27 Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера (1158246)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

27-3

Лекция 27

Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера.

Мы рассматриваем движение твердого тела с закрепленной точкой в случае Эйлера. В теле зафиксирован его эллипсоид инерции. Его уравнение в осях, связанных с телом имеет вид .

Теорема. (Пуансо) В процессе движения эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неподвижной плоскости , перпендикулярной вектору кинетического момента .

Доказательство. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную и касательную к эллипсоиду инерции. Поскольку , то направление нормали к этой плоскости постоянно в неподвижном пространстве. Покажем, что расстояние от плоскости до точки постоянно.

Пусть - точка касания плоскости и эллипсоида. Нормаль к эллипсоиду в этой точке будет иметь вид . Значит . Подставив это в уравнение эллипсоида , получим

Из интеграла энергии находим

В главных осях инерции твердого тела . Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид

или

Расстояние от плоскости до точки равно

Итак, плоскость постоянна. Но нам надо еще доказать, что движение происходит без проскальзывания, т.е. что скорость эллипсоида в точке касания равна нулю. По формуле Эйлера

Доказательство теоремы закончено.

Следствие. Стационарные вращения вокруг малой и большой осей орбитально устойчивы по Ляпунову, т.е. при малой ошибке в начальных условиях траектория (но не решение!!!) меняется мало.

Регулярная прецессия.

Рассмотрим важный частный случай, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения: . В этом случае третья ось эллипсоида , мгновенная ось вращения и вектор кинетического момента лежат в одной плоскости.

Углы между ними сохраняются

,

,

Сохраняется и величина вектора :

,

Точка касания описывает и на плоскости и на эллипсоиде окружности. Это движение вокруг называется регулярной прецессией.

Замечание. О левоинввариантности лагранжиана волчка Эйлера и других левоинвариантных лагранжианах. (Обсудить!!!)

Случай Лагранжа.

,

Т.е. тело динамически симметрично, и центр тяжести лежит на оси динамической симметрии. Выберем ориентацию главных осей инерции так, чтобы было .

Здесь четвертый интеграл уравнений Эйлера – это .

Будем случай Лагранжа исследовать в рамках Лагранжева формализма. Возьмем углы Эйлера в качестве обобщенных координат.

Углы Эйлера (напоминание).

- угол собственного вращения,

- угол прецессии,

- угол нутации

Лагранжиан

Здесь - расстояние от центра тяжести до . Используя кинематические формулы Эйлера

и то, что , находим, что Лагранжиан волчка Лагранжа равен

Циклические координаты: и . Циклические интегралы:

(*-1)

(*-2)

Их механический смысл ясен из обозначений. - проекция кинетического момента на подвижную ось . - проекция кинетического момента на неподвижную вертикальную ось .

Понижаем по Раусу. Из (*) находим Из (*) находим

, (**)

Подставим (**) и

И отбросим постоянные. Получим

Итак,

,

Получили систему с одной степенью свободы. Интеграл энергии

Поведение эффективного потенциала . Из четности заключаем, что функцию достаточно исследовать на интервале . При и имеем . Значит достигает минимума на .

Замечание. Мы здесь не рассматриваем критические случаи .

Покажем, что на отрезке функция имеет не более одной критической точки. Рассмотрим

где . Это дробно линейная функция вида

Дробная часть имеет монотонную производную по , растущую от до . Линейная часть имеет постоянную производную. Значит производная монотонна И, следовательно может обращаться в ноль только один раз.

Вывод.

Фазовый портрет выглядит следующим образом (внимание!!! – что скажете о стрелках на рисунке?). В частности, колеблется в пределах . В зависимости от значений постоянных ось динамической симметрии может описывать на единичной сфере с центром в кривые следующего вида:

Начнем увеличивать энергию от минимального значения и выше. Тогда последовательно получим все эти случаи.

Здесь минимально и . Это регулярная прецессия волчка Лагранжа. Действительно,

, (**)

И, поскольку , то и .

б) Здесь меняется в таких пределах, что , и, следовательно, нигде не обращается в ноль и сохраняет свой знак

в) Здесь меняется в таких пределах, что на одной из границ выполняется

(***)

В этих точках и у следа оси на сфере образуется “клюв”, поскольку на границе и . Уравнение (***) может иметь только одно решение при . Поэтому скорость может обращаться в ноль только при одном значении . Заметим, что на нижней границе “клюв” образоваться не может. Покажем это. Используя циклический интеграл (*-1), интеграл энергии можно записать следующим образом

(+)

Нижнее значение - это максимальное значение. Если бы при нем было , , то было бы

При уменьшении величина растет, и также растет . Значит (+) не может выполняться.

Покажем теперь, что в точке “клюва” след имеет вертикальную касательную. Уравнения движения

Дают то, что в верхней точке (где минимально) . Из (**) получаем, что . Значит, в верхней точке . Итак, если мы проходим через верхнюю точку при , то в окрестности этой точки

,

Разрешая первое уравнение относительно получим

Подставляя во второе, получаем

Т.е. полукубическую параболу.

г) Здесь обращается в ноль внутри интервала . В верхней части движение направлено в обратную сторону ( меняет знак).

с-135

Случай Ковалевской. , . Дополнительный интеграл уравнений Эйлера имеет четвертую степень по . Мы этот случай рассматривать не будем.

Вопросы к материалу.

• Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера.

• Регулярная прецессия в случае Эйлера.

• Случай Лагранжа.

• Циклические интегралы.

• Понижение по Раусу.

• Фазовый портрет.

• След оси динамической симметрии на сфере.

• Регулярная прецессия волчка Лагранжа.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций