Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1154389), страница 10

Файл №1154389 Диссертация (Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций) 10 страницаДиссертация (1154389) страница 102019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Для завершения доказательства осталось применить теорему 1.17.На последнем шаге оценки мы использовали убывание функцииОценки предложения 1.11 точны, они достигаются на последовательностиyn = eρn , ρ > 1 (см. ниже пример 1.7).Следующий результат обосновывается с помощью рассуждений, примененных при доказательстве теоремы 1.17, и поэтому его доказательство опускаем.Теорема 1.18.

Пусть последовательность xn положительна и выпукла, а последовательность yn положительна и строго убывает. Пусть ещеxnxn,M = lim.m = limn→∞ ynn→∞ ynТогда выполняется неравенствоxn+1 − xn.n→∞ yn+1 − ynM p̃+1 (θ) 6 limynЕсли, кроме того, yn−1 имеет лакуны Адамара, т. е. lim= py > 1 , тоn→∞ yn+1выполняется и неравенствоxn+1 − xnlim6 M p̃2(θ).n→∞ yn+1 − ynmЗдесь θ =, а величины p̃1(θ), p̃2 (θ) задаются формуламиM1yk − θyninf,p̃1(θ) = limk−nn→∞ yn+1 − yn k>np̃2 (θ) = lim supl→∞ n>lyk − θyn1sup.yn − yn−1 l6k<n k − n57В качестве иллюстрации к общим утверждениям рассмотрим характерный пример с эталонной последовательностью экспоненциального роста.Пример 1.7.

Сравним рост выпуклых последовательностей xn с последовательностями вида yn = eρn , ρ > 0. Вычислим для этого константы,задаваемые формулами (1.78), (1.79). Имеем11yk − θyneρk − θeρninf= lim ρ(n+1)=infn→∞ yn+1 − yn k>nn→∞ ek−n− eρn k>n k − n1eρ(k−n) − θ1eρ m − θ= lim ρinf= ρinf.n→∞ e − 1 k>nk−ne − 1 m>1ms̃2 (θ) = limeρ x − θна луче x > 0 достигает глобального минимумаФункция y(x) =x1в точке xmin = ln ξ2 , где ξ2 – больший корень уравненияρξ lne= θ,ξ1 6 ξ2 6 e.Следовательно, min y(m) = min {y([xmin]), y([xmin] + 1)} , иm>1s̃2 (θ) =min {y([xmin]), y([xmin] + 1)}.eρ − 1Здесь, как обычно, [x] обозначает целую часть числа x .

Отметим, что1если точка минимума xmin = ln ξ2 есть целое число, то формула дляρs̃2(θ) принимает более простой видs̃2 (θ) =посколькуρξ2,eρ − 1ξ2 − θξ2 − ξ2 ln(e/ξ2)== ρξ2 .x>0(1/ρ) ln ξ2(1/ρ) ln ξ2Отметим еще один случай ξ2 6 eρ , когда формула для s̃2 (θ) также допусee> eρ ln ρ = eρ (1 − ρ) , что заведомокает упрощение. Теперь θ = ξ2 lnξ2eвыполнено при ρ > 1. В этом случае xmin < 1, min y(m) = y(1) = eρ − θ, иmin y(x) =m>1eρ − θs̃2 (θ) = ρ.e −1Аналогичные вычисления величины s̃1 (θ) = lim s1, l (θ) с учетом условияl→∞эффективности для нее оценки снизу, т.

е. условия yn+1/yn = eρ > θ−158( ср. (1.81) ) , дают1yk − θ ynsup=n>l+1 yn − yn−1 l6k<nk−n1eρk − θeρn== inf ρnsupn>l+1 e − eρ(n−1) l6k<nk−ns1, l (θ) = infeρn= inf ρnn>l+1 e − eρ(n−1)eρ(k−n) − θeρsup= ρinfk−ne − 1 n>l+1l6k<neρm − θsup.ml−n6m6−1eρ x − θФункция y(x) =на луче x < 0 достигает глобального максимумаx1в точке xmax = ln ξ1 , где ξ1 – меньший корень уравненияρξ lne= θ,ξ0 6 ξ1 6 1.Рассмотрим два логически возможных случая.eeЕсли ξ1 > e−ρ , или, эквивалентно, θ = ξ1 ln > e−ρ ln −ρ = e−ρ (1 + ρ),ξ1e1то xmax = ln ξ1 > −1. В этом случае max y(m) = y(−1) = θ − e−ρ , иl−n6m6−1ρeρ (θ − e−ρ ) θeρ − 1s̃1 (θ) == ρ.eρ − 1e −1Если ξ1 < e−ρ , то xmax =При xmax 6 l − n имеемвыполняетсяmaxl−n6m6−11ln ξ1 < −1. Пусть l ∈ N и n = l+1, l+2, ...

.ρmax y(m) = y(l − n), а при xmax > l − nl−n6m6−1y(m) = max {y([xmax ]), y([xmax] + 1)} > y(l − n).Следовательно, при любом расположении точки xmax на оси имеемinfsupn>l+1 l−n6m6−1y(m) =infl−xmax >n>l+1y(l − n) = y(−1) = θ − e−ρ .Таким образом, во всех случаях справедливо равенствоeρ (θ − e−ρ ) θeρ − 1s̃1 (θ) == ρ.eρ − 1e −1ρВ рассмотренном примере индекс разреженности p = yn+1yn = e , поэтому полученные формулы для величин s̃1(θ), s̃2 (θ) доказывают точностьоценок (1.86) предложения 1.11 .59В приложениях рост вещественной последовательности xn часто сравнивается с ростом последовательности yn = h(n) , где функция h(x) подбирается из множества тестовых функций, близких к степенным, экспоненциальным, логарифмическим или их композициям.

При этом последовательности xn можно рассматривать как кусочно линейные функцииx(t) = xn + (xn+1 − xn )(t − n),t ∈ [n, n + 1].Такой подход с применением ломаной Ньютона–Адамара используется нами в следующей главе при получении двусторонних оценок модулей тейлоровских коэффициентов целых функций по двусторонним оценкам модулейсамих функций.Другой подход к изучению роста комплексных последовательностей основан на исследовании поведения считающей функции последовательности λn ,равной количеству ее членов, попавших в круг переменного радиуса.

Указанный метод для модельного случая h(x) = xρ рассмотрен в следующем § 1.5.1.5 Специальные характеристики ростакомплексных последовательностейРезультаты этого параграфа опубликованы в работе [25] и находят важные применения в последней главе диссертации, посвященной решению экстремальных задач для асимптотических характеристик роста целых функцийс нулями на заданных множествах.Предметом исследования здесь являются бесконечно большие последовательности комплексных чисел Λ = {λn }∞n=1 , которые мы располагаем впорядке возрастания модулей:0 < |λ1 | = .

. . = |λn1 | < |λn1 +1| = . . . = |λn2 | < |λn2 +1| = . . . = |λn3 | < . . . .Следуя Валирону, номера nk , в которых модули членов последовательности имеют скачки, назовем центральными индексами этой последовательPности Λ. Обозначим через nΛ (x) =1 считающую функцию последо|λn |6xRx nΛ (t)вательности Λ , а через NΛ (x) =dt — ее усредненную считающуюt0функцию. Показатель сходимости последовательности Λ (см.

[62]) вычисляется по формуламln nΛ (x)ln NΛ (x)= lim.x→+∞x→+∞ln xln xρΛ = lim60Далее через ρ обозначаем показатель сходимости ρΛ последовательности Λ,предполагая, что ρ — положительное число. ВеличиныnΛ (x)NΛ (x)∗и∆lim(Λ)=ρx→+∞ xρx→+∞xρ∆ ρ (Λ) = limназываются верхними ρ -плотностями (обычной и усредненной) последовательности Λ . Замена в этих равенствах верхних пределов на нижние приводит к определениям нижней и усредненной нижней ρ -плотностей последовательности:nΛ (x),ρx→+∞ xNΛ(x).xρx→+∞∆∗ρ (Λ) = lim∆ ρ (Λ) = limДля упрощения записей там, где это не приведет к недоразумениям, будем опускать символы ρ и Λ в обозначениях плотностей и других вводимыхдалее характеристик.

Кроме того, ради экономии места будем использоватьодновременное верхнее и нижнее подчеркивания, считая, что они соответствуют друг другу во всех частях равенств.Введем еще верхнюю и нижнюю относительные плотности последовательности, полагая по определениюN (x).x→+∞ n(x)ν = limПоскольку всегда выполняетсяn(x)nn(|λn |)==limlimρρ ,ρx→+∞ xn→∞ |λn |n→∞ |λn |∆ = limто естественно ввести дискретные усредненные верхнюю и нижнюю плотности последовательности по формуламe = lim N (|λnρ|) .∆e n→∞ |λn |Мы увидим ниже (см. теорему 1.19 и предложение 1.12), что всегда ∆∗ = ∆,e∗eа если |λn | ∼ |λn+1 |, то и ∆ = ∆. Последовательности, удовлетворяюn→∞∗щие условию ∆ = ∆∗ , или, что эквивалентно, ∆ = ∆ , называются измеримыми.

Аналогично этому, будем называть дискретно измеримыми поe = ∆ , означающемуследовательности, которые удовлетворяют условию ∆eN (|λn |). Точно так же, если существует пределсуществование предела limn→∞ |λn |ρ61N (x), то говорим, что такая последовательность внутренне измерима.x→+∞ n(x)Полезно отметить, что в отличии от обычной или дискретной измеримостипонятие внутренней измеримости не привязано к какому-либо показателю ρ.Сразу укажем, что ни дискретная, ни внутренняя измеримость последовательности сами по себе не влекут ее измеримости.

Позже мы покажем, чтоклассы дискретно измеримых и внутренне измеримых последовательностейдостаточно широки: для произвольных чисел ρ > 0, β > 0 и α ∈ [0, β] существуют дискретно измеримые и внутренне измеримые последовательностис плотностями ∆ = α и ∆ = β.Из определения считающей функции последовательности Λ = {λn } имеем очевидные соотношения: nΛ (x) = 0 при x ∈ [0, |λ1 |) и nΛ(x) ≡ nk приx ∈ [|λnk |, |λnk +1|), k ∈ N. Для последовательности центральных индексовN = {nk }∞k=1 ⊆ N определим характеристикиlimnk+1nk+1и δN = δ = lim.k→∞ nkk→∞ nkµN = µ = limБудем называть µN индексом лакунарности, а δN — индексом разреженности последовательности N.

Аналогично определяются индексы лакунарности lΛ и разреженности pΛ последовательности Λ = {λn } ⊂ C (точнее,последовательности |Λ| = {|λn |} ⊂ R+ ), упорядоченной по возрастанию модуля:|λnk+1 ||λnk+1 ||λn+1|= limи pΛ = p = lim.n→∞ |λn |k→∞ |λnk |k→∞ |λnk |lΛ = l = limИндексы лакунарности lΛ и разреженности pΛ последовательности Λимеют простой геометрический смысл. Пусть R > 0, s > 1, j ∈ N . ОбозначимKj (R, s) = z ∈ C : Rsj 6 |z| < Rsj+1 .Тогда для любых чисел R > 0 и l′ > lΛ лишь конечное число колец Kj (R, l′)могут не содержать членов последовательности Λ (в противном случае окажется, что lΛ 6 l′ ).

Если pΛ > 1, то для любых чисел R > 0 и p′ ∈ (1, pΛ )все кольца Kj (R, p′), начиная с некоторого, содержат лишь одну окружность,на которой находится nj+1 − nj членов последовательности Λ (в противномслучае будем иметь pΛ 6 p′ ).Говорят, что последовательность Λ лакунарна по Адамару, если её индексразреженности больше единицы, т.

е. pΛ > 1 (при pΛ = ∞ имеем так называемые лакуны Островского). Если индекс лакунарности последовательности Λ равен единице, lΛ = 1 , то такая последовательность называется слабо62лакунарной по Адамару (коротко, слабо лакунарной). Например, последовательность всех простых чисел слабо лакунарна. В некоторых специальныхвопросах аппроксимации из теории чисел рассматриваются сублакунарныепоследовательности tn (см., например, [68]), характеризуемые условиемtn+1c> 1 + β,tnn0 6 β < 1,c > 0.Свойством nα сублакунарности обладает, например, последовательность чиселпри b > 1 , когда α ∈ (0, 1) .

Характеристики

Список файлов диссертации

Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее