2 Дифференциальная геометрия кривых в Е в кубе (1158220)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2-2

Лекция 2.

Дифференциальная геометрия кривых в .

Пусть - траектория движения точки в , и - касательная прямая к в неособой точке .

Определение. - единичный касательный вектор.

Утверждение. Определение корректно, т.е. не зависит от параметризации времени.

Доказательство. Пусть траектория движения задается функцией и - новое время - возрастающая гладкая функция, т.е. . Тогда в окрестности того момента времени, когда траектория попадает в , существует обратная функция . При этом . Будем обозначать штрихом. Тогда новая скорость:

(*)

отличается от старой положительным множителем. Следовательно, касательный вектор при новой параметризации тот же самый. Доказательство закончено.

Ускорение при новой параметризации

(**)

Определение. Соприкасающейся плоскостью называется линейная оболочка натянутая на вектора скорости и ускорения ( и ).

Из (*) и (**) следует, что линейная оболочка натянутая на и совпадает с линейной оболочкой, натянутой на и , т.е. определение соприкасающейся плоскости корректно, если и неколлинеарны ( ).

Замечание.

1) При любой параметризации вектор ускорения всегда лежит на соприкасающейся плоскости по одну сторону от касательного вектора . Это видно из (**). Т.к. отклонение от направления - это и .

2) Для прямолинейного движения соприкасающаяся плоскость не определена.

Определение. называется натуральным параметром, если .

Поскольку , то , и выражается через произвольный параметр так: - это пройденный путь. Отсюда - скорость.

Утверждение. , - нормаль к кривой. Она называется главной нормалью.

Доказательство. Первое равенство следует из определения и

Второе: Достаточно доказать, что . Дифференцируем по равенство . Получаем . Доказательство закончено.

Опрелделение. Величина называется кривизной кривой, а - это радиус кривизны.

Кривизна пространственной кривой всегда неотрицательна .

Из определения имеем , т.е. - это модуль ускорения при движении с единичной скоростью.

Задача. Доказать, что для окружности - это ее обычный радиус.

Теорема. ,

Доказательство.

Определение. Нормальное ускорение , касательное ускорение .

Определение. Репер Френе – это , , . Другое название – естественный трехгранник..

- касательный вектор, - главная нормаль, - бинормаль.

Формулы Френе.

Теорема. (Формулы Френе).

(1)

(2)

(3)

(Величина называется кручением кривой.)

Доказательство. (1) – уже доказано.

(2) Надо показать , что , , тогда обозначив , получим (2).

, поэтому

, поэтому , т.е.

Покажем теперь (3). По определению . Отсюда

Доказательство закончено.

Формула для вычисления кривизны.

Обычно вводить натуральный параметр сложно. Поэтому нужно уметь вычислять кривизну при любой параметризации кривой. Пусть - любая параметризация.

Утверждение. . (***)

Напоминание.

Доказательство. Имеем , и . Поэтому

.

Вспомнив, что , получим нужное. Доказательство закончено.

Задача. Пример. Кривизна циклоиды.

Положим , тогда

, ,

Отсюда

,

По формуле для кривизны

,

Задача. Доказать формулу для кручения

Решение. и , поэтому

подставив сюда (***) получим требуемое

Задача. Найти кривизну и кручение винтовой линии.

, , , - шаг винта, - радиус винта

Ответ. ,

Итоги. Подведем итоги кинематики точки. При движении точки скорость – касательна к ее траектории. Ускорение разлагается на касательную и нормальную составляющие . Касательная составляющая равна производной модуля скорости . Нормальная составляющая лежит в соприкасающейся плоскости и направлена к центру соприкасающейся окружности. Ее величина такая же, как ускорение точки движущейся с постоянной скоростью по соприкасающейся окружности .

Вопросы к материалу..

• Касательный вектор.

• Соприкасающаяся плоскость.

• Натуральный параметр

• Кривизна и радиус кривизны.

• Проекция ускорения на касательную и нормаль.

• Формулы Френе.

• Формула для вычисления кривизны

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций