25 Инвариантная мера (1158244)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

25-3

Лекция 25

Инвариантная мера.

Рассмотрим дифференциальное уравнение , , где - гладкое многообразие.

Определение. Мера на фазовом пространстве уравнения , называется инвариантной, если для любой области на и любого из некоторой окрестности нуля выполнено .

где - локальный фазовый поток дифференциального уравнения (т.е. преобразование сдвига по траекториям).

Мы будем рассматривать только меры с гладкой плотностью:

, ,

Напомним, что в других координатах, ( ), плотность равна

, где - якобиан преобразования

и

Отсюда видно, что неравенство сохраняется лишь при заменах координат, сохраняющих ориентацию. В сущности важно, что гладкая и знакопостоянная.

Теорема. (Лиувилль) Гладкая функция является плотностью инвариантной меры для уравнения тогда и только тогда, когда

(*)

(в любых локальных координатах).

Напомним, что в координатах .

Лемма. Пусть - квадратная матрица, непрерывно зависящая от параметра , и квадратная матрицы той же размерности. Тогда,

а) , или, иначе говоря,

б)

в) Существует

- след матрицы - сумма ее диагональных элементов - единичная матрица.

Доказательство. Поскольку , то сразу а) следует из определения определителя. Докажем б).

Все члены этого определителя, кроме произведения диагональных элементов дадут . А произведение диагональных элементов таково

в) очевидное следствие б). Лемма доказана.

Доказательство теоремы. плотность инвариантной меры

“Разметим” точки области точками области . Это можно рассматривать как замену координат в области : . Используя формулу замены переменных под интегралом, получаем

Следовательно, плотность инвариантной меры тогда и только тогда, когда

Т.к. , то . Значит

Поскольку , то

Теорема доказана.

Следствие. Если , то мера с постоянной единичной плотностью инвариантна.

Замечание. По теореме о выпрямлении векторного поля. Локально в окрестности неособой точки существует бесконечное число инвариантных мер. Далеко не всякая система обладает глобальной инвариантной мерой. Даже локально в окрестности особой точки инвариантной меры может не быть.

Пример.

Допустим, есть инвариантная мера с плотностью , тогда . Отсюда, при получаем . Но - является решением этого дифференциального уравнения. По теореме о единственности решения – другого решения нет.

Задача. Докажите, что в нестационарном случае, когда . Мера с плотностью инвариантна тогда и только тогда, когда

(**)

Решение. (Решить!!!)

Задача. Докажите, что условие (**) эквивалентно условию . Производная берется в силу системы .

Решение. (Решить!!!)

Задача. Докажите, что если - особая точка системы (т.е. ), то для существования инвариантной меры в ее окрестности необходимо, чтобы .

Решение. (Решить!!!)

Задача. Выведите из предыдущего утверждения, что у системы при не может быть инвариантной меры. (Это математический маятник с вязким трением.)

Решение. (Решить!!!)

Пусть система уравнений имеет первый интеграл и инвариантную меру с плотностью . Систему можно ограничить на многообразие (поверхность) уровня этого интеграла

Теорема. Если на , то ограничение исходной системы на имеет инвариантную меру с гладкой плотностью. Соответствующая дифференциальная -форма есть ограничение на формы такой, что .

Замечание. Указанное равенство определяет неоднозначно, с точностью до добавления формы вида , где - любая -форма. Но ограничение определено однозначно.

Доказательство теоремы. Будем считать, что координаты , …, выбраны так, что . (Поскольку , то по теореме о неявной функции это можно сделать в окрестности любой точки ). Т.к. - первый интеграл, то . Уравнение для приобретает вид . Следовательно,

, …, - локальные координаты на .

,

Согласно теореме Лиувилля, для исходной системы . Т.к. первый интеграл, то . Поэтому

Следовательно, по теореме Лиувилля, инвариантна.

Задача. Доказать аналогичный факт в случае нескольких независимых первых интегралов.

Решение. (Решить!!!)

Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.

Определение. Система называется интегрируемой в квадратурах, если дано семейство функций , ,…, таких, что любое решение системы может быть получено из этого семейства с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирований и нахождения первообразных.

Утверждение. Если система -го порядка имеет всюду независимых первых интегралов ,…, , то она интегрируема в квадратурах.

Доказательство. Любое решение лежит на некотором совместном уровне интегралов . В силу независимости интегралов эта гладкая кривая (или некоторый набор гладкий кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения. Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой и находится путем решения системы уравнений относительно координат , . После этого зависимость находится из уравнения в котором переменные разделяются. Затем находятся , .

Теорема. (Якоби) (Теорема Якоби о последнем множителе.) Для интегрирования в квадратурах системы , имеющей инвариантную меру с гладкой плотностью , достаточно независимых первых интеграла.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай . Рассмотрим дифференциальную форму . Ее дифференциал

Форма замкнута, значит локально она является дифференциалом некоей функции

т.е.

,

Функция - первый интеграл. Действительно,

По предыдущей теореме, система интегрируема в квадратурах.

При сначала ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.

Доказательство завершено.

Замечание. Позже мы увидим, что все натуральные Лагранжевы системы обладают инвариантной мерой.

Теорема Пуанкаре о возвращении.

Пусть пространство с мерой и измеримое отображение.

Говорят, что отображение сохраняет меру, если для любого измеримого , (имеющего конечную меру) выполнено . Где - это прообраз при отображении .

Мы будем рассматривать случай, когда - это взаимно-однозначное отображение и мера всего конечна ( ).

Пример - - сдвиг за время вдоль решений системы , для которой мера инвариантна.

Часто берут отображение за период, если , где зависимость от периодическая с периодом .

Рассмотрим теперь последовательность отображений , ,…, ,…

Теорема. (Теорема Пуанкаре о возвращении) Пусть - взаимно-однозначное отображение , сохраняющее меру и мера всего конечна. Тогда для любого подмножества , имеющего положительную меру ( ) существуют точка и натуральное число такие, что . (Т.е. найдется точка которая будет периодически возвращаться в ).

Доказательство.

Рассмотрим множества , , . Все они имеют одинаковую, положительную меру. Если бы они все не пересекались, то мера была бы бесконечной. Поэтому, для некоторых . Следовательно, . Что и требовалось доказать.

Замечание. В результате более тонких рассуждений можно показать, что множество тех точек из , которые бесконечно много раз возвращаются в измеримо, и его равна мере всего (см., например П. Халмош “Эргодическая теория”).

Позже мы увидим, что натуральные Лагранжевы (и многие другие) системы имеют инвариантную меру.

Пример. Рассмотрим, например, шарик в потенциальной яме. В его фазовом пространстве есть инвариантная мера, пространство некомпактно и его мера бесконечна. Но можно взять поверхность (многообразие) уровня интеграла энергии. Это будет уже компактное пространство. Как мы выше показали на нем также будет инвариантная мера, и все пространство будет иметь конечную меру. Из теоремы Пуанкаре о возвращении вытекает следующее. Толкнем шарик так, чтоб он не вылетел из потенциальной ямы. Он начнет совершать движения внутри ямы. Тогда можно запустить шарик из некоторой близкой точки, с близкой скоростью так, что он будет бесконечное число раз возвращаться сколь угодно близко к исходной начальной точке.

Пример. В связи с теоремой Пуанкаре о возвращении имеется парадокс. Рассмотрим идеальный газ в сосуде с перегородкой. Тут есть инвариантная мера. Если газ поместить в одну половину, а потом убрать перегородку, то мы знаем из опыта, что он рассредоточится по всему сосуду. Из теоремы Пуанкаре следует, что почти всегда рано или поздно газ соберется опять в начальную половину сосуда. И это будет бесконечное число раз. Одно из разрешений парадокса состоит в том, что время возврата может быть очень большим.

Вопросы к материалу.

• Инвариантная мера.

• Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат.

• Теорема Лиувилля об инвариантной мере.

• Построение инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.

• Интегрируемость в квадратурах.

• Теорема Якоби о последнем множителе.

• Теорема Пуанкаре о возвращении.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций