Том 1 (1160083), страница 71
Текст из файла (страница 71)
многочл, 451 Система условных уравнений запишется так: р = О. 0,6009 — 1,206д = 0.004, 0,3619 — 1,4519 = 0,014, 0,2169 — 1,3029 = 0,016. Система нормальных уравнений принимает вид: [!в.+ 0,600'+. 0,361а+ 0,216'1 ~ — 11,206 ° 0,600+ 1.451 0,361 -1- + 1,302 О 216) д = 0004 ° 0600+ О 014 0,361-1- 0016 02!6, — 10,600 . 1,206+ 0,361 1,451+0,216 1,302) 8-+ -1-11,206' -1- 1,451'+ 1,302в) д = = — 10,004 ° 1,206+- 0,014 1,451 + 0,016 1,302), или 1,537~ — 1,5299 = 0,0! 1, — 1,529р -+ 5,25%7 = — 0,046, откуда ~ = — 0,004, д = — 0,009, а=2,006, р=0,501, У = 2, 0 Обе -' ы".
9 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов В 6 8 мы рассмотрели общий случай приближения табличной функции по методу наименьших квадратов с помощью функций некоторой системы Чебышева. Пусть теперь узлы расположены на отрезке (О, 2н): 0(х,(хв(... (х„(2к, и в качестве системы Чебышева возьмем тригонометрические функции: 1, совх, в1пх, сов2х, в1п2х, ..., сових, гйпих. (1) Будем предполагать, что М) 2л+1. В этом случае согласно общей теории будет однозначно определяться тригонометрический многочлен Т„(х) = аз + ~~р~ (аа сов Их + Ьв в!и йх) (2) в г 452 [гл.
5 сРедиекВАДРАтичные пРивлижения наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов для произвольной функции, заданной в точках хь Коэффициенты этого тригонометрического многочлена будут удовлетворять системе уравнений Фаз+-,~~~~ аз~~'„созйх1+Ьв ~,з!Пйх! — — „~~~у(х1), В1,,1 1-1 а1 Я и ! и ла.а',1 Соз!Х!» Х [па Х СОЕПХ1СОз !Х1+ 1 1 Й1,1 .+ Па ~Х~1 5!и лх1 сов !х! — а~~~ 1 (Х1) СОЗ !Хн 1 1 ае,~~ гйп гх! +- ~~'., ав ~~~~ соз их1 гйп !х! -+ 1-1 а-1! 1-1 +-ба~аз!Пйх1з!п!Х1~=~~.',у(х1)з!п!х! (1=1, 2, ..., и). 1 1 ! 11 2я х,=а, ха= 2п; ..., х, =Ма, и= —.
(4) Тогда справедливы следующие равенства: У У ~ соз йх! = ~ з!п йх! — — О (й Ф Мр, р — целое число), 1-1 1=! М и ~х~~ соз лх1соз гх1 = ~х~1 з1п лх! з!п гх1 = О, 1-1 1-1 если Ф-+г и й — г не являются кратными М и й ~ г. л ,~1 сов йх1 з1п гх! — — О 1-1 л Я ~1 созе Йх! = „р~ а!па Йх! ! 1 1 при всех й, г; 2 (2И 4' НР). ! Решив эту систему, мы сумеем найти приближающий многочлен. Как мы знаем, система упростится, если функции системы Чебышева ортогоиальны в смысле той метрики, которая нами вводится при изучении табличных функций, Для тригонометрических многочленов оказывается, что не нужно производить никакой ортогонализации, если р;=1 и узлы равноотстоящие, Пусть !2( пгивлижкник эвикции-тавлицы тгигономвтгич. многочл.
453 Таким образом, в этом случае сами функции тригонометрической системы ортогональны. Чтобы доказать написанные нами равенства, рассмотрим ,аь л Ф 1— Х ™ — ~ь'' 1 е.т 1Ы Е агнец« — Еах" (Е 11 — !) Е !а 1 % Ы» гаа — О ег "— 1 ег ' — 1 1-1 1-! при и ~ Мр. Отделяя здесь действительную и мнимую части, получим первое равенство. Далее, Х 1 ич 1 %~ Соз 1ЗХ1 СОЗ ГХ! = — 7 СОЗ (Л + Г) Х! .+ — 7 СОЗ (Л вЂ” Г! Х11 2 Л1 2 а'а Х = Х 1 Ъг 1 %т 51П 1ЗХ~ З!и ГХ1 = — Д~ СОЗ(Л вЂ” Л) Х1 — — 7~ Соз (11+ !') Х1.
2 ааа 2 аГаа Суммы, стоящие в правых частях, равны нулю, если !а.+г и и — г не являются кратными М. Аналогично Х 1 %т 1 %т сових! згпгх1 —— — ~ зги(л -+г) Х1 — — ~~ з!п(л — г) Х1 —— О 2,аа 2 аЫа при всех и и г. Наконец, и Х Х' =Х 1 %ч Ф созе!зх1= — ~(1+соз2дх1( = —, 2 аЬа 2 У зг Х ' =-Х— 1 %т Аг з!пз дх1 = — Г (1 — соз 2дх1( = —. = 2,Г, 2 если 211 не кратно М.
Если же 2л кратно М, то ~~„', созе мх1 = М, а ~~,'~ з!пз !зх1 — — О. 1 1 454 (гл. 5 сееднекводгатичные пРиБлижения В силу полученных нами равенств система для определения коэффициентов упростится и примет вид Иао= ~~' у (х,). — аг = ~ Г" (х~) соа 1хн дг 2 3 дг — Ьт= ~ у(Х1) а1п1х, (1= 1, 2, ..., л) или а = — ~~у(хг), Ю-1 2 %'1 от= в ~ г'(хг) соа1хн 1-1 2 с'1 ог = — т, 7 у (х~) 3!и гхг (8) (1 = 1. 2, ..., л). Последние формулы носят название формул Бесселя.
Заметим, что формулы Бесселя можно получить из формул для коэффициентов Фурье функции г(х): ао = — 1 г'(х) ах, /' о /' аа — — — 1 1(х)созахах, о ра = — 1 г' (х) а(п лх дх, /' о (9) СО у'(х) =а +~р~ (авсоа ах+раз(плх). если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя формулу трапеций, полагая 1'(О) = г'(2И). Укажем также на связь коэффициентов, полученных по формулам Бесселя, и коэффициентов ряда Фурье функции )" (х), если эта функция разлагается в равномерно сходяшийся ряд Фурье: $13) схемА Рукге Вычисления коэооициентов ао, ад, бд 453 Учитывая наши равенства и беря М= 2Р, будем иметь: Таким образом, ао — — по+а,р+а,р+а,р+- ..., п„=а,+,+ г+а г+а,,-+ ..., 1»г = Игг гдзр — г+ гпйр<-г Ягзр-г + Иг»р ч' 110) Если коэффициенты ай.
рй быстро убывают, то осиовное значение имеют первые члены этих рядов. При небольших г аг и Ьг будут близки к аг и р„, а при больших г расхождение будет, вообще говоря, больше. ф 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов зто, ад, Ьд в случае М= 4йз Значения сов!х1 и з1п)хг, входящие в формулы Бесселя, будут совпадать или различаться лишь знаком даже при различных значениях 1. Этим часто пользуются, чтобы создать различные удобные вычислительные схемы. Одну из таких схем мы и рассмотрим Ф Зр о ! %З 1 %З о= — д!!»= — д[,од»о ° »;ой. »о»]-о»- дЗ ЗУ) 2Р ~Й~ 1-1 1 1 й 1 о 2р йр + — Р ай~соз»сх1+~„г 21плх1 =ао+айр-+ар+ ..., 2Р Згй' ~ й1,! 1 1 йг Зр ) со "=ух»г»о» * *=-г.[ -~-д»ч -»;-~-ьз"*,»]х Р 1 1 1 1 й-1 ЗР со йр 'со%! Х созгх1 — — — ~ рисов гх1+ — р 1 ай р созихйсозгх1.+рд Х Р Р 1 1 йр Х Х З1П )ЗХЗ СОЗ ГХ1 1 = а„+- ай г+- а„+г + а„, +- ай, г + ..., 1 1 Аг »р о» ' = — 2»!»о! ! *=-д~"од»о- »о«-1.
»*»]х г — »Г ~~ 1 = ~а~ О 1 1 1=! й-! Зр о йр Х З... — ~ З-, О- Л ( „~.„»»*ь».,* О Р Р 1-! Д 1 1 1 2р -1-1.К»" »" ""'* (=1,— Зо-,4-1,+.— Ь,—.ОЗЗ.,—." 1 1 456 (гл. 5 среднеквАЛРАтичные пРиБлижения в этом параграфе. Как уже указано в заголовке, берем М=4р. В этом случае и ( 2р — 1.
Будем разыскивать многочлен в виде Т(х) =а„+а,совх+авсов2х+ ... +авр,сов(2р — 1) х-+ + аар сов 2рх +- Ь, сбп х + Ь, сбп 2х -+ ... -+ Ьвр, сбп (2р — 1) х. (11 Для коэффициентов аь, Ьь многочлена наилучшего приближения мы имеем следующие формулы: (6= 1. 2 Выражения для авр мы не имели. Получим его. Для отыскания а,р мы имеем уравнение 4Р 4р а,р ~~'„, сова 2рх1 — — .~, 1 (х1) сов 2рх1. 1-1 1-1 Так как х1 — — а1 = —, то сов2рх,=совл(=( — 1)'. Следовательно, л1 2р ' 4р 1 ,«~ совв 2рх, = 4р; ~ 1(хг) сов 2рх1 —— ,~~~ ( — 1)'1 (хь) 1=1 1 1 1 1, (5) Займемся упрощением сумм, входящих в выра>кения для коэффиннентов.
для этого заметим, что й (4р — Г) л Дгл СОВ ЙХ4 -1 — СОВ р 2р 2р =. сов — = сов ах>, З1ГХЙ 1 = В!П й (4р — !) л, а4л Р 2р 2р в!и — = — в!п ах1. (4) Следовательно, в суммах можно объединить члены, равноудаленные от концов. Вводя обозначения: а =1(х„): в =1(х ): а!=1(хд+1(хор->)' 421 =1(х!) — 1(х4р-1) (1= 1, 2...,, 2р — 1), (5) 1 %т ао= — 7 1(х1); 4р 4ьа 1- 1 4р 1 %т аа — — — р„1 (х,) сов йх1 2р 44ла 1-1 4р 4 Х 1 4р 1-1 4Р Ь„= — ыт 1(х1) в)п йх1 1 %" 2р .Ла 1 1 ... 2р — 1). следую1цим обра- можно выражения для коэффициентов переписать зом: Зр ар 1 ты 1 П,= — ~ 5,; 4р ~Й~ и, = — У ( — 1)'5,; Р 4р 1-5 1РВ ар яр 1 %5 1 чст а„= — р 51созпх1; 6а — — — ~ с(15!НИХ1 (Й= 1 2р Ла 1 ' 2р,й~ 1РР 1-1 2,...,2р — 1).
> (б) Далее, для четных значений и (И=27) имеем: 27)л = соз — = соз 27Х1 — — соз йх1, 2р 2)1я 2р = — 51п — = — 5!и 27х1= — жп Йх1, (7) (2р — 1) я С05 йхзр ! = Соз 2 1 5!п )ахар 1 — — 51п 2/ (2р — 1) я 2р а для нечетных значений 6 (й= 27' — 1): С05 йхя 1 — — СОЕ (2/ — 1) (2р — 1) я (27 — 1) Гя р- = 2р 2р — — Соз = — С05 ЙХ1, 5!и йха 1 — — 5!п (2/ — 1) (2р — 1) я, 21!я яр-1 2р 2р =+5!и — = 5!и ЙХ1. (8) Таким образом, можно снова объединить члены„равноотстоящие от концов. Если ввести обозначения Ер — — Ер, е= +5 61 = 51 — а,р, а' =а', р р' а = с(1+с(ар 1, / 31 = п1, — и'1 р то формулы можно записать (1 = 1, 2, ..., р — !).
в таком виде: р 1 %5 а = — ~( — 1)'и Р 4р ~Й 1-О Р-1 1 %5 аа) 1= —, У 31соз(2/ — 1)х1. 2р Ь р ~~ а1, 1-О р Х е! сов 27'Х1. 1-О р — 1 Х' 3; Ера 2)хп 1 а,=— 4р 1 а, =— 2р (10) р 65) 1= — - 5 5!Е(27' — 1)х1. ! г 2р А'а 1 1 1 1 61~ — — 2 ф 13) схемА РунГе Вычисления коэееициентов аа, ае, 65 457 !гл. б 458 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Вычисления сумм и разностей удобно располагать следующим образом: Л Л Л ' Лр- тгр Лр 14р — / Лр-2 //Вр-в ° Лрч-1 Суммы... Бо Разности . . Егр-1 агр 1!2р — 1 а ° ° ° ЗРО1 агр-В агр -1 ор Суммы... а' о' а' ... о' Разности .. 6', 8' 8' ... 8' 1 р а' А Случай 12 ординат.
В этом случае будем иметь: Л Л Л Л Лг Л1 Ло Л !з Л 13 Л Суммы . ° Бо 21 ег 23 Рззности .. с!1 /Уг 4!в Зв ЗВ а'3 (Ц о!в 4!3 '!4 ао а/ аг ав ЗВ ЗЬ 4 Суммы... о' о,' о' разности .. О, Суммы... а, а, аг а, Разностн . 83 дальнейшие вычисления удобно производить по схемег Суммы ! ! ! П ( ! ( П ( ! ~ П ! ! ! П Су и т+/! Р / — / ~ /2, 1 61 ~ 6, ! 6, Суммы... оо а, Разности ., 82 81 а42р-1 аг ав 82 8 4!2 1!3 1!2р-2 1!гр-3 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
