Том 1 (1160083), страница 68
Текст из файла (страница 68)
то естественно приближать ее также периодическими функциями. При этом если вес р(х) = =1, то мы приходим к хорошо известной теории тригонометрических рядов Фурье. Так как теория тригонометрических рядов Фурье достаточно широко излагается в курсах математического анализа. мы не будем ее излагать здесь. Отметим лишь, что тригонометрический ряд Фурье функции 7'(х)~(,2 всегда сходится в среднем к этой функции.
При некоторых ограничениях на 11х) имеет место и равномерная сходпмость, что позволяет строить достаточно точные равномерные приближения функций тригонометрическими многочленами. [гл. б 434 сввднвквадялтичныз пвивлижвния й 8. Приближение функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов До сих пор мы рассматривали функции, заданные в каждой точке некоторого отрезка [а, б[.
Пусть теперь нам задана функция г(х), известная своими значениями в конечном числе точек отрезка [а, 6~: хв, лн ..., х„. Для тех или иных целей бывает необходимо найти удобное и точное в каком-то смысле аналитическое представление этой функции на всем отрезке [а, в[. Один из таких способов представления мы уже рассмотрели в главе об интерполировании. Но интерполяционный способ нельзя считать наиболее удобным по двум причинам. Во-первых, если число узлов велико, то мы получаем громоздкие выражения для интерполяционных многочленов. Во-вторых, если табличные значения функции подвержены каким-то случайным ошибкам, например ошибкам измерения, то эти ошибки будут внесены в интерполяционный многочлен и тем самым исказят истинную картину поведения функции, В этом параграфе мы введем другие принципы построения аналитических выражений для табличных функций.
Пусть снова Рв(х), Р,(х)...,, ср,я(х) — какая-то система линейно независимых функций на [а, в[, т (а. Будем разыскивать обобщенный много- член, составленный из этих функций, так, чтобы ~' [/(х,) Ф (хВ[в имело наименьшее возможное значение. В тех случаях, когда известно что значения ((х,) имеют неодинаковую точность, можно и: вводить веса рт) О, ~~.', р,=!, и минимизировать сумму 1-а ~~~~'р [у (х ) — Ф (х )[я.
(2) Теорию построения таких обобщенных многочленов можно ввести в рамки той общей теории, которая развита в начале этой главы. Для этого рассматриваем в качестве множества )с' всевозможные функции, заданные на [а, Ь1. Функции ((х) ~ гс и я (х) ~ )с считаются тождественными, если г(хг)=и(х,) ((=О, !, 2, ..., и). Нулевым элементом будем считать любую функцию, обращающуюся в нуль в точках х, лы ..., х„. Операции сложения элементов и умножения их на числа вводятся естественным образом. В этом множестве вводим скалярное произведение (3) 1 0 й 81 пгивлижвниз чянкций, заданных тлвлицвй 435 где рг — заданные положительные числа. Очевидно, все свойства скалярного произведения выполнены.
Норма элемента вводится обычным образом: !1У!! = абрау (хг). (4) Всевозможные линейные комбинации функций рз(х), р, (х)... ..., э (х) образуют линейное (т -+ 1)-мерное подмножество Й. Следовательно, на основании обшей теории в этом подмножестве найдется элемент наилучшего приближения для у~)с в смысле той метрики, которую мы ввели. Этот элемент будет единствен. Но нужно помнить, что за этим элементом будет скрываться целое множество функций нашего подмножества, принимающих в точках х, заданные значения. Будем теперь предполагать, что функции рз(х), э,(х), ..., у„(х) образуют систему Чебышева. Тогда обобщенный многочлен.
принимающий в точках хг заданные значения, будет единствен. Действительно, если бы имелось два таких многочлена, Ф,(х) и Фа(х)з то их разность Ф,(л) — Фа(х) обращалась бы в нуль в п+ 1 точках х . Но мы предположили, что ш ( п. Следовательно. Ф, (х) = — г~,(х), При пг = и единственное решение поставленной задачи даст интерполяционный многочлен.
Если лг ( и, то мы будем говорить, что нами получено приближение по методу наименьших квадратов, Практическое отыскание многочлена наилучшего приближения по методу наименьших квадратов также не выходит за рамки общей теории. Если Ф (х) с(я> (х) + с\~~з (х) + + сдрущ (х) (5) является многочленом наилучшего приближения для ~~)с, то должно быть гл ~л~а с. (Рч тл) = (~, Ра) (ь = О, 1, 2, ..., т), (6) а-о или, вводя обозначения зуа — — ~~~~ рр) (хг) сра (хг); гь = ~~~~ р,~(хг) сра(х), (7) г-О г-О найдем, что сл удовлетворяют следующей системе линейных уравнений: сазов+ сФж+ ° ° + стзто = го сзззг+с з + ...
+с з =г, (8) сзаа~+с,зол+ ... +с,„з„,„= г„,. [гл. 5 436 совдняквлдвлтичныа пгивлижвния Определитель этой системы как определитель Грамма системы линейно независимых элементов 433, 4уз, ..., 1у„, положителен и со. с,, с найдутся елинственным образом. Можно было бы лаже не изменять обозначений предыдущей части этой главы, если бы мы там ввели скалярное произведение как ( г', л) = / г' (х) л (х) 4(а (х), О где а(х) — некоторая фиксированная функция ограниченной вариации, а интеграл берется в смысле Лебега — Стильтьеса.
При этом мы пришли бы к результатам этого параграфа, если взяли бы в качестве а (х) некоторую функцию, имеющую л+ 1 точек роста хо, х,, ..., х„. 9 9. Приближения по методу наименьших квадратов алгебраическими многочленами Функции 1, х, ..., х образуют систему Чебышева на любом отрезке. Поэтому вся теория предыдущего параграфа будет применима. Приведем пример на применение этой теории. Пример.
Для функции я[них на отрезке [ — 1, +1[ найти среди многочленов степени не выше трех многочлен, дающий наилучшее приближение по методу наименьших квадратов, если используются значения функции в точках хо= — 1; х,= — 0,5; х,=-О; х,=0,5; хз — !. Для отыск ния коэффициентов с, с,, с,, с, многочлена Рз (х) = со .+ с, х + азх'+ с,х имеем систему: соаОо + с гам + сзазо -1- сзззз — — го, СОСО1 + С1211 + С2З21 + С3831 — 31, СОБ02 1 С1$12+ С2322 + Сзазз = 32, О 03 + 1 13 + 2 23 + СЗСЗЗ 13 тле зо = 1+'1+ 1+-1-»-1= 5, ао1 = азо = 1 — О 5 — 0+ 0 5 +- 0 = О, зов= зп ='ззо= 1+О 25+0+0 25+.1 = 2,5, зоз = 212 = зы = ззо = 1 — О, 125+ 0+ О, 125+ 1 = О, зщ = 313 = зм = ззз = 3 о = 1+ 0 0625+ 0+ О 0625 -» 1 = 2,125, й 9] ИРивлижения АлГеБРАическими мноГочленлми 437 лоз = а~4 = лзз азз а44 = аю = 1 — 0,03125+О.+ + 0,3125+ 1 = О, лов= ам= лзз = азз=азз= ам = лаз= 1+«О!5525+0+ + 0,015625+ 1 = 2,03125 го=Π†1+-1+0=0, г, = О+-0,5+0+0,5+0 = 1, гз = 0 — 0,25+ О+ 0,25+ 0 = О, гз= 0 125+0 125= 0 25 т.
е. 5с + 2, 5с, = О, 2,5с, + 2, 125с, = 1, 2,5со+2 125гз=О, 2,!25с,+2,03125сз =025. Отсюда 8 со = с, = О, 8 8 сз= —— 3 8 Рз (х) = —,(х — х'), 1. Система многочленов, ортогональных на множестве равно- отстоящих точек. Мы освободимся от этих недостатков, если найдем систему ортогональных многочленов в смысле того скаляр- ного произведения, которое нами введено.
Естественно, что система ортогональньзх многочленов будет зависеть от расположения узлов н от весов рь Мы ограничимся простейшим случаем, когда веса р! = 1, а узлы равноотстоящие. Пусть нам дано и + 1 узлов х . х,, ..., хо, х! †хз, = л. Если предварительно выполнить замену х — хо х Ь то точки хо, х,, „ х„ перейдут соответственно в О, 1, 2, ..., и. Будем считать, что эта замена уже выполнена, и вместо х' снова писать х, Будем теперь строить многочлены Рз. „(х) (Ф = О, 1, 2, ... лз ( в) последовательно возрастающззх степеней (РА,„(х)— многочлен в точности степени л), обладающие свойством Изложенный здесь метод имеет два существенных недостатка: 1) для отыскания коэффициентов этого многочлена приходится решать систему из т+1 уравнений, что при больших ш затруднительно; 2) если мы выбрали т и построили многочлзн наилучшего приближения и оказалось.
что точность приближения недостаточна, то, увеличив лз, нам придется заново повторять все вычисления. 438 [гл. 5 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ х«и =х(х — !) ... (х — и+1). (2) Очевидно, что любой многочлен степени и можно представить как линейную комбинацию факториальных многочленов степеней, не превосходящих и. Имеют место следующие тождества: (х+ 1) — х = пх<" ! „+ !)<Лец <аеп (х+я = 1+1 у-о (4) Первое из них легко проверяется: (х+1) — х" = <ю <ю =х(х — 1) ... (х — а+2) [(х+ 1) — (х — и+ 1)[ = пх<ч н. Для доказательства второго выпишем последовательность первых тождеств, взяв п равным й+1, сдвигая каждый раз аргумент на единицу: (х+ 1) — х = (й+ 1) х<Ю, (х+2)< + ~ — (х+!)< +1=(й+1)(х+1)' 1, (х+и+1) — (х+и) =(й+!)(х+и) Складывая эти тождества почленно, получим: ч (х+и+1) "' — х +' =(А+!) ~~(х+у) <=е Отсюда и следует утверждение.
Искомый многочлен будем искать в виде Реь „(х) = ! + Ь,х<н + Ьах<Ю + ... + (<,„х<~> и потребуем его ортогональности к (х+ й)< = (х+ й) (х -+ <з — 1) ... (х+ 1) Так же как и в том случае, когда рассматривались значения много- членов во всех точках отрезка [а, б[. можно доказать, что наши многочлены определятся олнозначно, с точностью до постоянного множителя.
Чтобы определить их совсем однозначно, потребуем, чтобы при х = <) они равнялись единице. Прежде чем переходить к построению многочленов Рж „(х), рассмотрим некоторые свойства факториальных многочленов. Фахториальным мноаочленол< х<Ю порядка и называют многочлен степени п с коэффициентом при старшей степени, равным единице, обращающийся в нуль в точках <), 1, ..., и — 1, т, е. 9 9) ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 439 при всех (а= О, 1, .... т — 1, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
