8 Движение точки по прямой (1158227)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

8-2

Лекция 8

Движение точки по прямой.

Уравнение движения в общем случае: . Предположим, что , тогда сила потенциальна: , где и уравнения движения имеют вид .

Закон сохранения энергии: . Так как , то движение с данной постоянной энергии может происходить лишь в области

называется областью возможности движения (иногда употребляется термин – область возможного движения). Это замкнутое множество в . Оно состоит из не более чем счетного числа отрезков (возможно бесконечных, или вырождающихся в точку).

Определение. Фазовой плоскостью системы “точка на прямой” называется плоскость , т.е. плоскость пар – “положение – скорость”.

Определение. Фазовым портретом системы называется семейство кривых уровня интеграла энергии на фазовой плоскости , ориентированных естественным образом. Кривые могут быть несвязными, т.е. разбиваться на несколько отдельных замкнутых компонент (т.н. связных компонент). Из закона сохранения энергии следует, что система все время двигается по кривой , на которой движение началось. Подмножество , которое заметается при неограниченном во времени (вперед или назад) движении системы – это фазовая кривая уравнений движения.

Замечание. О естественной ориентации кривых . В верхней половине фазовой плоскости, где , координата монотонно растет, а в нижней половине фазовой плоскости, где , координата монотонно убывает. Значит, кривые ориентированы так, что в верхней полуплоскости движение по ним происходит слева-направо, а в нижней – справа-налево. При этом, компоненты , являющиеся замкнутыми кривыми ориентированы по часовой стрелке.

Утверждение.

1. Проекция на ось совпадает с .

2. Крайние точки связных компонент лежат на .

3. симметричны относительно оси .

Доказательство. Сразу вытекает из формулы. . Доказательство завершено.

Фазовый портрет удобно строить под графиком .

Второй этаж в этой трехэтажной картине обычно пропускают.

Замечание. Направление стрелок в верхней полуплоскости - вправо, в нижней - влево.

Определение. Критическая точка функции потенциальной энергии – это точка, , где . Критическое значение энергии (или интеграла энергии) – это такое, что содержит критическую точку потенциальной энергии.

Критические точки потенциальной энергии являются положениями равновесия системы, т.е. является решением уравнений движения.

Сепаратриса соответствует критическому значению энергии при котором достигается локальный максимум потенциальной энергии.

Утверждение. Пусть функция гладкая и ее критические точки невырождены (т.е. в точках, где , выполнено ). Тогда

1. Для любого не критического уровня энергии кривая состоит из гладких несамопересекающихся компонент.

2. Если соответствует локальному максимуму , то у есть особенность типа

.

3. Если соответствует локальному минимуму , то соответствующая фазовая кривая является связной компонентой и вырождается в изолированную точку.

Доказательство.

1. Пусть точка .

Если , то в окрестности точки - это график функции (или ). Под корнем стоит положительная величина (т.к. ). Следовательно, эта функция гладкая.

Если , то . Поскольку - некритическое значение, то .

Обозначим . Уравнение имеет вид . Поскольку в точке выполнено , то по теореме о неявной функции, это уравнение однозначно разрешимо и , где - гладкая функция. Значит, в окрестности особой точки задается уравнением

где - гладкая функция.

Отметим, что и в точке

т.е.

Значит

т.е. в окрестности кривая представляет собой (в малом) квадратную параболу.

Лемма. (малая лемма Морса?) Пусть , и некая точка. Тогда , где и .

Доказательство. Обозначим . Сдвинем начало координат: . Тогда . Нам достаточно доказать, что

, где и .

Обозначим . Поскольку , то

Обозначим . Доказательство завершено.

Следствие. Пусть , и некая точка. Тогда , где и .

2. Пусть - точка локального максимума , причем эта критическая точка невырождена. Тогда , , . Поэтому , где - гладкая функция, причем . Уравнение для имеет вид

или

Решение имеет две ветви

Они называются ветвями сепаратрисы. Модуль тангенса угла наклона этих ветвей к оси равен

Замечание. В первом приближении ветви сепаратрисы задаются уравнением

3. Пусть - точка локального минимума Тогда и для всех близких к значений будет . Значит в проколотой окрестности точки будет . Т.е. решений уравнения нет. Значит, точка является изолированной точкой .

Пример. Математический маятник.

Формально – это движение материально точки по вертикальной гладкой окружности в поле тяжести. Не совсем строго – это материальная точка подвешенная в вертикальной плоскости на нерастяжимой (и несжимаемой и несгибаемой) нити. Натяжение нити обозначим - потом мы узнаем, что оно называется реакцией связи. Тогда уравнение движения точки выглядит так:

Чтобы избавиться от реакции связи , проектируем уравнение на ориентированную касательную к окружности, по которой движется точка, т.е. на вектор полярной системы координат. Поскольку , , то получим

“минус” здесь потому, что (на рисунке) , а проекция - положительна. (Если , то “минус” сохранится).

Уравнение движения для имеет такой же вид, как и уравнение движения точки по прямой в потенциальном поле сил. Роль потенциальной энергии играет функция

.

Интеграл энергии

Фазовый портрет системы

Все картинки периодичны по .

Квадратуры.

Проинтегрируем уравнения движения материальной точки по прямой

следовательно

Отсюда вытекает формула для периода движения по замкнутой фазовой кривой

Можно показать, что этот интеграл сходится и в несобственных точках и , в которых . Поскольку в окрестности этих точек под интегралом стоит величина обратная корню квадратному из линейной функции (с точностью до малых второго порядка).

Отметим, что

где - импульс точки.

Вопросы к материалу.

• Движение точки по прямой.

• Закон сохранения энергии. Область возможности движения.

• Фазовая плоскость системы “точка на прямой”.

• Фазовый портрет.

• Ориентация линий уровня и их свойства.

• Критический уровень.

• Сепаратриса.

• Типы точек линий фазового портрета.

• Математический маятник.

• Интегрирование в квадратурах и период движения для движения точки по прямой.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций