9 Асимптотики периода (1158228)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

9-3

Лекция 9

Асимптотики периода.

(1) Малые колебания ( ).

В этом случае, обычно не исследуют интеграл (квадратуры), а линеаризуют уравнения. Делают это так. Мы интересуемся движениями, при которых , где в точке имеет локальный минимум. Мы рассматриваем невырожденный случай, т.е. , . Положим . Тогда уравнение движения перейдет в

Отбрасывание нелинейностей в уравнении называется его линеаризацией. Линеаризуем это уравнение. Получим

, или , где

Общее решение этого уравнения имеет вид гармонических колебаний

Итак, частота малых колебаний равна (приближенно) .

(2) Колебания в окрестности сепаратрисы ( ).

Пусть замкнутая кривая близка к сепаратрисе. Для определенности рассмотрим следующую картинку.

Сдвигом переменной можно добиться, чтобы равнялось нулю ( ). Добавляя к постоянную, так чтобы в точке максимума . Это не изменяет уравнений движения. Считаем максимум невырожденным , .

Итак

, , (*)

Найдем асимптотику периода движения при .

Утверждение. , при , .

Доказательство.

где

, ,

и - некоторая малая постоянная. Интегралы и - очевидно ограничены при .

Рассмотрим поведение при . Из (*), применив следствие из малой леммы Морса, получаем , где - гладкая функция (знак “минус” выбран для дальнейшей простоты). Сделаем замену переменных . Тогда

где

, ,

Интеграл , очевидно, ограничен при .

Лемма. и - ограничены при малых , где

Доказательство.

Пусть . Тогда

Выберем настолько малым, чтобы . Тогда для будет

и

Значит

Поэтому

Последний интеграл ограничен при . Это завершает доказательство.

Задача. Дайте асимптотику периода колебаний для движений “внутри петли” т.е., для .

Ответ. при . ?

Линейные колебания.

Рассмотрим материальной точки по прямой следующего вида

, ,

Здесь

- упругая сила,

- вязкое трение,

- внешняя сила.

(1) Пусть . Получаем линейное однородное уравнение. Корни характеристического уравнения:

Частные случаи (картинки из книги Л.С. Понтрягина “Обыкновенные дифференциальные уравнения”)

(а) - два действительных различных отрицательных корня – устойчивый узел. Решения – экспоненты с отрицательными показателями.

(б) - действительный отрицательный корень кратности 2 - устойчивый вырожденный узел . Решения – экспонента с отрицательным показателем умноженная на полином первой степени.

(в) Два комплексно сопряженных корня с отрицательной вещественной частью. Устойчивый фокус. Колебания с амплитудой затухающей по экспоненте.

(г) Два комплексно сопряженных чисто мнимых корня. Центр. Колебания около положения равновесия.

Общее решение, графики функций .

Задача. Нарисовать фазовые портреты в случаях а) – г).

(2) Рассмотрим случай , , . Надо найти частное решение. Тогда общее решение будет суммой частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Ищем решение методом неопределенных коэффициентов в виде

(*)

Подставляем в уравнение

Приравниваем коэффициенты при и :

(a) - есть частное решение вида (*)

(б) - ( - собственная частота, ). Резонанс.

Решение – квазимногочлен:

Задача. Проверить.

Задача. Нарисовать качественно решение при

- очень малом, , - очень большом.

Ответ. Биения.

Пример резонанса в линейной системе.

Рассмотрим уравнение движения гармонического осциллятора под воздействием периодической принуждающей силы

Перейдем к комплексному виду (метод комплексных амплитуд)

Характеристическое уравнение

,

Рассмотрим два случая.

а) (т.е. - показатель квазимногочлена – не корень характеристического уравнения. Поскольку степень квазимногочлена в правой части – нулевая, то ищем частное решение в виде

Подставив в уравнение, получим

Таким образом, частное решение имеет вид

В соответствии с методом комплексных амплитуд, частное решение исходного (вещественного) уравнения имеет вид

Общее решение имеет вид

Такое движение называется квазипериодическим движением. Первые два члена в нем – это свободные колебания, последний член – вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний (и, значит – амплитуда полного движения) растет сколь угодно велико при приближении частоты вынуждающей силы к частоте свободной системы. Это явление называется резонансом.

б) (т.е. ) - показатель квазимногочлена – корень характеристического уравнения кратности один. Поскольку степень квазимногочлена в правой части – нулевая, то ищем частное решение в виде

Тогда

Подставив в уравнение, получим

Или

Откуда

Таким образом, частное решение имеет вид

В соответствии с методом комплексных амплитуд, частное решение исходного (вещественного) уравнения имеет вид

Это гармонические колебания с частотой и амплитудой линейно растущей во времени

Общее решение имеет вид

Как происходит переход от а) к б)? Рассмотрим, например, решение с начальными условиями , (при . Подставив в общее решение

Получим

,

Т.е.

Но

Поэтому

Если мало, то у нас есть медленные колебания, на которые наложены биения с частотой .

При фиксированном и получаем

Т.е. амплитуда растет линейно по (при невеликих ). Это линейный резонанс. В нелинейных системах в общем случае – все по-другому. Амплитуда – ограничена. Возникают устойчивые (притягивающие) циклы.

Вопросы к материалу.

• Малые колебания.

• Колебания в окрестности сепаратрисы. Асимптотика периода колебаний.

• Линейные колебания в отсутствии внешней силы.

• Линейные колебания при гармонической внешней силе. Резонанс.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций