Главная » Просмотр файлов » 26 Динамика твердого тела

26 Динамика твердого тела (1158245)

Файл №1158245 26 Динамика твердого тела (Е.И. Кугушев - Лекции)26 Динамика твердого тела (1158245)2019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

26-2



Лекция 26

Динамика твердого тела.

Напоминание.

Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения не меняется.

Момент инерции относительно оси . Любому ортономированному реперу , связанному с телом, с началом в некоей точке , сопоставляется матрица - тензор инерции. Момент инерции относительно оси с единичным направляющим вектором равен . Матрица симметричная, на диагонали стоят моменты инерции относительно осей координат . Поворотом репера можно добиться того, что станет диагональной матрицей. Соответствующая система координат (связанная с твердым телом) называется главными осями инерции в точке ( которая является началом координат).

Пусть - радиус-вектор точки тела в связанной с телом системе . Множество точек таких, что называется эллипсоидом инерции твердого тела в точке ( которая является началом координат).

Если тело движется так, что имеется неподвижная (в абсолютном пространстве) точка , то

а) - кинетическая энергия.

б) - кинетический момент.

в) - момент сил. Это теорема об изменении кинетического момента.

г) вектора, неподвижного в теле - формула Эйлера.

Динамические уравнения Эйлера. (Для движения твердого тела с неподвижной точкой)

Лемма. (О проекции абсолютной скорости на подвижные оси) Пусть есть некий вектор (в абсолютном пространстве). Разложим его по подвижному реперу

(*)

Тогда координаты вектора в подвижном репере равны , где - мгновенная угловая скорость репера .

Доказательство. Следует из равенств

, ,

если продифференцировать (*). Доказательство леммы завершено.

Запишем в) с учетом б) для движения твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле сил тяжести.

Пусть - вектор, идущий из в центр масс (в подвижном репере его координаты постоянны). Пусть - единичный вектор вертикали, направленный вниз и - его координаты в подвижном репере (они меняются при движении тела). Тогда момент активных сил, приложенных к телу .

Итак

Это и есть динамические уравнения Эйлера. Распишем их подробнее (в главных осях инерции).

, , ,

Постоянство вектора в абсолютном (неподвижном) пространстве выражается уравнениями Пуассона. Они означают, что абсолютная скорость этого вектора равна нулю.

или, в подробной записи

Уравнения Эйлера-Пуассона образуют замкнутую систему. Система имеет следующие первые интегралы.

Энергия.

Кинетический момент в проекции на

Геометрический

Задача. Убедитесь, что выписанные функции – действительно первые интегралы.

Решение. (Решить!!!)

Задача. Проверьте, что у уравнений Эйлера Пуассона есть инвариантная мера с плотностью .

Решение. (Решить!!!)

Так как имеется инвариантная мера, то для интегрируемости в квадратурах не хватает еще одного независимого первого интеграла.

Имеются три классических случая интегрируемости: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.

Случай Эйлера. Центр масс совпадает с неподвижной точкой , т.е. .

В этом случае моменты активных сил отсутствуют и связи допускают повороты всей системы вокруг любой неподвижной оси, проходящей через . Поэтому кинетический момент - это постоянный вектор в абсолютном (неподвижном) пространстве.

Поэтому здесь имеется дополнительный первый интеграл – квадрат модуля кинетического момента

Уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона

Рассмотрим их отдельно. Движение происходит по совместным уровням интегралов

Рассмотрим их в пространстве , , ( , , ). Тогда

- сфера (*)

- эллипсоид (**)

Зафиксируем значение и будем менять . Считаем, что . Если

, то сфера с эллипсоидом не пересекается (сфера лежит внутри эллипсоида).

- две точки пересечения (касания)

- пересечение по двум замкнутым кривым (топологическим окружностям “насаженным” на ось )

- две геометрические!!! окружности, пересекающиеся на оси . В самом деле, умножим (**) на и вычтем из него (*). Получим

Коэффициенты положительны. Поэтому это уравнение распадается на два линейных, задающих две плоскости, в которых лежат наши кривые, значит, они – плоские. Расстояние до центра постоянно (*). Значит, это – окружности.

Аналогично устроены случаи , , .

Каждый из шести концов полуосей эллипса соответствует положению равновесия уравнений Эйлера. В терминах движения твердого тела – это вращения вокруг главных осей инерции с постоянной угловой скоростью. Эти движения называются стационарными вращениями. Из расположения кривых на рисунке следует, что положения равновесия уравнений Эйлера и устойчивы, а - неустойчивы. Это неустойчивость стационарного вращения вокруг средней оси инерции.

Вопросы к материалу.

  • Динамика твердого тела.

  • Твердое тело с неподвижной точкой.

  • Абсолютная скорость в проекции на подвижные оси.

  • Динамические уравнения Эйлера.

  • Уравнения Пуассона.

  • Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.

  • Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.

  • Случай Эйлера.

  • Фазовый портрет уравнений Эйлера.

  • Устойчивость Стационарных вращений.



Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,82 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Е.И
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6455
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее