Том 1 (1160083), страница 66

Файл №1160083 Том 1 (И.С. Березин, Н.П. Жидков - Методы вычислений (1962)) 66 страницаТом 1 (1160083) страница 662019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Рекуррентная формула для многочленов Чебышева второго рода примет вид (Г„+1(х) = 2х ()„(х) — 0„! (х). (28) Если на отрезке ! — 1, +1) нужно найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции )'(х) ~ 1.1 (р), где р (х) = )/ 1 — хз, в совокупности многочленов степени не выше и, то и!цем его в виде Р„ (х) = с„ 1- с,(/,(х) +- с,(/, (х) + ... + с„()„ (х), (30) где коэффициенты се находятся по формулам: — 1 с„= — ! )'(х) ц, (х) 1/1 — хзс(х = 2 !' -1 Т вЂ” ~ 1(созО)з!пО ч!Н(й+-1) Ос(О. (31) Величина же наилучшего приближения найдется из равенства -' ! ь у= / ~з(х))/1 — хес(х — — «~~ с'.

(32) -1 А-о Приближение, получаемое с помощью мвогочленов г!()А(х)). в большей степени учитывает значения приближаемой функции в середине отрезка 1 — 1. -+11. 4. Многочлены Лагерра и Эрмита. Возьмем теперь в качестве интервала (а, Ь) полупрямую 10, эо) и в качестве веса р(х) =х"е *, где к) — 1. Мпогочлелами Лигерра нааывают выражения !Гп (~;,!(х) =( — 1)"х-"е — в(х"э "е-и). (34) йх"- Что это действительно иногочлены, нетрудно убедиться, если применить формулу Лейбница для дифференцирования к лл а'х" — !харч пе-х1.

Старший коэффициент в этом случае всегда равен 1. Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева второго рода выглядит так: (1 — х ) (!11(х) — Зхс111(х) + (пт — 4п! У„(х) = О. (29) [гл. 5 420 сРеднеквАЯРАтичные пРВБлижения где 1 а — л РО са —— ,, [ х"е- г (х) ЕА (х)д!х. О Дифференциальное уравнение для многочленов Лагерра примет х . [Е'„"'(х)[а -[-(а-+! — х) [Е,'",'(х)[' -+ пЕ~„" (х) = О. (38> Рекуррентная формула в данном случае будет выглядеть так: ЕО!'+!, (х) — (х — а — 2п — 1) Е! (х) +- п (а +- п) Е;,"', (х) = О. (391 Иногда многочленами Лагерра называюг частный случай рассмотренных нами многочленов при р(х) = е-"'.

Если весовая функция р(х) = е ' ' и мы рассматриваем приближения /(х)~Е,(р) на всей действительной оси, то ортогональную систему образуют мпогочлены Эрмита О О„(х) = ( — 1)" еа „вЂ” „(е-е'), ,40) Покажем, что многочлены Лагерра ортогональны с весом х"е-и на полупрямой [О, со). Для этого рассмотрим интеграл )= / х'е- Еоч(х)ЕИ!(х) г(х=( — 1)" ~ Е'"~(х)ср'О~(х)ах, о о Рде через с[со(х) обозначено с[О(х) = х" +"е- . Пусть т (и. Интегрируем т раз по частям. Получим: +СО ) ( !)Не а ~' [Е! 1(х)[! ~>~~Р~- »(х)г(х о Если т(и, то, интегрируя еше один раз по частям, получим под знаком интеграла в качестве множителя [Е~'(х)[о"+о, и так как Е!'„~(х) — многочлен степени т, то 1=0. При т=п будем иметь: СО СО )= [ [Е„"'(х)[со ч„(х) с(х=п1 / ясо(х) г)х, о о так как старший коэффициент Е~„'(х) равен 1. Итак, [[Еом'[[з= ~ [Ео~'(х)[зх е-сг[х= и! ( х'+"е- стх=п!Г(а.+п-[-!).

о о (35) Если у(х) разлагается в ряд по многочленам Лагерра, то у'(х) ~г сАЕ)м (х), (36! А-О 5 51 члсгныя слгчли огтогональных систем многочлвнов 42! Проверим их ортогональность и вычислим их норму. Имеем: есо Мяе-и е 'Н (х) Н„(х) г(х = ( — 1)" / Н (х) — „— „— дх.

Интегрируя по частям, получим: Лв -х' е-Я'Н„,(х) Н„(х) Нх =( — 1)" / Н (х) — „„г(х = ях" дя-г„,-е' =( — !)"+' / Н,„(х) — — „, Их=... =( — !)Я" ~ Н,'„"'(х)е ' г(х. СО Ш Если и) и. то Нм„",'(х) =О и ( е- 'Н (х)Н„ (х) г(х = О. Так как т и и равноправны, то это имеет место при всея «г Ф п. При яг=в Н!„"'= 2"и! и е-еН„'(х) йх = 2"и! ~ е-*'~(х = 2" ° и))У гг. Отсюда +со (Н, Н„) = ] е-**Н„(х) Н (х) ~(х = 1 О при «гФн, ' (41) ! 2" иЯя при лг=и. Для многочленов Эрмита имеет место рекуррентное соотношение Н„„(х) — 2хН„(х) !- 2пН„, (х) = О (и = 1, 2, ...), (42) которое нетрудно проверить непосредственно.

которые несложно выписать. Первые многочлены Эрмита имеют вид Н„(х) = 1, Н,(х) = 2х, Н, (х) = 4х' — 2, Н,(х) = 8х' — 12х, (гл. 5 сРеднеквАдРАтичные пРББлижения Они удовлетворяют дифференциальному уравнению Н„(х) — 2хН„(х)-(- 2 и Н„(х) = О. (43) Коэффициенты многочлена наилучшего квадратичного приближения с весом р(х)=е А к функции 7(х)~)Б(р) среди многочленов степени не выше и, если его записать в виде . СО е- 'У(х) Нв(х) с(х = лве ~ У (Х) „хе ИХ. 1 2еа! Г я ( 1)ь 2АЛ1 )7 я (43) При этом лучше всего учитываются значения 7(х) в окрестности точки х=О, так как вес в этой окрестности имеет максимальное значение.

П р н и е р. Приблизить функцию 7'(х) = хе' с помощью много- члена степени не выше б-й, наилучшим образом учитывающего значении функции вблизи начала координат. Будем искать этот многочлен в виде РБ (х) = се+ с|Н~ (х) + сз Ня (х) + саНЯ (х) -+ с,Н, (х) + с, Н, (х). Коэффициенты его вычисляем по Будем иметь: .~- с 1 св — — — = ~ хе ' дх=О; с,= = ~7.—,/ указанным выше формулам (45). ч-сс 1 4 хе ' 2х~(х==; 2г'я ЗФ3 се= ~ хе ' (4хе — 1)дх=О; б у' .~. Π— 1 хе А (8хз,— !2х)дх = б бг'я l 9 г'3 СО хе А (1Бх' — 48х'+12)с1х=О; 16 24 уе11 +~ с,= 1 хе ' (32х' — )БОхз+ 120х)Нх = 32 120)7Я / б 27г'3 Р„(х)= се+ с Н,(х)+с,НЯ(х)+- ...

+с„Н„(х), (44) вычисляются по формулам: 9 6! сходимосгь яядов по огтогонлльным системам миогочлвнов 423 Таким образом, Р,(х) = (32х' — 160х' + 120х)+- .(8х' — 12х) + ь з 1 8 2?УЗ 9УЗ 4 1 + — х = — [4х'+ 4х'+ 51х!. 3 )гЗ 27 )? З Ниже для сравнения приведена таблица значений хе 4 и Р,(х) в некоторых точках: РБ ('т) о,ин о,оооо 0,0089 0,0168 0,4419 0,6?94 0,9443 0.0256 0,0229 0,0055 0,0224 — 0,1659 — 2,0974 1,2616 5,6024 26,3657 Если в качестве приближающего многочлена взять сумму трех Ж' первых членов степенного ряда для функции хе', то для значений х между нулем и единицей эта сумма даст лучшее приближение к заданной функции, но при х = 2 она будет отличаться от точного значения уже на — 0,4365, а при х = 3 на — 11,1198, т.

е. при х = 3 приближение отрезком степенного ряда будет в пять раз хуже приближения с помощью нашего многочлена. ф 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов Как мы видели, для сходимости ряда Фурье для некоторого элемента гильбертова пространства к этому элементу в смысле нормы пространства требуются полнота пространства и полнота ортогональной системы, по которой строится ряд Фурье. Для доказательства того, что это имеет место в рассматриваемом нами случае, нам будут нужны некоторые сведения из теории функций действительного переменного. Приведем пока две теоремы: Теорема Леви. Если на [а, 5! дан ряд неотрицательных измеримых функций с?1 (х) + Уя (х) + ...

+ (/в (х) + 0,2 0,4 О,б 0,8 1.0 2,0 3,0 0,0000 0,1002 0,2020 0,4163 0,6565 0,9388 1,2840 5,4365 28,4631 [гл. 5 севднвквлдглтнчныв пеивлижвння и если ь ~„~ и„(х) дх (+- Ь 1а то почти везде на [а, д[ сходится ряд ~~ Ув(х). (Почти везде Ь-1 на [а, д[ означает, что всюду за исключением, быть может, множества меры нуль,) Те орем а Фату. Если 1у1(х), <ря(х), ... — последовательность неотрицательных измеримых функций, заданных на [а, Ь[, почти везде сходящаяся к функции (1(х),,и если при всех й ~ рь (х) Нх (А, а то и ~ ф(х)дх (А. а Доказательств этих теорем здесь приводить не будем и отсылаем читателя к любому более или менее полному курсу теории функций действительного переменного.

Относительно веса р (х) будем предполагать, что р (х) ) О почти всюду на [а, Ь[ и суммируем на этом промежутке. Докажем следующую теорему, показывающую полноту пространства Ц (р): Если последовательность [У„(х)) (Уа(х) ~ 1.з(Р)) сходитсЯ в себе, то она имеет предел, также принадлежащий Ее(р). ПуСтЬ ПОСЛЕдааатЕЛЬНОСтЬ фуНКцИй [ув (Х)), у„~ Ьв (р) СХОдИтСя в себе в пространстве 1.1(р). Тогда можно найти такую последовательность натуральных чисел и1 ( пз ( пз ( ( пи ( что [) г1(х) — у (х))[ ( й1 1 1 1 [, И °,*, 1,,11< Н.=1~/(11 Н1111. а В частности, )[ у„„~,(х) — уа„(х)[[ ( †, и ряд ,у„ „ (х) — у'„„ (х)) б б) сходимость вядов по огтогонлльным системам многочлвнов 425 будет сходиться.

Применим неравенство Буняковского к функциям (х) — У„„(х)( и П Получим: ~ р (х) ) у„„„, (х) — /„„(х) ! дх ( а г ° г ~(ф/ / р(х)дх ~/ ) р(х) /~„„(х) — г'„„(х) !аах = в а = )I (л ~*и* >>х. с ) — ь ~ и. а Следовательно, сходится ряд 1 р (х))у'„„ (х) — ~„„(х)1сГх. ь=г а По теореме Леви почти везде сходится ряд ~, р (х) ~ 1„„(х) — /„„(х) (, а следовательно, и ряд Г„,(х) + ~ (~„„~,(х) †у(х)~. Таким образом, последовательность (~ьв(х)) имеет предел почти всюду на (а, Ь). Обозначим его через У'(х). Покажем. что Г'(х) принадлежит к Ее (р) и что она является пределом последовательности Г"„(х) в смысле метрики ь,(р).

Для заданного е) О найдем такое (а, что при и ) ив будет: и. —.у.,~~ < ' Последнее неравенство будет выполнено, если мы закрепим п и будем произвольным образом увеличивать л. Применим теорему Фату, взяв в качестве оь(х) функции р(х)(г' (х) — г (х))' и в качестве функции ф(х) — функции р(х) (у„(х) — у(х))'. Тогда получим: / р (х) ~ у„(х) — у (х))а дх ( еа. а 426 [гл.

5 СРЕДНЕКВАЛРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Следовательно, функция г'„(х) — ) (х), а поэтому и г" (х) принадлежат к ьг (р). Более того, мы доказали, что последовательность [Г„(х)[ сходится в среднем с весом р(х) к ) (х). Докажем теперь т е о р е м у: Множество М всех измеримых ограниченных функций ни [а, ()[, множество С непрерыенмх ни [а, ()[ функций и множество Н(Р) всех л)ногочленов всюду плотные множества в ьг(р).

Пусть уЕ ц(р). На основании свойств интеграла Лебега для произвольного е > О можно подобрать такое 3 .Р О, что как только мера произвольного множества е ~ [а, ()[ будет меньше ь, то ~ р(х) )'(х) и'х ( ег е (это свойство называют абсолютной непрерывностью). Функция г'(х) почти всюду конечна.

Поэтому можно указать такое п, что мера множества, на котором ) (х) Р п, будет меньше е. Закрепив это п, положим ) (х) при [У(х) ! (и, д(х) = О при [У(х)!) и. Очевидно, д'~ М и [! у — и'[! = ~ р Ц вЂ” и) йх = Г р).) К) с(х = ~ ())гйх ( ея, а (Ге)а) (РФЯ) Первая часть теоремы доказана. Для доказательства второй части теоремы находим д(х) ~ М такую, что [[г — д[! е.—,. Пусть [К! (К. Н. Н.

Лузиным была доказана теорема, утверждающая, что для любого о.Р О существует такая непрерывная функция о(х), которая отличается от д(х) лишь на множестве меры, не превышающей Ь, и удовлетворяющая ,неравенству [ф(х)! (К. При этом получим; [[д — ф[!'= ~ р(х)[д(х) — у(х)[зйх <4КЯ ~ р(х)йх.

)Я ФР) )РФ Р) В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последний ея интеграл может быть сделан меньше чем . Таким образом, Перейдем к третьей части. Найдем непрерывную функцию у(х), удовлетворяющую условию [! ) — р[! ( —,. В силу теоремы Вейер- 2 и 6) схидимость гидов по огтогонлльным системам многочлвнов 427 штрасса можно найти такой многочлен Р(х), что ~ Р (х) — ат (х) ( ( а. Тогда г !!У вЂ” Р(~<!!У вЂ” 'у~!+!1'у Р1!< 2+ й)( ~ Р(х)г(х а ° „,. т)р Грит < —,'. у — р~~<..

т* р* ° а полностью. Из теоремы следует, что в т'.,(р) многочлены с рациональными коэффициентами также образуют всюду плотное множество. Это множество счетно. Следовательно, Ь, (р) — сепарабельное пространство. Кроме того, отсюда следует, что построенные на степенях х: 1, х. х',, х",, .. ортогональные многочлены образуют полную систему. В результате наших рассуждений мы можем утверждать, что образованные нам» ряды по ортогональным многочленам будут сходиться к разлагаемой в ряд функции в смысле метрики 1 (р), т. е.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,82 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее