21 Принцип Гамильтона (1158240)
Текст из файла
21-2
Лекция 21
Принцип Гамильтона.
Пусть - гладкая функция и
,
- гладкая кривая.
Определение. Вариацией пути назовем гладкое семейство кривых
,
,
(т.е.
нумерует кривые,
- параметр на кривой) такое, что
а) ,
б) ,
- это условие называется условием закрепленности концов.
Пусть ,
- гладкая кривая. Рассмотрим функционал действия
Величина называется действием вдоль пути
.
Определение. Пусть - вариация пути
. Имеем гладкую функцию
. Производная
вариацией функционала действия
на пути
относительно вариации пути
.
Определение. Путь называется экстремалью функционала
, если на любой вариации пути
вариация функционала действия
равна нулю:
,
Теорема. (Принцип Гамильтона)
Путь является экстремалью функционала действия
тогда и только тогда, когда
является решением уравнений Лагранжа (2-го рода) с лагранжианом
.
Доказательство. В явном виде вариация функционала действия – следующая:
(*)
В этих равенствах надо положить .
( )В силу условия закрепленности концов (условия б)) и уравнений Лагранжа выражение
равно нулю. Значит, необходимость доказана.
( ) Докажем достаточность. Пусть (*) равна нулю для любой гладкой вариации пути
. Второе слагаемое равно нулю в силу условия закрепленности концов (условия б)). Следовательно и
(**)
для любой гладкой вариации .
Допустим, что не удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Тогда на ней, в некоторой точке
имеем
Тогда на некотором непустом интервале (
) имеем для
Возьмем вариацию такую, что
, где
положительная функция на интервале
, обращающаяся в нуль вне него. Для этой вариации равенство (**) не выполняется.
Доказательство завершено.
Задача. Проверьте, что принцип Гамильтона остается справедливым, если в качестве пространства кривых, на котором определен функционал действия, взять пространство кусочно-гладких кривых.
Принцип Мопертюи-Якоби.
Пусть связи не зависят от времени и силы потенциальны. Тогда ,
. Будем также считать, что лагранжиан не зависит явно от времени:
.
- положительно определенная квадратичная форма по скоростям. Следовательно,
можно интерпретировать как Риманову метрику на конфигурационном пространстве. Соответствующий элемент длины обозначим
:
Эта метрика называется кинетической метрикой.
Рассмотрим теперь движения с одним и тем же фиксированным значением полной энергии . Поскольку
, то на этих движениях
. Это неравенство выделяет на конфигурационном пространстве Область Возможности Движения (ОВД).
Пусть - другая Риманова метрика на ОВД:
,
Эта метрика называется метрикой Якоби. Обратим внимание на то, что вырождается в тех точках ОВД, где
, например, на границе ОВД.
Замечание. Если конфигурационное многообразие компактно, и энергия движения достаточно велика ( ), то ОВД совпадает со всем конфигурационным многообразием и Якобиева метрика нигде не вырождается. Это же имеет место и в некомпактном случае, если потенциальная энергия ограничена сверху на всем конфигурационном пространстве (например точка в Ньютоновом гравитационном поле).
Выберем в ОВД любые две точки и
. Рассмотрим следующий функционал на пространстве гладких кривых
, лежащих в ОВД и соединяющих эти точки.
Значение функционала не зависит от параметризации кривой
, т.к. оно равно длине этой кривой в метрике Якоби
.
Определение. Вариацией (или вариацией по Мопертюи-Якоби) кривой называется гладкое семейство кривых
таких, что
а)
б) кривая
начинается в точке
и заканчивается в точке
.
в) Все кривые семейства лежат в ОВД
Определения вариации функционала и экстремали – те же, что и раньше.
Теорема. (Принцип Мопертюи-Якоби). Траектории уравнений Лагранжа второго рода с энергией являются экстремалями функционала
и наоборот, экстремали функционала
являются траекториями уравнений Лагранжа.
Замечание. Обратите внимание, что термин “траектория” предполагает, что о параметризации кривой речь не идет. Если кривые параметризовать так, чтобы энергия равнялась , то мы будем иметь решения уравнений Лагранжа.
Следствие. Траектории уравнений Лагранжа с энергией являются геодезическими метрики Якоби
.
Доказательство теоремы. Пусть траектория уравнений Лагранжа с энергией
. Тогда (из принципа Гамильтона) при надлежащей параметризации (т.е., при параметризации временем)
, где
- экстремаль функционала действия
, а также и функционала
(*)
Второе слагаемое равно , где
- траектория, соответствующая
.
Воспользуемся следующей леммой.
Лемма. Любой путь , на котором энергия равна (тождественно)
, является экстремалью функционала
Лемму докажем позже.
Из леммы следует прямое утверждение теоремы. Действительно, - экстремаль
в смысле вариаций из принципа Гамильтона, т. к.
и все три слагаемых имеют
экстремалью. Вариаций по Мопертюи-Якоби больше, т.к. не фиксированы начальный и конечный моменты времени. Однако,
не зависит от параметризации, а любую вариацию по Мопертюи-Якоби можно параметризовать так, чтобы начальная точка проходилась в момент
, а конечная – в момент
.
Докажем обратное утверждение теоремы. Пусть - экстремаль
. Параметризуем ее так, чтобы энергия тождественно равнялась
. Полученный путь обозначим
. Пусть
,
. Пусть
- вариация
. Соответствующую вариацию по Мопертюи-Якоби обозначим
.
Вариации функционалов и
равны нулю согласно экстремальности
и лемме. Остается воспользоваться формулой (*).
Доказательство теоремы завершено.
Докажем лемму. Для любой вариации имеем
так как . Доказательство леммы завершено.
Замечания о вырождениях. Если начальная и конечная точки совпадают (напр. положение равновесия), то минимальную длину в метрике Якоби имеет вырожденная кривая. Если в этой точке , то мы не можем параметризовать кривую так, чтобы достичь энергии
- следовательно, принцип неприменим. Если в этой точке
- то метрика Якоби вырождена, и принцип также неприменим.
Вопросы к материалу.
-
Вариационные принципы.
-
Функционал действия и его вариация.
-
Принцип Гамильтона.
-
Принцип Мопертюи-Якоби.
-
Кинетическая метрика.
-
Область возможности движения.
-
Метрика Якоби.
-
Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.