Том 1 (1160083), страница 69
Текст из файла (страница 69)
о ~~~,(1+й)~ )Р„, „(1)=0 (1=0, 1, 2, ..., и — !). (6) (-о Имеем: (Х+а)(Л)РРБ„(Х) = (Х+-й)РО+Ь,(Х+(О)(") Х"'+ +-Ьа(х+й)") х(м+ ... +Ь„(х+й)(") х(") = = (х+ л)' + Ь, (х+ л)' "" -+ ... + Ь (х+ л)' Отсюда, используя второе тождество, получим; ~,(1+)а)()Р,„(()=, (1+й)(~)+Ь,.,'Р~(1+й)( "')+ ... (-о (-о (-о ... +Ь„'5'„(1+й)("'-) = ;-о ц(аэГ) (аэг) (~+ „! ц(аэз) (Аоз) а+1 +Ь' а+2 + (а+па ц(А, +О д(АЬ +) '''+ '" И+и+1 (А.Р1)! 1-.
пЬ, и( )Ья п(т)ЬМ =®+и+1) ) а+1+а )'2+ЬЬ+ + ° +Ь+т+е(1 (У) ПЬ, (з)Ь, п(~)Ь,„ а+1+ а+2+ Ь+З+ ''' + а+ +1 (И=О, 1, ..., т — Ц или, полагая п(()Ь(=а(, систему — -+ — +:+ . + 1 а( ао ае Я+1 а+2 Ь+З ' ' а+и+1 =0 (М=О, 1,..., и — 1). (9) для решения этой системы применим следующий прием. рассмотрим функцию ) а, ае х + 1 + х + 2 + х + 3+ ' ' ' + х + т -(- 1 (',) (х) (9 (х) (х+ ц (х+ 2) ... (х+ т+ ц (х+ т+ ц(е ю) (10) Таким образом, для отыскания коэффициентов ЬА (и= 1, 2, ..., и) получаем систему из и уравнений: (гл. 5 440 сгвднвквлдоатичньш пгивлижвния Здесь Я(х) есть многочлен степени не выше т.
В силу наших уравнений 9(х) обращается в нуль в точках х = О, 1, 2, ..., т — 1. Следовательно, Я(х) = Сх1~). Для отыскания постоянной С умножим последнее равенство на х+1 и положим х= — 1. Получим: 1 с( — 1)("! С( — 1)тт! С( 1, тью Освобождаясь от знаменателей и полагая х= — (Ф+!), получим: аа(т — А)(лг — Ф вЂ” 1) ... 1( — !)( — 2) ... ( — л) = =( — 1)т( — А — 1)( — й — 2) ... ( — и — т) или ( — 1)" (а+ 1) (а + 2) ... (а + т) а С» С» ( — 1) С»оС,' / ж т (!3) (14) Подставляя эти значения в равенство (12), получим: мч ( — 1)» Са»тС» „ а-о (! 5) Так как произвольный многочлен степени у ( т можно пред- ставить как линейную комбинацию (х+й) ~ при А=О.
1, ..., у, то Роь „(х) будет ортогонален к любому многочлену степени ~'( т. В частност'и, ~Р,„()) „„(!)=О »-о (и т- т). (16) Вычислим теперь ХР'...()). Для этого представим Р „(х) в виде Р (х) = ~ Ва (х + )о)~ ~. а-о (1У) т. е. С=( — 1), и Я(х) =( — 1) х! !. (! !) Таким образом, 1 + а1 + ат ( — 1) хйш (12 х+1 х+2 '' ' х+т+1 (х-1-т-)-1)!то-Н ) й 9) ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 441 Тогда в в ФВ ~~~ Рж, в Я = ~Х~М ~Рвч и Я ~л~~ ВА (1 + Й) и =~Л~ВА~,~~(1+(з)~ ~Р вЯ)=В„.~,Р „ЯВ+гл)гм'= г-о лью6 =В (из+и+1)1"'т')( 1 + лЬ! + + и 6в,1 1в ~ т+1 ел+2 ''' 2т+1>' или используя равенство (12) при х=лг, получим: Р;ж „(1) = В (гл+ л+ 1)г"'+и 1)в (2Ж)ОЮ Нзконец, учитывая, что В =Ь =,, найдем: гл! л' Х з (лг+ л+ 1Р~+ 1 Р „Я= в) (2гл+ 1) п1в1 (19) Ортогональные многочлены Р „(х) связаны следующим рекуррентным соотношением: ( --) л1 (лг+ 1) (л — гл) х — 2) Р ж „(х) -1- 2 (2гл+1) Р „„(х) + -4-, Р -к в(х) =0 (лг)~1).
(20) лг(л Л- гл+ 1) В самом деле, многочлен хР „(х) можно записать в следующем аиде: х~ в,в(х)= = аеР ег „(х) + а,Р~ в (х) + ИБР 1 в (х) +... + а„, „Р~, „(х). 1(ля отыскания коэффициентов аз, а,, ..., ав,, умножим обе части равенства на РА „(х) (й (т — 2), заменим х на ( и просуммируем по 1 от 0 до и.
Тогда белем иметь слева: ~~~~ 1РЛ „ (1) Р „ (1), -Ав ~ з Раь в (О ~ч я что равно нулю, так как многоч лен хРА „ (х) имеет степень меньше лг, а следовательно ортогонален Р „ (х). Справа, в силу ортогональности многочленов, останется только один член: 442 [гл. 5 сРеднеквАНРАтичные пРВБлижения Таким образом, ссщ Аэ ~~~о РА и(1) = О при Й (т — 2, с=о т. е. а,=а,= ... =а,=О, и мы будем иметь: хР~ „(х)=а,Р „, „(х)+а,Рт „(х)+а,Р ц„(х). Для отыскания коэффициентов ао, ан а, нужно составить три уравнения. Эти уравнения мы получим, приравнивая коэффициенты при хтэ' в обеих частях нашего равенства, а также полагая в обеих частях х=О и х=1, Заметим, что (О) = 1; Р „(1) = 1+ бп а коэффициент при старшей степени хт в Р, „(х) равен ( 1)т (2ис)сьи Из сравнения коэффициентов при хт+' получим: ( — 1)т(2т)С ! (2т+2)С ""> =ао( 1) т! и(ии (т+ 1)! и(т "" нли (т+ 1) (и — т) ао 2 (2т+ 1) Далее, при х=О получаем: О = ао -+ а, + аз, я при х=1 т(т+1) ( (т+1)(т+2) ~ и — ао)1 и т(т+1) ~+ ~ (т — 1) т ~ или, учитывая, что ао+а,+а,=О, вместо последнего уравнения получаем уравнение т (т+ 1) (т+ 1) (т+ 2) т (т+ 1) (т — 1) т 1 и и ао и ас и ая.
Подставляя найденное значение для ао, получим следующие урав- нению (т+ 1) (и — т) ~с+ ~а 2 (2т+ П т (т + 1) сс, + (т — 1) иса, = т (т + 1) — и -)- откуда и т (и+ т+!) ас= 21 з= 2(2т+1) $ О! пгивлижения ллгввгличкскими многочленлми 443 или хРт „(х)= — 2(2 Р .,г „(х)-[- (т+ 1) (л — т) 2(2т+ 1) л т(в+т+1) + 2 Рт,»(х) 2 (2 + ! Рт-ь»(х) это и требовалось доказать. Так как 2х Ро,„(х)=1; Рь„(х)=1 — —, то из рекуррентного соотношения при т = 1 имеем: (х — — )(1 — — х)+ Ро, „(х)+ — О, илн бх бхо — — + л — 1 л(л — 1) Рз, „(х) =1 Полагая т=2, получим нли 20хо 2 (блз — Зл + 2) х+ 30 л (л — 1) (л — 2) (л — ! ) (л — 2) х' Рз, (х) — 1 л (л — 1) (л — 2) В соответствии с общей теорией для отыскания коэффициентов получаем следующую систему: со(Рй», Ре,»)=(у, Рь.,») (1=0, 1, 2, ..., т), Отсюда «-о (21+1) лб ч(;, ®Рь„®, «-о.
™ Величина наилучшего приближения 'от находится из равенства » » Щ -ч т ч («+в+ !)1«+Н а бз = 1г [)'(й) — Р (lг)[з= ~ г'з(й) — ~) ' — с'„. (2«+ 1) лг~) «-о «-о «-о (2З) и т. д. Имея ортогональные многочлены Р« „(х) при всех л (и, легко построить в Нт(р) многочлен, дающий наилучшее приближение к элементу у~ !с' в смысле метрики этого пространства. Этот многочлен ищем в виде Р (х)=соР„„(х)+с,Р, „(х)+ ... +стРт,„(х). (21) 444 !гл. б сгвднвквлдглтичныв пгивлижвния П р и и е р, Построение многочлена наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов для примера предыдущего параграфа будет выглядеть следующим образом.
Учитывая, что Рц ч (У) = 1, Рь а (У) = 1 — — Рь а (У) = 1 — 2У+- —, у У 2' 43 а 5Уа Р, (У) = 1 — — ' У+ 5У' — —, 6 6 для коэффициентов многочлена Рз(У) = саРца(У) + с,Рг «(У) + с,Ра,(у) +с,Р, а(У) имеем: с, = — (Π— 1+- О + 1+ О] = О, 1 0 5 с, — — О ° 1 — 1 ° —,+О ° О+1 ° — — +О ° ( — 1) = — —, ~О ! — 1 ( — — )+О ( — П+! ( — —,)+О 11 О, с,— В ~О ° 1 — ! ° ( — 2)+О ° 3 + ! ° 2+О ° ( — !)~ У ° 43 2Г 40 ч 2 Следовательно 5ув 1 Рз (У) = — - ~1 — -)+- ~! — — У+ БУ~ - — ').
51 2) 51 6 6 Делая замену у=2х+2, получим многочлен наилучшего приближения к функции )'(х) =з!ппх на отрезке ! — 1, +1! в совокупдости многочленов степени не выше третьей: — 8 Рз(х) (х «)' 3 Для практического использования многочленов, ортогональных на множестве точек О, 1, 2, ..., и, составлены таблицы этих многочленов (см„ например, М и л н, Численный анализ). ф 1О. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания результатов наблюдения Пусть в результате наблюдений получена таблица значений функции у(х) для значений аргумента ха, хп ..., хм, Будем предполагать, что значения аргумента х, х,, ..., хл найдены точно или во всяком случае значительно точнее, чем значения функции У(х,). Будем предполагать, что систематические погрешности, а также грубые ошибки в значениях У(х,) исключены, С целью уменьшения случайных ошибок и получения более плавного течения 445 й 1О! сглажиВАние РезулътАтов нлзлюдения т=! э Л(.
!) = 3 [. г-г+Л+Лэ.!. и=2: — 1 а =4: 1(хг) = — [Л а+Л г+Л+Л ьг+ Лье[; — 1 л = 6: У(х!) = 7!Л-а+Л-а+Л-г+Л+ Л г+Л+з+Л, з!. т =. 3 7 (хг) = 35 ! — ЗЛ а + 12Л, + 17Л + 12Л+ г — ЗЛ-,Б!' 1 / (хг) = — [ — 2Л з + 3Л а + бЛ, + 7Л + +ВЛ+ +3Л.
— 2Л~ [: г (ха) = —,. ! - 21Л, + 14Л з+. 39Л, + 54Л, + + 59/ + 54Л. г+ 39ЛЕБ+ 14Л,Б 2!Лэа!. п=8: функции Г (х) применяют процесс сглаживания, состоящий в том, что наблюденные значения 7" (х!) заменяют значениями 7(х;), полученными в процессе вычислений, зависящих от выбранного способа сг лажи ванна. Мы изложим способ сглаживании, основанный на методе наименьших квадратов, предполагая, что значения х, х,, ..., хл равноотстоящие, а все значения 7(хз) имеют одинаковую точность.
Згот способ заключается в следующем. Предполагается, что функция г(х) на некотором участке, охватывающем п+1 значений аргумента х, может быть достаточно хорошо приближена многочлсном степени т(т ( и). Для того чтобы найти сглаженное значение 7" (хг) в точке хь выбирают л+ 1 значений аргумента (из заданных ху) так, чтобы х; по возможности находилось посредине. По набл|оденным значениям функции в этих точках методом наименьших квадратов строят многочлен степени т, приближающий грункцию г'(х), и за значение у(хг) принимают значение этого много- члена в точке хп Полученные при этом значения ((хз) обычно бывают довольно близки к истинным, Для пракгического использования можно заранее найги выражение 7'(хг) через наблюденные значения 1'(хг) при заданных т и л. Часто выбирают а четным числом, а т нечетным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
