Том 1 (1160083), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В этом случае точка хг будет являться средней из точек, по которым строит.я приближающий многочлен. Ниже приводится несколько таких выражений. Для краткости вместо г(хг) мы записываем Л. (гл. 5 сгеднеквлдглтичные пгнвлижвиия н=б 7(хз) = —,(5А з — 30(з з+ 75Д.,+ 131(з+ + 75(з ы — 307; .з+- 5Л.„з!; / (хз) = 429 (157г-4 5оЛ вЂ” з+ ЗОЛ з-1- 1351з з+ + 1797з+ 135/~,, + ЗОЛ „— 55(з., з+ 157;, ф); н= 1О: 7(х;) = — (!А з — 45Л 4 — 1Оуз а+ ба з-+120Л, + + 143Л+ 1207з~, + 60Л . з — 10Л , з — 457!~4+ 187!~а), Иногда сглаживание приходится производить несколько раз, но при этом нужно иметь в виду, что многократное сглаживание может сильно исказить истинную картину.
й ! 1, Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических формул. Решение систем линейных алгебраических уравнений по методу наименьших квадратов Пусть две переменные х и у связаны известной функциональной зависимостью у=у(х; ао аз, ..., а ), (1) содержащей т параметров ао аз ..., а . Пусть при х = х,, х,, ..., х„(и ) т) известны с некоторой точностью значения уь у,, ..., у, Требуется найти значения параметров ао аз, ..., а.. С такой задачей приходится встречаться при построении эмпирических формул, выражающих в аналитической форме закономерность изменения одной величины в зависимости от изменения другой, если в результате наблюдений получена таблица значений величины у при соответствующих значениях х.
Вил функциональной зависимости 7' и число параметров т в некоторых случаях известны из каких-либо дополнительных соображений, в др)тих случаях вид функциональной зависимости усматривается из графика, построенного по наблюденным значениям ун а число параметров и их значения подбираются так, чтобы эмпирическая формула наилучшим образом отображала результаты наблюдений и была лостаточно проста. В некоторых случаях, когла не удается построить достаточно простую эмпирическую формулу, выражающую достаточно просто зависимость у от х на всем диапазоне изменения аргум нта х, прибегают к построению ряла эмпирических формул, выражающих эту зависимость в опреде ~енных более узких пределах изменения х, 447 Ф 111 постговниз эмпигических эогмгл Вернемся к поставленной задаче. Если бы значения уг при х = х; были известны точно, то задача принципиально решалась бы просто.
Нужно было бы из системы у, =7(х,; а„ам ..., а,~, У,=у(ха; а,,а,,...,а), (2) у„=-7(х„; а,, аа...., а,„) взять т уравнений и найти из них значения параметров ач (предполагается, что эта система имеет единственное решение), При этих значениях параметров были бы в точности удовлетворены все остальные уравнения системы. Если же у,, как и бывает практически, являются приближенными значениями, то, найдя из каких-либо га уравнений значения параметров а,, а,, ..., а,„, мы столкнемся с тем фактом, что эти значения параметров не будут удовлетворять остальным уравнениям, причем пазность между правой и левой частями для некоторых уравнений может быть значительной. Наша система чаще всего будет несовместна.
Возникает задача так определить значения параметров, чтобы в некотором смысле все уравнения системы были удовлетворены с наименьшей погрешностью, т. е. найти те значения параметров, при которых искомая эмпирическая формула наилучшим образом согласуется с результатами наблюдений. Одним из способов отыскания этих значений параметров а,, ах, ..., а,„является следующий. Отыскиваются приближенные о о о значения параметров а,, аз, ..., а, например решая систему, составленную из каких-либо т уравнений системы. Далее, ищутся поправки к этим значениям а; = а, + а; (1 = 1, 2, ..., аг).
(3) Предполагая, что поправки а, достаточно малы, а функция 7 — лостаточно гладкая функция, разлагают правые части уравнений системы в ряд Тейлора в окрестности точки (ачь аа, ... а'), удерживая лишь члены первого порядка отчосительно поправок, т. е. У (ха а1 аа апь) у.( ч ч о )+ '%~~~У~ (х . ао аО аз ) а (4) 1-1 Вводя для сокращения записи обозначению у„— Г (х,; а',, а,,", ..., а" ) = 1 ()а = 1, 2, ..., а), ! (5) 447 Ф 111 постговнив эмпигических эогмгл Вернемся к поставленной задаче.
Если бы значения у, при х = х; были известны точно, то задача принципиально решалась бы просто. Нужно было бы из системы у, =/(х,; а,, а,, ..., а,„), у, =7(ха; а,, а,, ..., а ), (2) у„=-)'(х„; а,, аа, ..., а,„) взять лг уравнений и найти из них значения параметров ач (предполагается, что эта система имеет единственное решение). При этих значениях параметров были бы в точности удовлетворены все остальные уравнения системы.
Если же уь как и бывает практически, являются приближенными значениями, то, найдя из каких-либо т уравнений значения параметров а,, а, ..., а , мы столкнемся с тем фактом, что эти значения параметров не будут удовлетворять остальным уравнениям, причем пазность между правой и левой частями для некоторых уравнений может быть значительной. Наша система чаще всего будет несовместна. Возникает задача так определить значения параметров.
чтобы в некотором смысле все уравнения системы были удовлетворены с наименьшей погрешностью, т. е. найти те значения параметров, при которых искомая эмпирическая формула наилучшим образом согласуется с результатами наблюдений. Одним из способов отыскания этих значений параметров а,, аз, ..., а„, является следующий. Отыскиваются приближенные о о о значения параметров а,, аз, ..., а, например решая систему, составленную из каких-либо т уравнений системы. Далее, ищутся поправки к этим значениям а; = а, + а; (1 = 1, 2, ..., ш).
(3) Предполагая, что поправки а, достаточно малы, а функция ) — достаточно гладкая функция, разлагают правые части уравнений системы в ряд Тейлора в окрестности точки (ао аа, ... а~), удерживая лишь члены первого порядка относительно поправок, т, е. Х(хяа а,, а,, ..., а„,) = 7'( ач ч о ) + с~~~ (У (х ' ао ао „а~ )дп (4) Вводя для сокращения записи обозначения: у„— 7 (х„; а',, а,,", ..., а" ) = 1 (и = 1, 2...,, а), ! (5) ф 11] постРОение эмпиРических ФОРмул 449 У! Ую ° °" Уи суть йо Рю ° ° ° ° 1!И. Вычисляем величину и находим веса !! Р. Рг= Ра= ° ° ° ° Ря= ° Р! Ря Рч Затем каждое условное уравнение умножаем иа соответствующее РФ Очевидно, получим систему, эквивалентную исходной, в которой правыми частями будут величины 1 —, !! У Р! Ия Рь ошибку р.
нормальных уравнений из условия имевшие одну и ту же среднюю Это равносильно составлению минимума ОР— — ~л~> Рз 1в — ~! Ьысс! в-! ! ! Заметим, что для упрошеиия вычислений вместо среднеквадратичных ошибок можно брать величины, им пропорциональные, так как это не меняет нормальной системы. Наконец, отметим, что на задачу приближения функций, заданной таблицей значений, с помощью алгебраического многочлена степени т по ме~оду наименьших квадратов можно смотреть как иа задачу построения эмпирической формулы в виде миогочлена степени т. Роль параметров в этом случае играют коэффициенты многочлена.
причем система условных уравнений будет иметь вид Дх!)= ~~~~ ~а,х", (1=1, 2, ..., П), а-о Решая систему нормальных уравнений одним из известных способов (подробнее об этом будет рассказываться в следующей главе), найдем значения неизвестных зо а,...., аяь которые для нашей исходной задачи являются поправками к начальным значениям параметров, а суммы а',+а, можно принять за искомые значения параметров а, в эмпирической формуле. Предыдущий способ дает удовлетворительные результаты только в том слУчае, когда РезУльтаты измеРений У,, Ую ..., У„имеют одинаковую точность, т. е. их среднеквадратичные погрешности примерно одинаковы (см. гл.
1). Если этого нет, то целесообразно сначала все условные уравнения привести к «одинаковому весуэ. Это делается следующим способом. Пусть среднеквздратичные ошибки величин 450 ]гл 5 сгеднекаадглтнчныв пгиялижвния а коэффициенты многочлена наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов будут находиться как решение системы нормальных уравнений.
П р и м е р. Известно, что некоторая величина 1 зависиг от времени ! следующим образом: у=ае "'. ! ! 0,450 2,010 1,210 0,740 Найти значение параметров а и Р в этой функциональной зависимости. Исходные уравнения будут иметь вид 2,010 = а. 1,210 = ае и, 0,740 = ае ЯЯ, 0,450= ае ьа.
Решая приближенно первые два уравнения, найдем: ао — — 2,010 Ро = 0 510. Р=и — «о Ч=Р Ро Ищем поправки Так как — =е г", д— — — — и1е- ', д1 д1 да дн — — 1, дз, = е оь' = 0,600, дь, — — е гло = 0,361, д„=е гда=0,216, д,т= О, ды = — 2.01е-'" = — 1,206, ды = — 4,02е-ьеь = — 1,451, д = — 6,03е ' " = — 1,302, 1,=2,010 — 2,0!е-оь'о 0 1, = 1.210 — 2,01е-о"' = 0,004, Сь= 0,740 — 2,01е о,ь'." 0 014 14 — — 0,450 — 2,01е-'" = 0,016. Измерения величины 1, произведенные с одинаковой точностью, лали следующую таблицу зависимости 1 от 1: 6 !21 пгизлижкник евнкции.тавлицы тгигономвтгич.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
