Диссертация (1154389), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Справедливы неравенстваe ρ ν−1e ρ ν−1∗e∆6 ∆ 6∆.ρνρν∗(1.120)Доказательство. В обосновании нуждается только левая часть оценки (1.120)∗в нетривиальном случае, когда 0 < ∆∗ 6 ∆ < +∞. Предположим, расeρ ν−1∗. Тогдасуждая от противного, что выполнено неравенство ∆ < ∆∗ρνe∗∗ρ ν e1−ρ ν < ∆∗ / ∆ , или, что равносильно, e1−ρ ν ln 1−ρ ν < ∆∗ / ∆ . Слеeдовательно, e1−ρ ν > a2 , где, как и прежде, a2 обозначает больший кореньe∗уравнения a ln = ∆∗ / ∆ . Отсюда с учетом левой части (1.97) заключаем,aчтоe∗> a2 ρ ν > a2 ρ ∆∗/ ∆ .∆∗ / ∆ = a2 lna2∗∗Из полученного неравенства ∆∗ / ∆ > a2 ρ ∆∗/ ∆ следует ∆ > a2 ρ ∆ , чтопротиворечит (1.116). Предложение доказано.Отметим в очередной раз, что в случае дискретно измеримой последоваe знаки неравенств в предложетельности, определяемой условием ∆∗ = ∆,нии 1.17 заменяются равенствами, подтверждая точность оценок (1.120).Уточним влияние индекса лакунарности последовательности на величиныее усредненных плотностей.

Сначала установим связь индекса лакунарностис корнями уравнений (1.117) и (1.118).Предложение 1.18. Для произвольной последовательности комплексных чисел с индексом лакунарности l, конечными положительными усред∗˜ненными плотностями ∆∗ , ∆ и дискретной усредненной плотностью ∆справедливы неравенстваea2a26 lρ 6 ,(1.121)ea1a1где ai и eai , i = 1, 2, — корни уравнений (1.117) и (1.118) соответственно.Доказательство. Предварительно установим следующий факт:пусть 0 < A < B < +∞ и к графику кривой y = Beρt в произвольной точке x ∈ R проведена касательная.Тогда эта касательная пересечет графикфункции y = Aeρt в точках с абсциссами t1 = x + ρ1 ln ξ1 и t2 = x + ρ1 ln ξ2 ,Aeгде ξ1 , ξ2 — корни уравнения ξ ln = .ξB76Действительно, искомые точки определятся из уравненияBeρx − Aeρti= ρBeρx , i = 1, 2.x − titi − x −ρxe , легко прийти к уравнениюУмножив обе части этого равенства наBAeρ(x−ti ) (1 − ρ(x − ti )) = ,Bкоторое уже решено в примере 1.2, где и были представлены требуемые абсциссы.Докажем теперь левое неравенство в (1.121).

Пусть N (r) — усредненная считающая функция данной в условии предложения последовательности. Из определений верхней усредненной плотности следует, что для любого ε > 0 существует бесконечно много точек rk , k ∈ K ⊂ N , таких∗∆rkρ . Рассмотрим функцию N1 (x) = N (ex ) .

Графиком еечто N (rk ) >1+εслужит ломаная, причем в бесконечном числе ее звеньев находятся точкиxk = ln rk , k ∈ K в которых выполняется неравенство∗∆N1(xk ) >e ρxk .1+εПусть [µnk , µnk+1 ], k ∈ K — проекции выделенных звеньев на ось абсцисс.Из определения верхней дискретной усредненной плотности следует, чтоe eρµnk ,N1(µnk ) < (1 + ε)∆e eρµnk+1 ,N1 (µnk+1 ) < (1 + ε)∆k ∈ K.(1.122)Опустим теперь выделенное звено ломаной до момента, пока оно коснется∗∆графика функции y =e ρx .

Абсциссы точек пересечения опущенного1+εe e ρx обозначим t1 и t2 (звено пересезвена с графиком функции y = (1 + ε)∆чет график этой функции, поскольку в силу (1.122) концы отрезка ломанойлежат ниже графика). Поэтому имеем неравенства µnk < t1 < t2 < µnk+1 .Используя утверждение, с которого мы начали доказательство, получаем1ea2 (ε)µnk+1 −µnk > t2 −t1 > ln, где ea1 , ea2 — корни уравнения (1.118), точнееρea1 (ε)ee ∆ ∗ . Возврат к исходным обозначеговоря, уравнения a ln = (1 + ε)2 ∆/aa2 (ε)1 e,ниям приводит к неравенствам ln |λnk+1 | − ln |λnk | = µnk+1 − µnk > lnρ ea1 (ε) |λ | ρ ea2 (ε)nили |λk+1, k ∈ K. Отсюда выводим>nk |ea1 (ε)|λnk+1 | ρ|λnk+1 | ρ ea2 (ε)ea2 (ε)ρ> lim>, или lρ >.l = limk→∞K∋k→∞|λnk ||λnk |ea1 (ε)ea1 (ε)77Устремив ε к нулю, получаем левое неравенство в (1.122).

Правое неравенe ρxство получим из аналогичных соображений, заменив функцию y = (1+ε)∆eна y = (1 + ε)∆∗ eρx . Но еще легче его получить из неравенств (1.116), из ко∆a2торых следует, что lρ 66 .∆a1Следствие 1.1. Для произвольной дискретно измеримой последовательности комплексных чисел с индексом лакунарности l, конечными положи∗тельными усредненными плотностями ∆∗, ∆ выполняется равенствоlρ =a2,a1(1.123)где a1 и a2 — корни уравнения (1.117).Равенство (1.123) рождает идею получить параметрические выраженияeдля корней уравнения a ln = θ . Как увидим из следующего предложения,aидея оказалась плодотворной.Предложение 1.19.

Пусть θ ∈ (0, 1) , и a1 , a2 суть корни уравненияea ln = θ , a1 < 1 < a2 . Тогда найдется такое значение параметра q > 1,aчто выполняются равенства1a1 = e qq1−q,a2 = e q11−q,θ=eln q q−11q q−1a2Доказательство. Обозначим q = . Очевидно, q > 1 .

Подставляя a2 = qa1a1eeв равенство θ = a2 ln= a1 ln , получимa2a1eθ = qa1 ln − ln q = qθ − qa1 ln q.a1q−1q−1, a2 = θ. Подстановкаq ln qln qнайденных выражений для корней в определяющее их уравнение даетОтсюда последовательно находим a1 = θq−1e ln qθ=θln,ln qθ(q − 1)ln q1q−1e ln q= ln,θ(q − 1)θ=e ln qq1q−1(q − 1)1=e ln q q−1q1q−1.Доказательство завершенно.Воспользуемся этими фактами для получения следующего результата, который интересно сравнить с оценками (1.109), (1.110) из теоремы 1.21.78Предложение 1.20.

Для произвольной последовательности комплексных чисел с индексом лакунарности l и конечными положительными усред∗ненными плотностями ∆∗ , ∆ справедливы неравенства∗ρ∆ > ∆∗ l lρ −1lρ − 1,e ln lρρlρ − 1∗∗ l −1∆6∆ 6∆.a2 ln lρa1 lρ ln lρ∗(1.124)(1.125)e∆∗Как и ранее, через a1 и a2 обозначаются корни уравнения a ln = ∗ . Приa ∆этом, наличие дискретной измеримости последовательности обеспечиваетв (1.124), (1.125) знаки равенств.Доказательство.

Используя обозначения предыдущего предложения, из праa2= q. Привлекая теперьвой части неравенства (1.121) выводим , что lρ 6a11пункт I леммы 1.1, видим, что выражение a2 (q) = e q 1−q возрастает с увеeличением q . Поэтому a2 (q) > a2 (lρ). Поскольку функция a ln убывает наaпромежутке [1, +∞), то∆∗ρeeln lρρρ1−l6 a2 (l ) ln= el,∗ = a2 (q) lna2 (q)a2 (lρ )lρ − 1∆что дает (1.124). Неравенства (1.125) вытекают из аналогичных рассуждений,qесли заметить еще, что a1 = a1 (q) = e q 1−q убывает при возрастании q. Так,например, правая часть (1.125) следует из соотношений∆∗∆∗= a1 (q) lnρeeρ ln l> a1 ln=al.1a1 (q)a1 (lρ)lρ − 1Предложение 1.20 установлено.Как уже отмечалось, дискретная измеримость последовательности не влечет её измеримости. Интересно, какие дополнительные к дискретной измеримости условия на последовательность могут обеспечить её измеримость?Как видно из предложения 1, одним из таких условий является слабая лакунарность последовательности.

Действительно, при l = 1 из (1.90) вытекает∗e = ∆∗, т. е. ∆∗ = ∆ ∗ . Другим условием служит внутрен∆∗ 6 ∆ 6 ∆няя измеримость последовательности, которая, согласно неравенству (1.92)предложения 1.12, влечет её слабую лакунарность.Возникают естественные вопросы: влечет ли только слабая лакунарностьили только внутренняя измеримость последовательности (без дискретной) её79измеримость? На оба вопроса мы дадим отрицательные ответы, используяпонятие уточненного порядка (по Валирону). Напомним, что так называетсядифференцируемая на R+ функция ρ(x), удовлетворяющая двум условиямlim ρ(x) = ρ > 0 и lim ρ′ (x) x ln x = 0, которые эквивалентны одномуx→+∞x→+∞x h′ (x)условию lim= ρ для функции h(x) = xρ(x) , или, что наиболееx→+∞ h(x)удобно для наших целей, условиюx L′(x)=0limx→+∞ L(x)(1.126)для функции L(x) = h(x) x−ρ.Предложение 1.21. Для наперед заданных чисел ρ > 0, β > 0, α ∈ [0, β]существуют внутренне измеримые, слабо лакунарные последовательностис ρ -плотностями ∆ = α и ∆ = β.Доказательство.

Пусть числа ρ, β и α удовлетворяют условиям предложения. Если α > 0, то для построения заявленной последовательности возьмем функцию α(x) ≡ α. Если же α = 0, то полагаем α(x) = ln−γ x, гдеγ ∈ (0, 1). Выберем затем в качестве L(x) функциюs!sin lnγ xp1βL(x) =α(x)β,ρα(x)которая, как несложно проверить, удовлетворяет условию (1.126). Определимдалее функцию n(x) = [x h′ (x)], а последовательность Λ возьмем так, чтобыее считающая функция совпадала с n(x). Здесь h(x) = xρ L(x), а [x] обозначает целую часть числа x. Из результатов монографии [19] следует, чтопри x → +∞ условия N (x) ∼ h(x) и n(x) ∼ x h′ (x) на считающие функцииΛ эквивалентны.

Последовательность Λ является внутренне измеримой, таккак для нее по построению выполненоh(x)1N (x)= lim=.x→+∞ x h′ (x)x→+∞ n(x)ρlimС другой стороны,N (x)h(x)=ρlim= ρ lim L(x) =ρρx→+∞ xx→+∞ xx→+∞ρ ∆ ∗ = ρ lim= limx→+∞pα(x)βsβα(x)!sin lnγ x= lim80x→+∞pα2 (x) = lim α(x) = α,x→+∞∗pN (x)limL(x)=limα(x)β=ρx→+∞ xρx→+∞x→+∞ρ ∆ = ρ limsβα(x)!sin lnγ x= β.Применяя следствие из предложения 1.13, получаем∗∆ = ρ ∆ ∗ = α и ∆ = ρ ∆ = β.Итак, построенная последовательность имеет заданные ρ -плотности, внутренне измерима, а её слабая лакунарность вытекает из неравенства (1.92)предложения 1.12. Доказательство завершено.Подытоживая предыдущие рассуждения, можно сформулировать следующее утверждение.Предложение 1.22.

Произвольная последовательность Λ = {λn }∞n=1комплексных чисел с показателем сходимости ρ > 0 и 0 < ∆ < ∞ измерима тогда и только тогда, когда она дискретно измерима и выполненохотя бы одно из условий:|λn+1|= 1,a) последовательность Λ слабо лакунарна, т. е. lΛ = limn→∞ |λn |N (x) 1b) выполняется условие ν = lim= ,ρx→+∞ n(x)N (x) 1= ,c) выполняется условие ν = limx→+∞ n(x)ρd) последовательность Λ внутренне измерима, т. е. существует пределN (x)1lim=.x→+∞ n(x)ρДоказательство.

Достаточность дискретной измеримости последовательности Λ с любым из условий a) или d) для её измеримости уже обсуждаласьперед предложением 1.21. Выполнение любого из условий b), c) приводит∗e 6 ∆∗ (см.согласно формулам (1.107), (1.108) к неравенствам ∆∗ 6 ∆ 6 ∆теорему 1.21), влекущим измеримость.Пусть теперь последовательность Λ измерима, т. е.

Характеристики

Список файлов диссертации