24 Плоская круговая ограниченная задача трех тел (1158243)
Текст из файла
24-2
Лекция 24
Плоская круговая ограниченная задача трех тел.
Рассмотрим задачу о движении на плоскости трех гравитирующих точек: двух “массивных” (Солнце , Юпитер
) и одной “легкой” (астероид
). Задачу рассматриваем в ограниченной постановке, считая, что масса точки
настолько мала, что не влияет на движение
и
.
Систему единиц выбираем таким образом, чтобы
а) ,
(суммарная масса массивных точек равна единице).
б) и
движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс. Считаем, что расстояние
.
в) Гравитационная постоянная равна единице.
г) Рассматриваем плоскую задачу, когда астероид движется в плоскости орбит
и
.
Задача. Доказать, что в предположениях а)-в) угловая скорость движения точек и
по окружностям равна единце.
Решение. Сила действующая на равна
и направлена по
. Центростремительное ускорение равно
, где
- расстояние от
до центра масс
и
:
. Поскольку
, то
. Смотрим на плоскость движения с такой ее стороны, чтобы
.
Уравнения движения астероида будем писать в подвижной системе координат .
- центр масс системы
Ось всегда проходит через точки
и
(от
к
).
Ось лежит в плоскости движения и ортогональна оси
.
Точки и
в этой системе имеют постоянные координаты
,
Пишем Лагранжиан задачи о движении точки .
,
,
Следовательно
,
,
Поскольку всюду входит множитель , то сократим на него.
Итак,
Положения равновесия на плоскости
называются точками либрации. Их всегда 5: три на оси
, и две в вершинах равностороннего треугольника.
Точки либрации ,
,
найдены Эйлером. Они всегда неустойчивы.
Точки ,
найдены Лагранжем. Исследуем их устойчивость.
Ранее (см Lect12) мы получили, что эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника.
Возьмем точку . Ее координаты
. Сначала “отправим” это положение равновесия в ноль. Для этого введем новые координаты
,
. В новых координатах
Находим квадратичную часть Лагранжиана
Где
,
,
Пользуясь тем, что при
. Получаем
,
Итак,
Линеаризованные уравнения движения
,
,
Характеристическое уравнение
Корни
Корни чисто мнимые и ненулевые, т.е. положение равновесия устойчиво в линейном приближении, если , т.е.
.
Для точки условие устойчивости по первому приближению полцчается таким же.
Отметим, что “потенциальная энергия” в Лагранжиане имеет в нуле невырожденный максимум. Так, что устойчивость имеет место за счет гироскопической стабилизации.
Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.
Диссипативными силами (или силами трения) в классической механике принято называть силы, под действием которых полная энергия системы уменьшается с ростом времени (если скорости отличны от нуля ).
Пример. Рассмотрим натуральную Лагранжеву систему: . Будем считать, что помимо потенциальных сил в системе действуют силы
, где
- функция диссипации Релея
, причем матрица Релея
симметрична и положительно определена. Уравнения движения имеют вид
(*)
Утверждение. Силы Релея диссипативны.
Доказательство. Нам надо доказать, что при
. Для этого вспомним, что
,
,
и
. Когда мы выводили интеграл Якоби (обобщенный интеграл энергии), то по теореме Эйлера об однородных функциях мы получили
В силу уравнений Лагранжа (*) имеем
при
В последнем равенстве мы опять применили теорему Эйлера об однородных функциях.
Доказательство завершено.
Задача. Покажите, что утверждение справедливо и в более общем случае, когда присутствуют гироскопические силы и .
Замечание. Обычно полагают , а иногда считают что
неотрицательно определена.
Имеет место следующее обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле.
Теорема. Пусть имеется натуральная Лагранжева система: , и пусть
изолированный минимум потенциальной энергии. Тогда положение равновесия устойчиво по Ляпунову и остается устойчивым при наложении диссипативных сил.
Доказательство совпадает с доказательством обычной теоремы Лагранжа-Дирихле. Только там где мы писали нужно писать
На примере системы с Лагранжианом
легко показать, что гироскопическая стабилизация, вообще может разрушаться диссипативными силами.
Задача. Покажите это.
Решение. (Решить!!!)
Вопросы к материалу.
-
Плоская круговая ограниченная задача трех тел.
-
Точки либрации.
-
Устойчивость в линейном приближении точки либрации Лагранжа.
-
Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.
-
Диссипативность сил Релея.
-
Теорема Лагранжа-Дирихле при наложении диссипативных сил.
-
Разрушение гироскопической стабилизации диссипативными силами.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.