5 Метод Роберваля (1158223)
Текст из файла
5-6
Лекция 5
Пример. Метод Роберваля, построения касательных к кривым 2-го порядка. (см. Березкин, с.61) На примере эллипса.
Сложение ускорений.
Определение. В прежних обозначениях
1. 
- абсолютное ускорение точки 
(
).
2. 
- относительное ускорение точки (
)
3. Ускорение точки подвижной системы координат, совпадающей в данный момент с точкой , называется переносным ускорением точки (
).
4. Кориолисово ускорение 
.
Теорема о сложении ускорений. (Кориолис)
Доказательство. 
, следовательно
(!Здесь–внимание–множитель 2!)
Утверждение. 
Доказательство. Применим формулу Ривальса к 
, 
и получим требуемое. Доказательство утверждения завершено.
Тем самым завершено и доказательство теоремы Кориолиса.
Пример 1.
Пусть точка движется с постоянной скоростью 
по меридиану Земли, вращающейся с постоянной угловой скоростью 
. Найдем ускорение точки. Подвижная система – это Земля.
, направлена к центру Земли.
, направлена к оси вращения.
, в северном полушарии направлено горизонтально влево (в южном полушарии горизонтально вправо) по ходу движения.
Вопрос. Какой берег у рек чаще обрывистый, а какой пологий.
Ответ. В северном полушарии у рек текущих на юг – правый.
Пример 2. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
Пусть точка движется в плоскости 
. Введем подвижную систему отсчета 
, где 
всегда проходит через . Угловая скорость подвижной системы равна 
. Обозначим для наглядности 
, 
. Тогда
Сложение угловых скоростей.
Пусть 
- неподвижная система, 
- подвижная система, 
- движущееся в 
твердое тело.
Определение.
1. Угловая скорость тела относительно неподвижной системы называется абсолютной (
).
2. Угловая скорость тела относительно подвижной системы называется относительной (
).
3. Угловая скорость подвижной системы относительно неподвижной системы называется переносной (
).
Теорема. (О сложении угловых скоростей).
Доказательство. По теореме Эйлера для всяких двух точек 
, 
твержого тела выполнено
, 
, 
По теореме о сложении скоростей 
, 
. Поэтому
, 
Отсюда 
. Что и завершает доказательство.
Некоторые обобщения.
Введем несколько систем отсчета: 0,1,2,…,n. Система 0 – неподвижна. Пусть 
- переносная скорость точки в той ситуации, когда 
-я система считается неподвижной, а 
-я движется относительно нее, 
. Пусть 
- скорость точки относительно системы 
.
Утверждение. 
Задача. Доказать утверждение.
Пусть 
- угловая скорость движения системы 
относительно системы , . Пусть 
- угловая скорость движения тела относительно системы .
Утверждение. 
Задача. Доказать утверждение.
Геометрия группы 
.
Рассмотрим вращение твердого тела, имеющего неподвижную точку 
. Пусть 
- неподвижный репер, а репер 
- жестко связан с телом. Положение твердого тела определяется матрицей
, где 
Матрица задается 9-ю числами, т.е. точкой в 
. Матрица ортогональна: 
. Следовательно
,…
,…
Всего независимых соотношений 
. Значит в 
эти соотношения высекают нечто 
-мерное. Это алгебраическое многообразие есть .
Одна из возможных систем координат на - это углы Эйлера.
- угол между 
и 
(
). Он отсчитывается “сверху-вниз”. Если 
и 
, то плоскости и пересекаются по прямой 
- она называется линия узлов (и часто обозначается буквой ) . Важное свойство 
.
- угол между 
и линией узлов . Он отсчитывается так, что его положительному значению соответствует поворот оси в сторону от к 
.
- угол между и линией узлов . Он отсчитывается так, что его положительному значению соответствует поворот оси в сторону от к 
.
Названия углов Эйлера.
Угол принято называть углом собственного вращения.
Для углов и чаще всего используются такие обозначения. Угол называется углом прецессии, а угол называется углом нутации. Иногда эти названия применяют в обратном порядке. Угол называется углом прецессии, а угол называется углом нутации.
, , - углы Эйлера , 
, 
, 
.
По углам Эйлера однозначно определяется положение твердого тела, и наоборот, если не параллельна .
Кинематические формулы Эйлера.
Найдем в терминах углов Эйлера компоненты угловой скорости движения твердого тела в проекции на подвижные оси 
.
В начальном положении неподвижная и подвижная системы совпадают. Чтобы перевести тело из начального положения в конечное достаточно выполнить три поворота:
(1) Вокруг оси на угол .
(2) Вокруг линии узлов на угол .
(3) Вокруг оси на угол .
Поэтому целесообразно ввести подвижные системы отсчета
1. 
- 
и даны, а 
достраиваем.
2. 
- и даны, а 
достраиваем.
Тогда
и
, 
, 
т.е.
(*)
Проектируя на 
, 
, 
получим:
- получается поворотом вектора на угол (
) вокруг .
где первое слагаемое – это проекция на ось , а второе – проекция на плоскость . Поскольку 
и лежит в плоскости , то 
, причем 
получается поворотом на угол ( ) вокруг . Т.е.
Значит
или
Подставив 
и 
в (*) получим
или
Окончательно получаем
Это и есть кинематические формулы Эйлера (1760 г.).
Углы Эйлера, как координаты на вырождаются при 
и 
. Этого недостатка лишены кватернионы (см., например, у Голубева).
Замечание. Если выбросить из подмногообразия и , то останется открытое полноторие. И получается из него, если каждый из граничных торов склеить в окружность по центральной параллели. Здесь видно, что на есть замкнутый путь, который нельзя стянуть в точку, т.е. не односвязное многообразие.
Вопросы к материалу.
-
Теорема о сложении ускорений.
-
Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
-
Сложение угловых скоростей.
-
Многообразие есть
![]()
. -
Углы Эйлера.
-
Кинематические формулы Эйлера.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
