11 Как вычислить функции r(t) и фи(t) (1158230)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

11-3

Лекция 11

Как вычислить функции и .

Вспоминаем, что .

Из интеграла энергии получаем квадратуры

Интеграл берется с помощью замены (Объяснить!!!)

, ,

Уравнение для называется уравнением Кеплера.

- эксцентрическая аномалия

- средняя аномалия

Геометрический смысл эксцентрической аномалии изображен на рисунке. Это угол поворота радиус-вектора, соединяющего центр эллипса и точку отсчитываемый от перицентра .

Задача. Доказать это.

Решение. !!!

- истинная аномалия

Задача. Доказать, что

Решение. !!!

Движение точки в произвольном центральном поле.

Задача. Доказать, что гладкое центральное поле потенциально.

Решение. !!!

Пусть потенциал центрального поля сил имеет вид . Поскольку сила центральная, то, как мы уже доказали, орбиты плоские. В полярных координатах имеем следующие уравнения движения

Из второго уравнения следует интеграл площадей . Воспользовавшись этим и доказанной леммой о том, что , первое равенство переписываем в виде

Рассмотрим сначала движение в обратных единицах. Полагая , , получаем и

Это уравнение движения точки по прямой с потенциалом . Фазовые кривые – это уровни интеграла энергии. В потенциальной яме это замкнутые кривые, т.е. совершает периодические движения от одного края ямы к другому.

Вернемся к исходным координатам. Интеграл энергии или

(*)

Члены, в которые не входит скорость составляют эффективный потенциал:

Индекс в наименовании отражает то, что потенциал отвечает заданному значению константы интеграла площадей.

Область возможности движения (ОВД) на плоскости определяется так:

На плоскости - это некий набор колец .

Решение сводится к квадратурам. Сначала находим , интегрируя (*), а затем из интеграла площадей.

Как устроены орбиты. Обозначим . Из интеграла площадей получаем . Перепишем (*): или

Интегрируя, например, по положительной ветви, получаем

Пусть ОВД содержит отрезок в качестве компоненты связности, и , (т.е. невырожденное кольцо). Тогда

и при

Траектория совершает периодические колебания от до . За одно колебание угол изменится на величину

- она называется апсидальный угол.

Если соизмерим с (т.е., ), то траектория периодическая. Иначе – заполняет кольцо всюду плотно.

Вопрос. Чему равен апсидальный угол в задаче Кеплера.

Ответ. Поскольку орбита замкнута на одном обороте, то . (знак определяется знаком константы интеграла площадей )

Теорема. (Бертран) В центральном поле сил все ограниченные орбиты замкнуты тогда и только тогда, когда потенциал либо гравитационный ( ), либо упругий ( ).

Доказательство. Без доказательства.

Задача. Решить уравнения движения точки в поле сил с потенциалом .

Указание. Удобнее действовать в декартовой системекоординат.

Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера.

Задача двух тел – это задача о движении двух гравитирующих точек. Силы потенциальны

Это можно проверить непосредственным дифференцированием. Например, сила действующая на первую точку

Но

Поэтому

Значит

Что и требовалось показать.

Уравнения движения

,

Делим на массы и вычитаем второе из первого. Получаем

Полагая , , получаем уравнение задачи Кеплера.

Сумма всех сил в системе равна нулю (система замкнута) следовательно, центр масс движется равномерно и прямолинейно. (Напомним, что это – следствие теоремы об изменении импульса системы точек.)

Эти соображения позволяют полностью получить решение задачи двух тел.

Задача. Показать, что в инерциальной системе с началом в центре тяжести

а) Точки движутся в одной плоскости.

б) каждая точка движется так, как будто другой точки нет, и она притягивается к началу координат, в котором сосредоточена масса равная суммарной массе обоих тел. (Проверить!!!)

Решение.

а) Кинетический момент в приведенной задаче Кеплера лежит в неподвижной плоскости. Центр тяжести лежит на отрезке, соединяющем точки. Это и доказывает утверждение.

б) Решить!!!

Начальные сведения о задаче n тел.

Это задача о движении материальных точек, взаимодействующих по гравитационному закону.

Уравнения движения

,

Первые интегралы (система замкнутая)

1. Импульс: . Выбором инерциальной системы координат с началом в центре тя можно сделать эту постоянную равной нулю.

2. Кинетический момент: .

3. Энергия: ,

Определение. Движение в задаче тел называется устойчивым, если ,

а) (нет столкновений)

б) , где - общая постоянная для всех . (точки не разбегаются далеко друг от друга).

Теорема. (Якоби) Если движение устойчиво, то полная энергия - отрицательна в системе координат, в которой центр масс покоится.

Доказательство. Продифференцируем момент инерции

,

Второе слагаемое равно

Функция однородная по , степень однородности равна , поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях это выражение равно .

Итак, .

Пусть . Тогда, в силу положительности имеем: .

Таким образом, - выпуклая функция и, следовательно, не может быть ограниченной на .

Задача. Доказать это.

Указание. Дать!!!

Остается воспользоваться Тождеством Лагранжа

Доказательство теоремы Якоби завершено.

Докажем формулу Лагранжа.

Отсюда все следует.

Вопросы к материалу.

• Квадратуры в задаче Кеплера.

• Уравнение Кеплера. Эксцентрическая аномалия.

• Истинная аномалия и ее связь с эксцентрической аномалией.

• Движение в центральном поле сил. ОВД. Сведение к квадратурам.

• Апсидальный угол.

• Теорема Бертрана.

• Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера.

• Задача тел. Первые интегралы. Устойчивость. Теорема Якоби.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций