425 будет сходиться.
Применим неравенство Буняковского к функциям (х) — У„„(х)( и П Получим: ~ р (х) ) у„„„, (х) — /„„(х) ! дх ( а г ° г ~(ф/ / р(х)дх ~/ ) р(х) /~„„(х) — г'„„(х) !аах = в а = )I (л ~*и* >>х. с ) — ь ~ и. а Следовательно, сходится ряд 1 р (х))у'„„ (х) — ~„„(х)1сГх. ь=г а По теореме Леви почти везде сходится ряд ~, р (х) ~ 1„„(х) — /„„(х) (, а следовательно, и ряд Г„,(х) + ~ (~„„~,(х) †у(х)~. Таким образом, последовательность (~ьв(х)) имеет предел почти всюду на (а, Ь). Обозначим его через У'(х). Покажем. что Г'(х) принадлежит к Ее (р) и что она является пределом последовательности Г"„(х) в смысле метрики ь,(р).
Для заданного е) О найдем такое (а, что при и ) ив будет: и. —.у.,~~ < ' Последнее неравенство будет выполнено, если мы закрепим п и будем произвольным образом увеличивать л. Применим теорему Фату, взяв в качестве оь(х) функции р(х)(г' (х) — г (х))' и в качестве функции ф(х) — функции р(х) (у„(х) — у(х))'. Тогда получим: / р (х) ~ у„(х) — у (х))а дх ( еа. а 426 [гл.
5 СРЕДНЕКВАЛРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Следовательно, функция г'„(х) — ) (х), а поэтому и г" (х) принадлежат к ьг (р). Более того, мы доказали, что последовательность [Г„(х)[ сходится в среднем с весом р(х) к ) (х). Докажем теперь т е о р е м у: Множество М всех измеримых ограниченных функций ни [а, ()[, множество С непрерыенмх ни [а, ()[ функций и множество Н(Р) всех л)ногочленов всюду плотные множества в ьг(р).
Пусть уЕ ц(р). На основании свойств интеграла Лебега для произвольного е > О можно подобрать такое 3 .Р О, что как только мера произвольного множества е ~ [а, ()[ будет меньше ь, то ~ р(х) )'(х) и'х ( ег е (это свойство называют абсолютной непрерывностью). Функция г'(х) почти всюду конечна.
Поэтому можно указать такое п, что мера множества, на котором ) (х) Р п, будет меньше е. Закрепив это п, положим ) (х) при [У(х) ! (и, д(х) = О при [У(х)!) и. Очевидно, д'~ М и [! у — и'[! = ~ р Ц вЂ” и) йх = Г р).) К) с(х = ~ ())гйх ( ея, а (Ге)а) (РФЯ) Первая часть теоремы доказана. Для доказательства второй части теоремы находим д(х) ~ М такую, что [[г — д[! е.—,. Пусть [К! (К. Н. Н.
Лузиным была доказана теорема, утверждающая, что для любого о.Р О существует такая непрерывная функция о(х), которая отличается от д(х) лишь на множестве меры, не превышающей Ь, и удовлетворяющая ,неравенству [ф(х)! (К. При этом получим; [[д — ф[!'= ~ р(х)[д(х) — у(х)[зйх <4КЯ ~ р(х)йх.
)Я ФР) )РФ Р) В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последний ея интеграл может быть сделан меньше чем . Таким образом, Перейдем к третьей части. Найдем непрерывную функцию у(х), удовлетворяющую условию [! ) — р[! ( —,. В силу теоремы Вейер- 2 и 6) схидимость гидов по огтогонлльным системам многочлвнов 427 штрасса можно найти такой многочлен Р(х), что ~ Р (х) — ат (х) ( ( а. Тогда г !!У вЂ” Р(~<!!У вЂ” 'у~!+!1'у Р1!< 2+ й)( ~ Р(х)г(х а ° „,. т)р Грит < —,'. у — р~~<..
т* р* ° а полностью. Из теоремы следует, что в т'.,(р) многочлены с рациональными коэффициентами также образуют всюду плотное множество. Это множество счетно. Следовательно, Ь, (р) — сепарабельное пространство. Кроме того, отсюда следует, что построенные на степенях х: 1, х. х',, х",, .. ортогональные многочлены образуют полную систему. В результате наших рассуждений мы можем утверждать, что образованные нам» ряды по ортогональным многочленам будут сходиться к разлагаемой в ряд функции в смысле метрики 1 (р), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
