Диссертация (1154389), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда для ζ ∈ [n, n + 1], n ∈ N0 , имеемϕ̃1 (ζ) = sup {ζx − ϕ1(x)} = ζ ζn − [n(ζn − xn) + nxn − ϕ̃(n)] =x>0что и требовалось.= ζn (ζ − n) + ϕ̃(n) = ψ(ζ),Доказательство следующего результата требует дополнительных рассмотрений.Пусть ϕ(x) — выпуклая функция, заданная (конечная) на некотором промежутке I . Удобно считать ее равной +∞ вне этого промежутка. Обозначимчерез ϕ̃(ξ) = sup (ξx − ϕ(x)) функцию, сопряженную по Юнгу к ϕ(x) .x∈R112Будем предполагать ее конечной для всех ξ ∈ R .
Пусть далее µ > λ , иy = y1 (x) = λx − ϕ̃(λ), y = y2(x) = µx − ϕ̃(µ) — опорные прямые к графикуфункции ϕ(x) в точках (x1, ϕ(x1)) и (x2, ϕ(x2)) соответственно, x1 < x2 .Рис. 2.1Абсциссой точки пересечения этих опорных прямых является, как нетрудϕ̃(µ) − ϕ̃(λ)(см. рис. 2.1). Таким образом, формулано проверить, x0 =µ−λ(y1 (x), x ∈ [x1, x0 ],y = y(x) =y2 (x), x ∈ [x0, x2 ]определяет уравнение ломаной, описанной около графика функции y = ϕ(x)на отрезке [x1, x2] , а формулаy = ȳ(x) = ϕ(x1) +ϕ(x2) − ϕ(x1)(x − x1 )x2 − x1задает уравнение хорды, соединяющей точки (x1, ϕ(x1)) и (x2, ϕ(x2)) .Как и ранее, для выпуклой функции ϕ(x) через ϕ′(x) будем в дальнейшем обозначать правую производную этой функции в точке x .В принятых обозначениях справедлив следующий результат.Лемма 2.3.
Пусть ϕ(x) — выпуклая вниз функция на промежутке I ,и [x1, x2] ⊂ I . Тогда для всех x ∈ [x1, x2) выполняются неравенстваy(x) 6 ϕ(x) 6 y(x) + d,ȳ(x) − d 6 ϕ(x) 6 ȳ(x),(2.22)|ϕ′ (x) − y ′ (x)| 6 µ − λ,|ϕ′ (x) − ȳ ′ (x)| 6 µ − λ,(2.23)где d 6 0, 25 (x2 − x1 )(µ − λ) .113Доказательство. Оценим величинуd = max {ȳ(x) − y(x)} = ȳ(x0) − y(x0).x∈[x1 , x2 ]Полагая k =ϕ(x2) − ϕ(x1), имеемx2 − x1d = k(x0 − x1) + ϕ(x1) − λ(x0 − x1) − ϕ(x1) = (x0 − x1)(k − λ).Далее,x0 − x1 =ϕ̃(µ) − ϕ̃(λ)µx2 − ϕ(x2) − λx1 + ϕ(x1) − x1(µ − λ)− x1 ==µ−λµ−λ=µ(x2 − x1 ) + ϕ(x1) − ϕ(x2) x2 − x1=(µ − k).µ−λµ−λТаким образом,d=x2 − x1x2 − x1(µ − k)(k − λ) 6(µ − λ)µ−λ4aba+b6при a = µ − k , b = k − λ ).a+b4Утверждение (2.22) леммы следует теперь из того, что для всех x ∈ [x1, x2 ]имеем ȳ(x) 6 y(x) + d, и в силу выпуклости ϕ(x) для этих же значений xвыполняются неравенства y(x) 6 ϕ(x) 6 ȳ(x) .Переходя к доказательству (2.23), заметим, что выпуклость ϕ(x) влечет неравенства λ 6 ϕ′ (x) 6 µ и λ 6 k = ȳ ′ (x) 6 µ .
Отсюда получаем|ϕ′ (x) − ȳ ′ (x)| 6 µ − λ . Так как(λ, x ∈ [x1, x0),y ′ (x) =µ, x ∈ [x0, x2),(мы воспользовались неравенствомто и первое условие (2.23) очевидным образом выполняется.Замечание 2.1. Утверждение леммы остается в силе и при λ = µ .В этом случае ϕ(x) линейна на отрезке [x1, x2], и на этом отрезке выполняются равенства y1(x) = y2 (x) = ϕ(x) = ȳ(x) . Кроме того, лемма очевидно справедлива и в вырожденном случае x1 = x2 , µ > λ , когда (x1, ϕ(x1))является угловой точкой графика функции ϕ(x) . В обоих случаях d = 0 .Замечание 2.2. Лемма остается справедливой для выпуклой вверх функции, если в соотношениях (2.22) функции y(x) и ȳ(x) поменять местами.114Лемма 2.4.
Пусть функция ϕ(x) выпукла на [0, +∞) , возрастает иудовлетворяет условиюϕ′′ (x) → +∞,(2.24)x → +∞.Тогда оценкаln Fn > −ϕ̃(n),n > n0 ,влечет оценкуln µf (r) > ϕ(ln r) − o(1),r → +∞.Доказательство. Применим лемму 2.3 к функции ϕ(x) . В нашем случаеλ = ϕ′ (xn) = n, µ = ϕ′ (xn+1) = n + 1, и потому согласно этой лемме дляразности функций α(x) := ϕ(x) − ϕ1 (x) имеем оценкуα(x) 6 0.25(xn+1 − xn),x ∈ [xn, xn+1].Обозначим через β(t) обратную функцию к ϕ′ (x). Тогдаxn+1 − xn = β(n + 1) − β(n) = β ′ (cn ) =1,ϕ′′(β(cn ))cn ∈ [n, n + 1],n ∈ N0 .Если теперь x ∈ [xn, xn+1], n → ∞, тоα(x) = ϕ(x) − ϕ1(x) 6 0.25(xn+1 − xn) =0.25= o(1),ϕ′′(β(cn ))x → +∞.Применяя оценку из предложения 1.4, получимln µf (r) > ϕ1(ln r) = ϕ(ln r) + ϕ1 (ln r) − ϕ(ln r) = ϕ(ln r) − o(1),r → +∞.Это асимптотическое неравенство и требовалось доказать.Замечание 2.3.
Как видно из доказательства леммы 2.3, при выполнении более слабого,чем (2.24), требованияlim ϕ′′(x) > 0x→+∞справедлива и более слабая, но во многих случаях достаточно полезная,оценкаln µf (r) > ϕ(ln r) − O(1), r → +∞.Отметим кстати, что для любой целой функции f (z) и ϕ(x) = ln Mf (ex )всегда выполнена оценка (см. [120], [124])lim ϕ′′(x) > H,0.24 < H < 0.25.x→+∞115Отметим также, что двусторонние и асимптотические оценки максимальных членов рядов Дирихле, основанные на других принципах, получены вработах М.
Н. Шереметы и его учеников (см., например, [94]). Однако оценкиснизу не выражены явно через исследуемые функции, а требуют вычислениядополнительных величин.Для решения проблемы Адамара необходимо установить связь между относительным поведением тейлоровских коэффициентов исследуемой и эталонной функций и поведением их максимальных членов. Весьма просто проверяется справедливость импликации:если |fn | ∼ |gn |, n → ∞,то µf (r) ∼ µg (r), r → +∞.В более сложной ситуации, когда эквивалентности отсутствуют, ответ даетследующее общее утверждение.Лемма 2.5.
Пусть f (z) =∞Pfn z n , g(z) =∞Pgn z n — целые функ-n=0n=0ции, и Fn и Gn — регуляризации Ньютона-Адамара последовательностей|fn | и |gn | соответственно. Тогда справедливы следующие равенства (поопределению полагаем 01 = ∞ .)|fn |Fnµf (r)= lim= lim,n→∞ Gnn→∞ Gnr→∞ µg (r)FnFnµf (r)lim= lim= lim.n→∞ |gn |n→∞ Gnr→∞ µg (r)limµf (r). Выбирая произвольно ε > 0r→+∞ µg (r)и полагая A′ = A + ε , для всех r > r0 = r0(ε) имеем µf (r) 6 A′ µg (r) . Нотогда при любом n > n0 = nf (r0) справедливы оценкиДоказательство. Обозначим A = lim|fn| 6 Fn 6µf (r)µg (r)6 A′ n .nrrСледовательно,|fn | 6 Fn 6 A′ exp {− sup n ln r − ln µg (r)} = A′ Gn .r>r0Отсюда limn→∞Fn6 A′ = A + ε . Устремляя ε к нулю, находимGnB := limn→∞|fn |Fn6 lim6 A.n→∞ GnGn116С другой стороны, для любых ε > 0 и n > n0 = n0 (ε) выполняется неравенство |fn | 6 (B + ε) Gn .
Выберем r0 = r0(ε) настолько большим, чтобы приr > r0 центральный индекс nf = nf (r) превосходил n0 , т. е. nf > n0 . Тогдадля таких r имеемµf (r) = |fnf | rnf 6 (B + ε) Gnf rnf 6 (B + ε) µg (r),откудаA = limr→+∞µf (r)6 B + ε.µg (r)µf (r)6 B , что вместе с предыдущим доказывает первуюr→+∞ µg (r)часть леммы, относящуюся к верхним пределам. Второе утверждение леммынапрямую выводится из уже доказанного рассмотрением обратных отношений.Значит A = limТеперь у нас есть все необходимое, чтобы доказать основные результатыэтого пункта.
Обозначим через H0(x) функцию, ассоциированную по Ньютону с H(x), т. е. положимH0(x) = x −H(x).H ′ (x)Нетрудно проверить, что H0 (x) строго возрастает для строго выпуклой дифференцируемой H(x) .Теорема 2.5. Пусть функция h(r) такова, что h(ex ) = H(x) ∈ Ȟ,β(t) — обратная функция к H ′ (x) , H0 (x) — функция, ассоциированная поНьютону с H(x) , а ω(t) — функция, обратная к exp {H0 (β(x))} . Тогдасправедливы формулыσf = limr→∞ln Mf (r)nn = lim = σ µf ,= lim−1/nn→∞ ω |fn |−1/nn→∞h(r)ω Fnln Mf (r)n = σ µf .= lim σ f = limh(r)r→∞n→∞ ω Fn−1/n(2.25)Доказательство. Для всех σ > σµf (и только для них) выполняются неравенства ln µf (r) 6 σh(r) , r > r0(σ) .
Обозначив H(x) = h(ex ) , получимнеравенстваln µf (ex ) 6 σH(x),σ > σ µf ,117x > x0(σ).(2.26)По лемме 2.1 условие (2.26), в котором удобно считать H(x) = H(x0) длявсех x 6 x0 = x0(σ) , эквивалентно условию − ln |fn | > Ψ(n) , а также равносильному условию − ln Fn > Ψ(n) . Здесь Ψ(y) является сопряженной поЮнгу к функции σH(x) . Найдем выражение для Ψ(y).По определению Ψ(y) = sup {xy −σH(x)} .
Так как супремум достигаетсяx>0nпри x = β σ , то для n > n0 = σH ′ (x0) имеем n n nn − σH β= nH0 β.Ψ(n) = βσσσТаким образом, при заданном σ > σf условие (2.26) эквивалентно любомуиз условийn n o,n > n0 ,Fn 6 exp −nH0 βσлибоn n o|fn | 6 exp −nH0 β,n > n0 .σЭквивалентная запись:ωлибоn−1/nFn 6 σ,n 6 σ,ω |fn |−1/nσ > σ µf ,n > n0(σ) ,σ > σ µf ,n > n0 (σ) .Тем самым, формулы (2.25), относящиеся к σµf , доказаны. Формула для σ µfпроверяется аналогично, но с привлечением леммы 2.2.Теорема 2.6. Пусть f (z) =∞Pfn z n — целая функция, Fn — регуляри-n=0зация Ньютона-Адамара коэффициентов fn и A(z) =∞PAn z n — функцияn=0сравнения.
Тогда справедливы формулыsr|f|FnnσA (f ) = lim n= lim n,n→∞n→∞AnAnσ A (f ) = limn→∞rnFn.AnДоказательство. Доказательство первого равенства дано в докторской диссертации Ю. А. Казьмина [51], а замена в нем коэффициентов |fn | на Fnqтри-виальна. Для доказательства второго утверждения положим s = limn→∞118nFnAn.qПусть ε > 0. Если n достаточно велико, то n AFnn > s1 = max {0; s − ε} иFn > sn1 An . Следовательно, µf (r) > µA (s1 r) для достаточно больших r , т. е.s1 6 σ A (f ) . Это при ε ↓ 0 дает s 6 σ A (f ) . Значит, s = 0 , если σ A (f ) = 0 .Если же σ A (f ) > 0 , то взяв произвольно положительное число τ < σ A (f ) ,получаем µf (r) > µA (τ r), r > r1′ (τ ) .
Но тогда согласно лемме 2.4 имеемrFnµf (r)Fn= lim> 1иs = lim n> τ,lim nAnn→∞ τ Anr→∞ µA (τ r)n→∞что приводит к неравенству s > σ A (f ). Окончательно s = σ A (f ) .2.1.5 Различные формы решения проблемы АдамараТеоремы 2.5 и 2.6 дают вместе с теоремой 2.3 решение обобщенной проблемы Адамара, предлагая в качестве плотных в A∞ классов функций дву(k)стороннего сравнения роста любой из классов H1 , k ∈ N . Сформулируемрезультат, непосредственно вытекающий из упомянутых теорем, в виде отдельного утверждения.Теорема 2.7. Пусть m ∈ N . Для любой целой функции f (z) суще(m)ствуют функции hi (r) , hi (ex ) ∈ H1 , i = 1, 2 , такие, что для всех r > 0выполняются неравенстваh1 (r) 6 ln Mf (r) 6 h2 (r),(i)причем для некоторых последовательностей rk → +∞ , k → ∞ , i = 1, 2 ,справедливы равенстваln Mf (rki ) = hi (rki ) + o(1),k → ∞,i = 1, 2.Кроме того, выполняются соотношенияlimr→+∞ln Mf (r)ln µf (r)nn = lim = 1,= lim= lim−1/nr→+∞n→∞ ω2 |fn |−1/nn→∞h(r)h(r)ω2 F nlimr→+∞ln Mf (r)ln µf (r)n = 1.= lim= lim−1/nh(r)h(r)r→+∞n→∞ ω1 FnЗдесь ωi (t) связаны с hi (r) как в теореме 2.5.С другой стороны, для любого γ ∈ [0, 1) найдется целая функция f (z)(k)ln Mf (r)= +∞ при любой функции h(r) , h(ex ) ∈ Hγ .такая, что limh(r)r→+∞119Последнее утверждение теоремы означает, что при каждом m ∈ N в рам(m)(m)ках классов Hγ , γ > 0 , дальнейшее сужение H1 невозможно.
Однако,(m)опираясь на теорему 2.3, классы H1 можно заменить более узкими, рассматривая в качестве классов двустороннего сравнения роста целых функцийсовокупности функций {h(r) = ln A(r)}, гдеA(r) =∞Xn=0(m)e−Φ̃(n) rn , Φ(x) ∈ H1 ,m ∈ N.В теореме 2.5 формулы для вычисления типов целой функции получены вобщей ситуации. В каждом конкретном случае они малопригодны, и их основное значение состоит в том, что они доказывают возможность решенияпроблемы Адамара.В работе В. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
