Том 1 (1160083), страница 71

Файл №1160083 Том 1 (И.С. Березин, Н.П. Жидков - Методы вычислений (1962)) 71 страницаТом 1 (1160083) страница 712019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

многочл, 451 Система условных уравнений запишется так: р = О. 0,6009 — 1,206д = 0.004, 0,3619 — 1,4519 = 0,014, 0,2169 — 1,3029 = 0,016. Система нормальных уравнений принимает вид: [!в.+ 0,600'+. 0,361а+ 0,216'1 ~ — 11,206 ° 0,600+ 1.451 0,361 -1- + 1,302 О 216) д = 0004 ° 0600+ О 014 0,361-1- 0016 02!6, — 10,600 . 1,206+ 0,361 1,451+0,216 1,302) 8-+ -1-11,206' -1- 1,451'+ 1,302в) д = = — 10,004 ° 1,206+- 0,014 1,451 + 0,016 1,302), или 1,537~ — 1,5299 = 0,0! 1, — 1,529р -+ 5,25%7 = — 0,046, откуда ~ = — 0,004, д = — 0,009, а=2,006, р=0,501, У = 2, 0 Обе -' ы".

9 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов В 6 8 мы рассмотрели общий случай приближения табличной функции по методу наименьших квадратов с помощью функций некоторой системы Чебышева. Пусть теперь узлы расположены на отрезке (О, 2н): 0(х,(хв(... (х„(2к, и в качестве системы Чебышева возьмем тригонометрические функции: 1, совх, в1пх, сов2х, в1п2х, ..., сових, гйпих. (1) Будем предполагать, что М) 2л+1. В этом случае согласно общей теории будет однозначно определяться тригонометрический многочлен Т„(х) = аз + ~~р~ (аа сов Их + Ьв в!и йх) (2) в г 452 [гл.

5 сРедиекВАДРАтичные пРивлижения наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов для произвольной функции, заданной в точках хь Коэффициенты этого тригонометрического многочлена будут удовлетворять системе уравнений Фаз+-,~~~~ аз~~'„созйх1+Ьв ~,з!Пйх! — — „~~~у(х1), В1,,1 1-1 а1 Я и ! и ла.а',1 Соз!Х!» Х [па Х СОЕПХ1СОз !Х1+ 1 1 Й1,1 .+ Па ~Х~1 5!и лх1 сов !х! — а~~~ 1 (Х1) СОЗ !Хн 1 1 ае,~~ гйп гх! +- ~~'., ав ~~~~ соз их1 гйп !х! -+ 1-1 а-1! 1-1 +-ба~аз!Пйх1з!п!Х1~=~~.',у(х1)з!п!х! (1=1, 2, ..., и). 1 1 ! 11 2я х,=а, ха= 2п; ..., х, =Ма, и= —.

(4) Тогда справедливы следующие равенства: У У ~ соз йх! = ~ з!п йх! — — О (й Ф Мр, р — целое число), 1-1 1=! М и ~х~~ соз лх1соз гх1 = ~х~1 з1п лх! з!п гх1 = О, 1-1 1-1 если Ф-+г и й — г не являются кратными М и й ~ г. л ,~1 сов йх1 з1п гх! — — О 1-1 л Я ~1 созе Йх! = „р~ а!па Йх! ! 1 1 при всех й, г; 2 (2И 4' НР). ! Решив эту систему, мы сумеем найти приближающий многочлен. Как мы знаем, система упростится, если функции системы Чебышева ортогоиальны в смысле той метрики, которая нами вводится при изучении табличных функций, Для тригонометрических многочленов оказывается, что не нужно производить никакой ортогонализации, если р;=1 и узлы равноотстоящие, Пусть !2( пгивлижкник эвикции-тавлицы тгигономвтгич. многочл.

453 Таким образом, в этом случае сами функции тригонометрической системы ортогональны. Чтобы доказать написанные нами равенства, рассмотрим ,аь л Ф 1— Х ™ — ~ь'' 1 е.т 1Ы Е агнец« — Еах" (Е 11 — !) Е !а 1 % Ы» гаа — О ег "— 1 ег ' — 1 1-1 1-! при и ~ Мр. Отделяя здесь действительную и мнимую части, получим первое равенство. Далее, Х 1 ич 1 %~ Соз 1ЗХ1 СОЗ ГХ! = — 7 СОЗ (Л + Г) Х! .+ — 7 СОЗ (Л вЂ” Г! Х11 2 Л1 2 а'а Х = Х 1 Ъг 1 %т 51П 1ЗХ~ З!и ГХ1 = — Д~ СОЗ(Л вЂ” Л) Х1 — — 7~ Соз (11+ !') Х1.

2 ааа 2 аГаа Суммы, стоящие в правых частях, равны нулю, если !а.+г и и — г не являются кратными М. Аналогично Х 1 %т 1 %т сових! згпгх1 —— — ~ зги(л -+г) Х1 — — ~~ з!п(л — г) Х1 —— О 2,аа 2 аЫа при всех и и г. Наконец, и Х Х' =Х 1 %ч Ф созе!зх1= — ~(1+соз2дх1( = —, 2 аЬа 2 У зг Х ' =-Х— 1 %т Аг з!пз дх1 = — Г (1 — соз 2дх1( = —. = 2,Г, 2 если 211 не кратно М.

Если же 2л кратно М, то ~~„', созе мх1 = М, а ~~,'~ з!пз !зх1 — — О. 1 1 454 (гл. 5 сееднекводгатичные пРиБлижения В силу полученных нами равенств система для определения коэффициентов упростится и примет вид Иао= ~~' у (х,). — аг = ~ Г" (х~) соа 1хн дг 2 3 дг — Ьт= ~ у(Х1) а1п1х, (1= 1, 2, ..., л) или а = — ~~у(хг), Ю-1 2 %'1 от= в ~ г'(хг) соа1хн 1-1 2 с'1 ог = — т, 7 у (х~) 3!и гхг (8) (1 = 1. 2, ..., л). Последние формулы носят название формул Бесселя.

Заметим, что формулы Бесселя можно получить из формул для коэффициентов Фурье функции г(х): ао = — 1 г'(х) ах, /' о /' аа — — — 1 1(х)созахах, о ра = — 1 г' (х) а(п лх дх, /' о (9) СО у'(х) =а +~р~ (авсоа ах+раз(плх). если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя формулу трапеций, полагая 1'(О) = г'(2И). Укажем также на связь коэффициентов, полученных по формулам Бесселя, и коэффициентов ряда Фурье функции )" (х), если эта функция разлагается в равномерно сходяшийся ряд Фурье: $13) схемА Рукге Вычисления коэооициентов ао, ад, бд 453 Учитывая наши равенства и беря М= 2Р, будем иметь: Таким образом, ао — — по+а,р+а,р+а,р+- ..., п„=а,+,+ г+а г+а,,-+ ..., 1»г = Игг гдзр — г+ гпйр<-г Ягзр-г + Иг»р ч' 110) Если коэффициенты ай.

рй быстро убывают, то осиовное значение имеют первые члены этих рядов. При небольших г аг и Ьг будут близки к аг и р„, а при больших г расхождение будет, вообще говоря, больше. ф 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов зто, ад, Ьд в случае М= 4йз Значения сов!х1 и з1п)хг, входящие в формулы Бесселя, будут совпадать или различаться лишь знаком даже при различных значениях 1. Этим часто пользуются, чтобы создать различные удобные вычислительные схемы. Одну из таких схем мы и рассмотрим Ф Зр о ! %З 1 %З о= — д!!»= — д[,од»о ° »;ой. »о»]-о»- дЗ ЗУ) 2Р ~Й~ 1-1 1 1 й 1 о 2р йр + — Р ай~соз»сх1+~„г 21плх1 =ао+айр-+ар+ ..., 2Р Згй' ~ й1,! 1 1 йг Зр ) со "=ух»г»о» * *=-г.[ -~-д»ч -»;-~-ьз"*,»]х Р 1 1 1 1 й-1 ЗР со йр 'со%! Х созгх1 — — — ~ рисов гх1+ — р 1 ай р созихйсозгх1.+рд Х Р Р 1 1 йр Х Х З1П )ЗХЗ СОЗ ГХ1 1 = а„+- ай г+- а„+г + а„, +- ай, г + ..., 1 1 Аг »р о» ' = — 2»!»о! ! *=-д~"од»о- »о«-1.

»*»]х г — »Г ~~ 1 = ~а~ О 1 1 1=! й-! Зр о йр Х З... — ~ З-, О- Л ( „~.„»»*ь».,* О Р Р 1-! Д 1 1 1 2р -1-1.К»" »" ""'* (=1,— Зо-,4-1,+.— Ь,—.ОЗЗ.,—." 1 1 456 (гл. 5 среднеквАЛРАтичные пРиБлижения в этом параграфе. Как уже указано в заголовке, берем М=4р. В этом случае и ( 2р — 1.

Будем разыскивать многочлен в виде Т(х) =а„+а,совх+авсов2х+ ... +авр,сов(2р — 1) х-+ + аар сов 2рх +- Ь, сбп х + Ь, сбп 2х -+ ... -+ Ьвр, сбп (2р — 1) х. (11 Для коэффициентов аь, Ьь многочлена наилучшего приближения мы имеем следующие формулы: (6= 1. 2 Выражения для авр мы не имели. Получим его. Для отыскания а,р мы имеем уравнение 4Р 4р а,р ~~'„, сова 2рх1 — — .~, 1 (х1) сов 2рх1. 1-1 1-1 Так как х1 — — а1 = —, то сов2рх,=совл(=( — 1)'. Следовательно, л1 2р ' 4р 1 ,«~ совв 2рх, = 4р; ~ 1(хг) сов 2рх1 —— ,~~~ ( — 1)'1 (хь) 1=1 1 1 1 1, (5) Займемся упрощением сумм, входящих в выра>кения для коэффиннентов.

для этого заметим, что й (4р — Г) л Дгл СОВ ЙХ4 -1 — СОВ р 2р 2р =. сов — = сов ах>, З1ГХЙ 1 = В!П й (4р — !) л, а4л Р 2р 2р в!и — = — в!п ах1. (4) Следовательно, в суммах можно объединить члены, равноудаленные от концов. Вводя обозначения: а =1(х„): в =1(х ): а!=1(хд+1(хор->)' 421 =1(х!) — 1(х4р-1) (1= 1, 2...,, 2р — 1), (5) 1 %т ао= — 7 1(х1); 4р 4ьа 1- 1 4р 1 %т аа — — — р„1 (х,) сов йх1 2р 44ла 1-1 4р 4 Х 1 4р 1-1 4Р Ь„= — ыт 1(х1) в)п йх1 1 %" 2р .Ла 1 1 ... 2р — 1). следую1цим обра- можно выражения для коэффициентов переписать зом: Зр ар 1 ты 1 П,= — ~ 5,; 4р ~Й~ и, = — У ( — 1)'5,; Р 4р 1-5 1РВ ар яр 1 %5 1 чст а„= — р 51созпх1; 6а — — — ~ с(15!НИХ1 (Й= 1 2р Ла 1 ' 2р,й~ 1РР 1-1 2,...,2р — 1).

> (б) Далее, для четных значений и (И=27) имеем: 27)л = соз — = соз 27Х1 — — соз йх1, 2р 2)1я 2р = — 51п — = — 5!и 27х1= — жп Йх1, (7) (2р — 1) я С05 йхзр ! = Соз 2 1 5!п )ахар 1 — — 51п 2/ (2р — 1) я 2р а для нечетных значений 6 (й= 27' — 1): С05 йхя 1 — — СОЕ (2/ — 1) (2р — 1) я (27 — 1) Гя р- = 2р 2р — — Соз = — С05 ЙХ1, 5!и йха 1 — — 5!п (2/ — 1) (2р — 1) я, 21!я яр-1 2р 2р =+5!и — = 5!и ЙХ1. (8) Таким образом, можно снова объединить члены„равноотстоящие от концов. Если ввести обозначения Ер — — Ер, е= +5 61 = 51 — а,р, а' =а', р р' а = с(1+с(ар 1, / 31 = п1, — и'1 р то формулы можно записать (1 = 1, 2, ..., р — !).

в таком виде: р 1 %5 а = — ~( — 1)'и Р 4р ~Й 1-О Р-1 1 %5 аа) 1= —, У 31соз(2/ — 1)х1. 2р Ь р ~~ а1, 1-О р Х е! сов 27'Х1. 1-О р — 1 Х' 3; Ера 2)хп 1 а,=— 4р 1 а, =— 2р (10) р 65) 1= — - 5 5!Е(27' — 1)х1. ! г 2р А'а 1 1 1 1 61~ — — 2 ф 13) схемА РунГе Вычисления коэееициентов аа, ае, 65 457 !гл. б 458 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Вычисления сумм и разностей удобно располагать следующим образом: Л Л Л ' Лр- тгр Лр 14р — / Лр-2 //Вр-в ° Лрч-1 Суммы... Бо Разности . . Егр-1 агр 1!2р — 1 а ° ° ° ЗРО1 агр-В агр -1 ор Суммы... а' о' а' ... о' Разности .. 6', 8' 8' ... 8' 1 р а' А Случай 12 ординат.

В этом случае будем иметь: Л Л Л Л Лг Л1 Ло Л !з Л 13 Л Суммы . ° Бо 21 ег 23 Рззности .. с!1 /Уг 4!в Зв ЗВ а'3 (Ц о!в 4!3 '!4 ао а/ аг ав ЗВ ЗЬ 4 Суммы... о' о,' о' разности .. О, Суммы... а, а, аг а, Разностн . 83 дальнейшие вычисления удобно производить по схемег Суммы ! ! ! П ( ! ( П ( ! ~ П ! ! ! П Су и т+/! Р / — / ~ /2, 1 61 ~ 6, ! 6, Суммы... оо а, Разности ., 82 81 а42р-1 аг ав 82 8 4!2 1!3 1!2р-2 1!гр-3 ...

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,82 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее