7 Основные динамические величины (1158225)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

7-6

Лекция 7

Основные динамические величины.

Для отдельной материальной точки массы определяются следующие величины:

- импульс точки.

- момент импульса, или кинетический момент относительно некоторой точки .

- кинетическая энергия.

- момент инерции относительно точки .

- момент силы относительно точки .

Для системы материальных точек эти величины определяются аддитивным образом, как суммы соответствующих величин для каждой точки в отдельности. Например, импульс системы точек есть сумма импульсов отдельных точек, входящих в систему , и т.п.

Центр масс системы материальных точек: .

Утверждение. Определение центра масс корректно (не зависит от выбора точки ).

Доказательство. Пусть есть еще одна точка . Обозначим , тогда и , Т.е. указывает на ту же точку, что и . Доказательство завершено.

Утверждение. Для системы точек импульс системы , где - суммарная масса всех точек, входящих в систему.

Доказательство.

Доказательство завершено.

Утверждение. (Теорема об изменении импульса системы) , т.е. скорость изменения импульса системы точек равна суммарному вектору всех сил приложенных к точкам системы.

Доказательство.

Доказательство закончено.

Силы можно разделить на две группы. Внутренние – силы взаимодействия между точками системы, и внешние. В силу принципа равенства действия и противодействия – суммарный вектор внутренних сил равен нулю. Поэтому в теореме об изменении импульса системы, в правой части стоит суммарный вектор внешних сил, приложенных к точкам системы.

Система называется замкнутой, если в ней отсутствуют внешние силы.

Следствие. Если система замкнута, то ее центр масс движется прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью).

Пусть - неподвижная ориентированная ось в , - единичный вектор вдоль , задающий ориентацию.

Положим , - проекции импульса системы и суммарного вектора сил на ось .

Утверждение. , т.е. скорость изменения проекции импульса на неподвижную ось равна проекции суммарной силы на эту ось.

Доказательство. Очевидно из теоремы об изменении импульса системы.

Следствие. Если суммарная проекция на неподвижную ось всех (внешних) сил, действующих на точки системы равна нулю, то центр масс системы в проекции на эту ось движется равномерно (с постоянной скоростью).

Пример. Задача Галилея о падении тяжелой точки. .

Здесь . Поэтому , .

Определение. (из теории ОДУ) Первый интеграл системы – это (непостоянная) функция , постоянная на движениях системы.

Пример. В задаче Галилея и - это первые интегралы системы (а также любая функция от них ).

Теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема. . Т.е. скорость изменения кинетической энергии системы равна суммарным мощности всех сил, действующих на точки системы.

Мощностью силы, приложенной к точке принято называть скалярное произведение силы и скорости точки.

Доказательство.

Доказательство завершено.

Замечание. Здесь участвуют все силы – как внешние, так и внутренние.

Работа силы. , если , а перемещение происходило вдоль вектора . Т.е. – так определяется работа постоянной силы на заданном перемещении.

В общем случае на бесконечно малом перемещении определяется элементарная работа силы . Работа силы при перемещении по траектории точки определяется как сумма элементарных работ, т.е. как интеграл по пути .

Формально, здесь определяется дифференциальная форма и работа силы – это интеграл этой формы по пути.

В случае многих точек . В координатной записи положим

тогда

Определение. Силы называются потенциальными, если для некоторой функции выполнено

, , ,

В краткой записи

Функция называется силовой функцией.

Формально можно так: Пусть зависят только от положения (т.е. только от ). Силы называются потенциальными, если дифференциальная форма точна, т.е. является дифференциалом некоей функции .

Тогда первообразная этой формы, т.е. , взятая с обратным знаком – это силовая функция.

Первообразная называется потенциальной энергией.

Далее, вместо силовой функции всегда будем использовать - потенциальную энергию. Функции и определены с точностью до аддитивной постоянной.

с-027

Предложение. Вдоль движения системы , т.е. при движении системы потенциальная энергия убывает как суммарная мощность всех сил.

Доказательство.

Следствие. , т.е. работа сил на действительном движении системы равны изменению потенциальной энергии взятому с обратным знаком.

Следствие. Если силы потенциальны, то - это первый интеграл системы.

Доказательство.

, следовательно

Доказательство завершено.

Это – закон сохранения энергии системы. Величина называется полной энергией системы. Формулировка: Если силы потенциальны, то полная энергия системы сохраняется.

Примеры.

(1) Сила тяжести: ,

(2) Сила упругости: , , . Здесь - длина пружинки в нерастянутом состоянии. В частности, при , , .

(3) Гравитационная сила (сила Ньютоновского притяжения):

,

Задача. Проверить это.

Теорема об изменении кинетического момента.

Утверждение. Для системы материальных точек

(*)

Т.е. скорость изменения кинетического момента системы точек равна суммарному моменту всех сил, действующих на систему.

Доказательство. Поскольку , то

Замечание. Моменты сил складываются из моментов внутренних и внешних сил. Внутренние силы встречаются парами, равными по величине и противоположными по направлению (III закон Ньютона). Более того, линия действия сил в каждой такой паре параллельна прямой, соединяющей взаимодействующие точки.

Это следует из принципа относительности. Задача. Проверить это.

Важное дополнение к утверждению. Таким образом, в правой части (*) можно учитывать только внешние силы

Каверзный врпрос. А как быть с движением двух заряженных частиц? Там возникают силы ортогональные скоростям частиц.

Ответ. Без полного учета электромагнитного поля (ур-я Максвелла) – это не Ньютоновы силы (III закон здесь не выполнен). Поэтому в таких случаях в Утверждении надо принимать во внимание все силы.

Пример. Пусть точка одна и сила центральная с центром в начале координат, т.е. . Тогда выполняются следующие утверждения:

(а) Движение – плоское, причем плоскость проходит через начало координат.

(б) В полярных координатах на плоскости движения выполнено:

(т.е. существует интеграл площадей)

Действительно. (а) Момент силы относительно центра равен нулю. Поэтому из теоремы об изменении кинетического момента получаем . Пусть . Поскольку и , то и , или и . Таким образом движение происходит в плоскости , .

(б) Пусть , - полярные координаты на с полюсом в (линия отсчета угла – произвольная). Тогда , . Следовательно

Т.к. , то и .

Задача. Разобрать случай .

Ответ. Движение по центральной прямой.

Задача. (Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси.) Пусть неподвижная ось, проходящая через точку , и - единичный направляющий вектор оси. Тогда

Т.е. скорость изменения момента количества движения относительно неподвижной оси равна суммарному моменту сил относительно этой оси.

Вопросы к материалу.

• Основные динамические величины.

• Теорема об изменении импульса системы. Движение центра масс.

• Замкнутые системы.

• Первые интегралы системы.

• Теорема об изменении кинетической энергии.

• Работа силы.

• Потенциальные силы. Силовая функция. Потенциальная энергия.

• Закон сохранения энергии.

• Теорема об изменении кинетического момента.

• Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций