Диссертация (1154389), страница 16
Текст из файла (страница 16)
fm = 0 для m 6= mn , и индекс разреженностиp(mm) > 1 , то f (z) не имеет вполне регулярного роста ни на одном луче. Это же утверждение верно, если индекс лакунарности l(mn) > 1 ивыполнено второе условие в (1.139). ∞Pfn Γ n+1Доказательство. Рассмотрим новый ряд F (z) =z −n−1 , гдеρn=0r 1/ρnΓ(x) – функция Эйлера. Поскольку n Γ n+1при n → ∞ , то∼ ρeρпо теореме С заключаем, что F (z) имеет окружность |z| = T 1/ρ своей естественной границей.
По теореме о связи между особенностями функции F (z)и индикатором f (z) (см. [49, с. 335]) заключаем, что hf (θ) ≡ T , θ ∈ [0, 2π) .Но в силу теоремы B имеем t < T , поскольку ни одна из последовательностей m′n , на которой достигается тип Tf в формуле (1.139), не может бытьслабо лакунарной, так как p(m′n ) > p(mn) > 1.94Вычислению индикатора целой функции дробного порядка по ее тейлоровским коэффициентам с приложениями к вопросам регулярности ростафункции посвящены заметки автора [12], [13]. Обсудим некоторые результаты этих работ.По определению функция f (z) имеет вполне регулярный рост на лучеarg z = θ относительно V (r) , если ее индикатор hf (θ) удовлетворяет равенствуln |f (reiθ )|hf (θ) = lim,r∈EV (r)где множество R+ \ E ∈ E0 . Доказательство теоремы 1.30 порождает естественный вопрос: нельзя ли в этом определении требование R+ \ E ∈ E0заменить условием слабой лакунарности множества E ?Очевидно, что каждое множество, отличающееся от R+ на множествонулевой относительной меры, является слабо лакунарным.
Обратное утверждение не верно, как показывает пример множества E = N , для которогоl(N) = 1 и mes∗ (R+ \ N) = 1 .Тем не менее, справедливо следующее свойство, которое можно принятьза определение полной регулярности функции на луче.Теорема 1.32. Функция f (z) из {V (r); (t, T )} имеет вполне регулярный рост на луче arg z = θ тогда и только тогда, когда для каждого ε > 0множествоE(ε) := { r ∈ R+ : ln |f (reiθ )| > (H(θ) − ε)h(r) }является слабо лакунарным.Доказательство.
Для простоты будем считать, что θ = 0 . Зафиксируем произвольно ε > 0 . Пусть целая функция f (z) имеет вполне регулярный рост∞San+1(an , bn) . Предположим, что l = l(E(ε)) = limна R+ , и E(ε) => 1.bnn=1Тогда справедлива оценка ln |f (r)| 6 (H(0) − ε)V (r), r ∈ E ′ = R+ \ E(ε),причемbn1mes {E ′ ∩ [0, an+1 ]} an+1 − bn>=1−>1−>0an+1an+1an+1l−εдля некоторой последовательности индексов n = ni ր ∞ . Значит, E ′ ∈/ E0в противоречие с полной регулярностью f (z) на R+ .Пусть теперь f (z) не имеет вполне регулярного роста на R+ .
Убедимсяв существовании такого ε0 > 0 , что множество E(ε0) не является слабо лакунарным. Воспользуемся одним результатом В. С. Азарина [5], согласно которому можно подобрать числа ε0 > 0 , ζ > 0 и последовательность rn ր ∞95так, чтобы для всех достаточно больших n и r ∈ ((1 − ζ) rn, (1 + ζ) rn) выполнялось неравенство ln |f (r)| 6 (H(0) − ε0 ) h(r) . Представим множество∞S(ai , bi ) и для каждого n найдем in так, чтобыE(ε0) в виде E(ε0) =i=1((1 − ζ) rn , (1 + ζ) rn ) ⊂ [bin , ain +1 ] .
Тогдаl(E(ε0)) = lim1+ζai+1ai +1> lim n >> 1,bibi n1−ζи множество E(ε0) не является слабо лакунарным.В связи с приложениями интересно получить условия конечности индексалакунарности множества и равенства его единице, выраженные через известные характеристики множества.SПредложение 1.24. Пусть E = (an , bn ) — открытое множество,причем логарифмическая мера его дополнения E ′ = R+ \ E конечна. ТогдаE — слабо лакунарное множество.Доказательство. RЛогарифмическая мера множества E ′ определяется велиdr. Утверждение очевидно, если E состоит из конечногочиной интегралаrE′числа интервалов (an , bn) . В противном случае имеемZ∞∞XYdran+1=,(ln an+1 − ln bn ) = ln∞>rbnn=1n=1E′и остается применить необходимое условие сходимости произведения.Предложение 1.25. Пусть E =∞Sn=1(an , bn ) , an ր ∞ .
Тогдаl(E) 6 (1 − mes∗ (E ′))−1,где mes∗ (E ′) — верхняя относительная мера множества E ′ = R+ \ E .В частности, если E ′ ∈ E0 , т. е. m∗ (E ′) = 0 , то l(E) = 1 .an +1Доказательство. Пусть l(E) = lim i . Имеем (см. [62, с. 127])b nimes {E ′ ∩ (0, r)}mes {E ′ ∩ (0, ani +1)}mes (E ) := lim> lim>rani +1b ni1ani +1 − bni= lim 1 −=1−,> limani +1ani +1l(E)∗′что и требовалось доказать.96В теоремах этого раздела условие слабой лакунарности множества, определяющего рост функции ϕ(x) , является необходимым и достаточным длярегулярного роста этой функции, т. е.
для существования пределаϕ(x).x→+∞ H(x)t = T = limНапример, применительно к целым функциям логарифмического роста теорема 1.24 дает следующее утверждение.Пусть H(x) = (ln x)ρ l(ln x) , где l(x) – медленно меняющаяся функция,и ρ > 1 . Пусть, далее, f (z) — целая функция, удовлетворяющая условиямln Mf (x)= T ∈ (0, +∞),x→+∞ H(x)limln Mf (xk )ln Mf (x)= lim,k→∞ H(xk )x→+∞ H(x)t = limxk ր ∞.Тогда f (z) имеет совершенно регулярный логарифмический рост толькоln xk+1при выполнении равенства lim= 1.k→∞ ln xkВлияние индекса лакунарности множества нулей целой функции логарифмического роста на регулярность ее поведения в комплексной плоскостибудет изучено в § 2.2 следующей главы.Отметим в заключение, что теоремы о росте логарифма максимума модуля целой функции допускают распространение на субгармонические и мероморфные функции, поскольку соответствующие характеристики роста, например, характеристики Неванлинны или Альфорса–Симидзу (см.
[45]) являются выпуклыми функциями от логарифма.97ГЛАВА 2ПРОБЛЕМА АДАМАРА2.1 Обобщенная проблема АдамараА. Пуанкаре в мемуаре [138] выделил две проблемы наибольшей важности, указав на связь с одной стороны между ростом целой функции и еежанром, предполагаемым конечным, и с другой стороны, между ростом целой функции и величиной ее коэффициентов Тейлора. Начало разработкеметодов исследования проблем положили труды Э. Бореля и Ж. Адамара.В дальнейшем их идеи получили развитие в работах П. Бутру, А. Вимана,Д.
Пойа, Ж. Валирона, Э. Линделефа, А. Принсгейма, А. Данжуа, Э. Майе,Дж. Литтлвуда и других математиков. Нельзя не упомянуть, что работа Адамара [118] была удостоена премии Парижской академии наук.∞Pfnz n — целая функция, и Mf (r) = max |f (z)| — максиПусть f (z) =|z|=rn=0мум ее модуля. На рубеже девятнадцатого и двадцатого веков Э. Борель [106]ввел понятие порядкаln ln Mf (r)ρf := limr→+∞ln rи нашел формулуn ln nρf = lim,(2.1)n→∞ ln |fn |−1определяющую порядок целой функции по ее тейлоровским коэффициентам.Чуть позже Э. Линделёф [127], [128] определил тип целой функции при конечном положительном порядке ρf = ρ равенствомσρ (f ) := limr→+∞ln Mf (r)rρи вывел формулу для вычисления величины σ = σρ (f ) по коэффициентамТeйлора:(σ e ρ)1/ρ = lim n1/ρ|fn|1/n .n→∞Некоторые целые функции могут иметь при порядке ρ тип, равный нулюили бесконечности (минимальный или максимальный тип по терминологииЛинделефа и Принсгейма).98Начиная с Ж.
Адамара [118] и Э. Бореля [106], математиков интересовалвопрос о нахождении возможно более узких классов функций H , в которыхдля любой целой функции f (z) нашлась бы h(r) с условиемσf := limr→+∞ln Mf (r)∈ (0, +∞)h(r)(2.2)и с возможностью вычислить эту величину (называемую типом f (z) относительно h(r) ) по тейлоровским коэффициентам f (z) . Так, Э. Линделёф [127], [128] рассмотрел случайh(r) = rρ lnα1 r lnα2 2 r ... lnαp p r,α1 , α2 , ... , αp ∈ R,гдеln1 r = ln r,lnn r = ln(lnn−1 r),n ∈ N, n > 2.В общем случае эту задачу для подкласса целых функций конечного порядкарешил Ж.
Валирон [143], [144], введя понятие уточненного порядка. Он показал, что каждая целая функция конечного порядка имеет свой уточненныйпорядок, относительно которого ее тип нормален, т. е.σf := limr→+∞ln Mf (r)∈ (0, +∞).rρ(r)(2.3)При этом величина типа при уточненном порядке ρ(r) определяется тейлоровскими коэффициентами по формуле11(σf eρ) ρ = lim k(n)|fn| n .n→∞(2.4)В этой формуле k(n) — обратная функция к t = rρ(r) , а валироновский уточненный порядок ρ(r), r > 0, обладает по определению свойствами:1) lim ρ(r) = ρ > 0; 1r→+∞2) в каждой точке r > 0 существуют односторонние производные, удовлетворяющие условиюlim r ln rρ′ (r) = 0.r→+∞Накладывая дополнительные требования (такие, как монотонность, дифференцируемость достаточное число раз или бесконечная дифференцируемость, аналитичность в некотором угле и др.), классы уточненных порядков,применяемых для изучения роста целых функций, постоянно сужали (см., например, [62], [94], [88], [64]).
Многие авторы решали задачу коэффициентного1первоначально требовалось, чтобы 0 < λ = lim ρ(r) 6 lim ρ(r) = ρ < ∞r→+∞99r→+∞описания роста целых функций нулевого или бесконечного порядков, определяя логарифмические, экспоненциальные, (p, q) -порядки и типы (и некоторые другие) и вводя соответствующие уточненные порядки (см., например,работу М.
Н. Шереметы [95], в которой многие предыдущие результаты былиобобщены и перекрыты).Еще один способ характеризации роста целой функции — сравнение егос ростом эталонных целых функций, которые называются функциями сравнения (см. [52]). Эти функции имеют положительные, логарифмически выпуклые коэффициенты, и связь с коэффициентами сравниваемых функцийвесьма просто описывается.Коэффициентная характеризация роста аналитических функций важнаво многих вопросах анализа. Например, она с успехом применялась в работахЮ. Ф.
Коробейника (см., например, [57], [58]) и его учеников к исследованиюразрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка.Универсальной шкалы роста целых функций, конечно, не существует, новозможность использовать достаточно узкий класс эталонных функций, скоторыми можно сравнивать в том или ином смысле рост произвольной целой функции, имеет большое значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
