Главная » Просмотр файлов » 24 Плоская круговая ограниченная задача трех тел

24 Плоская круговая ограниченная задача трех тел (1158243)

Файл №1158243 24 Плоская круговая ограниченная задача трех тел (Е.И. Кугушев - Лекции)24 Плоская круговая ограниченная задача трех тел (1158243)2019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

24-2



Лекция 24

Плоская круговая ограниченная задача трех тел.

Рассмотрим задачу о движении на плоскости трех гравитирующих точек: двух “массивных” (Солнце , Юпитер ) и одной “легкой” (астероид ). Задачу рассматриваем в ограниченной постановке, считая, что масса точки настолько мала, что не влияет на движение и .

Систему единиц выбираем таким образом, чтобы

а) , (суммарная масса массивных точек равна единице).

б) и движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс. Считаем, что расстояние .

в) Гравитационная постоянная равна единице.

г) Рассматриваем плоскую задачу, когда астероид движется в плоскости орбит и .

Задача. Доказать, что в предположениях а)-в) угловая скорость движения точек и по окружностям равна единце.

Решение. Сила действующая на равна и направлена по . Центростремительное ускорение равно , где - расстояние от до центра масс и : . Поскольку , то . Смотрим на плоскость движения с такой ее стороны, чтобы .

Уравнения движения астероида будем писать в подвижной системе координат .

- центр масс системы

Ось всегда проходит через точки и (от к ).

Ось лежит в плоскости движения и ортогональна оси .

Точки и в этой системе имеют постоянные координаты

,

Пишем Лагранжиан задачи о движении точки .

,

,

Следовательно

, ,

Поскольку всюду входит множитель , то сократим на него.

Итак,

Положения равновесия на плоскости называются точками либрации. Их всегда 5: три на оси , и две в вершинах равностороннего треугольника.

Точки либрации , , найдены Эйлером. Они всегда неустойчивы.

Точки , найдены Лагранжем. Исследуем их устойчивость.

Ранее (см Lect12) мы получили, что эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника.

Возьмем точку . Ее координаты . Сначала “отправим” это положение равновесия в ноль. Для этого введем новые координаты , . В новых координатах

Находим квадратичную часть Лагранжиана

Где

, ,

Пользуясь тем, что при . Получаем

,

Итак,

Линеаризованные уравнения движения

, ,

Характеристическое уравнение

Корни

Корни чисто мнимые и ненулевые, т.е. положение равновесия устойчиво в линейном приближении, если , т.е. .

Для точки условие устойчивости по первому приближению полцчается таким же.

Отметим, что “потенциальная энергия” в Лагранжиане имеет в нуле невырожденный максимум. Так, что устойчивость имеет место за счет гироскопической стабилизации.

Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.

Диссипативными силами (или силами трения) в классической механике принято называть силы, под действием которых полная энергия системы уменьшается с ростом времени (если скорости отличны от нуля ).

Пример. Рассмотрим натуральную Лагранжеву систему: . Будем считать, что помимо потенциальных сил в системе действуют силы , где - функция диссипации Релея , причем матрица Релея симметрична и положительно определена. Уравнения движения имеют вид

(*)

Утверждение. Силы Релея диссипативны.

Доказательство. Нам надо доказать, что при

. Для этого вспомним, что , , и . Когда мы выводили интеграл Якоби (обобщенный интеграл энергии), то по теореме Эйлера об однородных функциях мы получили

В силу уравнений Лагранжа (*) имеем

при

В последнем равенстве мы опять применили теорему Эйлера об однородных функциях.

Доказательство завершено.

Задача. Покажите, что утверждение справедливо и в более общем случае, когда присутствуют гироскопические силы и .

Замечание. Обычно полагают , а иногда считают что неотрицательно определена.

Имеет место следующее обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле.

Теорема. Пусть имеется натуральная Лагранжева система: , и пусть изолированный минимум потенциальной энергии. Тогда положение равновесия устойчиво по Ляпунову и остается устойчивым при наложении диссипативных сил.

Доказательство совпадает с доказательством обычной теоремы Лагранжа-Дирихле. Только там где мы писали нужно писать

На примере системы с Лагранжианом

легко показать, что гироскопическая стабилизация, вообще может разрушаться диссипативными силами.

Задача. Покажите это.

Решение. (Решить!!!)

Вопросы к материалу.

  • Плоская круговая ограниченная задача трех тел.

  • Точки либрации.

  • Устойчивость в линейном приближении точки либрации Лагранжа.

  • Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.

  • Диссипативность сил Релея.

  • Теорема Лагранжа-Дирихле при наложении диссипативных сил.

  • Разрушение гироскопической стабилизации диссипативными силами.



Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,99 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Е.И
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6455
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее