Диссертация (1154389), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Для завершения доказательства осталось применить теорему 1.17.На последнем шаге оценки мы использовали убывание функцииОценки предложения 1.11 точны, они достигаются на последовательностиyn = eρn , ρ > 1 (см. ниже пример 1.7).Следующий результат обосновывается с помощью рассуждений, примененных при доказательстве теоремы 1.17, и поэтому его доказательство опускаем.Теорема 1.18.

Пусть последовательность xn положительна и выпукла, а последовательность yn положительна и строго убывает. Пусть ещеxnxn,M = lim.m = limn→∞ ynn→∞ ynТогда выполняется неравенствоxn+1 − xn.n→∞ yn+1 − ynM p̃+1 (θ) 6 limynЕсли, кроме того, yn−1 имеет лакуны Адамара, т. е. lim= py > 1 , тоn→∞ yn+1выполняется и неравенствоxn+1 − xnlim6 M p̃2(θ).n→∞ yn+1 − ynmЗдесь θ =, а величины p̃1(θ), p̃2 (θ) задаются формуламиM1yk − θyninf,p̃1(θ) = limk−nn→∞ yn+1 − yn k>np̃2 (θ) = lim supl→∞ n>lyk − θyn1sup.yn − yn−1 l6k<n k − n57В качестве иллюстрации к общим утверждениям рассмотрим характерный пример с эталонной последовательностью экспоненциального роста.Пример 1.7.

Сравним рост выпуклых последовательностей xn с последовательностями вида yn = eρn , ρ > 0. Вычислим для этого константы,задаваемые формулами (1.78), (1.79). Имеем11yk − θyneρk − θeρninf= lim ρ(n+1)=infn→∞ yn+1 − yn k>nn→∞ ek−n− eρn k>n k − n1eρ(k−n) − θ1eρ m − θ= lim ρinf= ρinf.n→∞ e − 1 k>nk−ne − 1 m>1ms̃2 (θ) = limeρ x − θна луче x > 0 достигает глобального минимумаФункция y(x) =x1в точке xmin = ln ξ2 , где ξ2 – больший корень уравненияρξ lne= θ,ξ1 6 ξ2 6 e.Следовательно, min y(m) = min {y([xmin]), y([xmin] + 1)} , иm>1s̃2 (θ) =min {y([xmin]), y([xmin] + 1)}.eρ − 1Здесь, как обычно, [x] обозначает целую часть числа x .

Отметим, что1если точка минимума xmin = ln ξ2 есть целое число, то формула дляρs̃2(θ) принимает более простой видs̃2 (θ) =посколькуρξ2,eρ − 1ξ2 − θξ2 − ξ2 ln(e/ξ2)== ρξ2 .x>0(1/ρ) ln ξ2(1/ρ) ln ξ2Отметим еще один случай ξ2 6 eρ , когда формула для s̃2 (θ) также допусee> eρ ln ρ = eρ (1 − ρ) , что заведомокает упрощение. Теперь θ = ξ2 lnξ2eвыполнено при ρ > 1. В этом случае xmin < 1, min y(m) = y(1) = eρ − θ, иmin y(x) =m>1eρ − θs̃2 (θ) = ρ.e −1Аналогичные вычисления величины s̃1 (θ) = lim s1, l (θ) с учетом условияl→∞эффективности для нее оценки снизу, т.

е. условия yn+1/yn = eρ > θ−158( ср. (1.81) ) , дают1yk − θ ynsup=n>l+1 yn − yn−1 l6k<nk−n1eρk − θeρn== inf ρnsupn>l+1 e − eρ(n−1) l6k<nk−ns1, l (θ) = infeρn= inf ρnn>l+1 e − eρ(n−1)eρ(k−n) − θeρsup= ρinfk−ne − 1 n>l+1l6k<neρm − θsup.ml−n6m6−1eρ x − θФункция y(x) =на луче x < 0 достигает глобального максимумаx1в точке xmax = ln ξ1 , где ξ1 – меньший корень уравненияρξ lne= θ,ξ0 6 ξ1 6 1.Рассмотрим два логически возможных случая.eeЕсли ξ1 > e−ρ , или, эквивалентно, θ = ξ1 ln > e−ρ ln −ρ = e−ρ (1 + ρ),ξ1e1то xmax = ln ξ1 > −1. В этом случае max y(m) = y(−1) = θ − e−ρ , иl−n6m6−1ρeρ (θ − e−ρ ) θeρ − 1s̃1 (θ) == ρ.eρ − 1e −1Если ξ1 < e−ρ , то xmax =При xmax 6 l − n имеемвыполняетсяmaxl−n6m6−11ln ξ1 < −1. Пусть l ∈ N и n = l+1, l+2, ...

.ρmax y(m) = y(l − n), а при xmax > l − nl−n6m6−1y(m) = max {y([xmax ]), y([xmax] + 1)} > y(l − n).Следовательно, при любом расположении точки xmax на оси имеемinfsupn>l+1 l−n6m6−1y(m) =infl−xmax >n>l+1y(l − n) = y(−1) = θ − e−ρ .Таким образом, во всех случаях справедливо равенствоeρ (θ − e−ρ ) θeρ − 1s̃1 (θ) == ρ.eρ − 1e −1ρВ рассмотренном примере индекс разреженности p = yn+1yn = e , поэтому полученные формулы для величин s̃1(θ), s̃2 (θ) доказывают точностьоценок (1.86) предложения 1.11 .59В приложениях рост вещественной последовательности xn часто сравнивается с ростом последовательности yn = h(n) , где функция h(x) подбирается из множества тестовых функций, близких к степенным, экспоненциальным, логарифмическим или их композициям.

При этом последовательности xn можно рассматривать как кусочно линейные функцииx(t) = xn + (xn+1 − xn )(t − n),t ∈ [n, n + 1].Такой подход с применением ломаной Ньютона–Адамара используется нами в следующей главе при получении двусторонних оценок модулей тейлоровских коэффициентов целых функций по двусторонним оценкам модулейсамих функций.Другой подход к изучению роста комплексных последовательностей основан на исследовании поведения считающей функции последовательности λn ,равной количеству ее членов, попавших в круг переменного радиуса.

Указанный метод для модельного случая h(x) = xρ рассмотрен в следующем § 1.5.1.5 Специальные характеристики ростакомплексных последовательностейРезультаты этого параграфа опубликованы в работе [25] и находят важные применения в последней главе диссертации, посвященной решению экстремальных задач для асимптотических характеристик роста целых функцийс нулями на заданных множествах.Предметом исследования здесь являются бесконечно большие последовательности комплексных чисел Λ = {λn }∞n=1 , которые мы располагаем впорядке возрастания модулей:0 < |λ1 | = .

. . = |λn1 | < |λn1 +1| = . . . = |λn2 | < |λn2 +1| = . . . = |λn3 | < . . . .Следуя Валирону, номера nk , в которых модули членов последовательности имеют скачки, назовем центральными индексами этой последовательPности Λ. Обозначим через nΛ (x) =1 считающую функцию последо|λn |6xRx nΛ (t)вательности Λ , а через NΛ (x) =dt — ее усредненную считающуюt0функцию. Показатель сходимости последовательности Λ (см.

[62]) вычисляется по формуламln nΛ (x)ln NΛ (x)= lim.x→+∞x→+∞ln xln xρΛ = lim60Далее через ρ обозначаем показатель сходимости ρΛ последовательности Λ,предполагая, что ρ — положительное число. ВеличиныnΛ (x)NΛ (x)∗и∆lim(Λ)=ρx→+∞ xρx→+∞xρ∆ ρ (Λ) = limназываются верхними ρ -плотностями (обычной и усредненной) последовательности Λ . Замена в этих равенствах верхних пределов на нижние приводит к определениям нижней и усредненной нижней ρ -плотностей последовательности:nΛ (x),ρx→+∞ xNΛ(x).xρx→+∞∆∗ρ (Λ) = lim∆ ρ (Λ) = limДля упрощения записей там, где это не приведет к недоразумениям, будем опускать символы ρ и Λ в обозначениях плотностей и других вводимыхдалее характеристик.

Кроме того, ради экономии места будем использоватьодновременное верхнее и нижнее подчеркивания, считая, что они соответствуют друг другу во всех частях равенств.Введем еще верхнюю и нижнюю относительные плотности последовательности, полагая по определениюN (x).x→+∞ n(x)ν = limПоскольку всегда выполняетсяn(x)nn(|λn |)==limlimρρ ,ρx→+∞ xn→∞ |λn |n→∞ |λn |∆ = limто естественно ввести дискретные усредненные верхнюю и нижнюю плотности последовательности по формуламe = lim N (|λnρ|) .∆e n→∞ |λn |Мы увидим ниже (см. теорему 1.19 и предложение 1.12), что всегда ∆∗ = ∆,e∗eа если |λn | ∼ |λn+1 |, то и ∆ = ∆. Последовательности, удовлетворяюn→∞∗щие условию ∆ = ∆∗ , или, что эквивалентно, ∆ = ∆ , называются измеримыми.

Аналогично этому, будем называть дискретно измеримыми поe = ∆ , означающемуследовательности, которые удовлетворяют условию ∆eN (|λn |). Точно так же, если существует пределсуществование предела limn→∞ |λn |ρ61N (x), то говорим, что такая последовательность внутренне измерима.x→+∞ n(x)Полезно отметить, что в отличии от обычной или дискретной измеримостипонятие внутренней измеримости не привязано к какому-либо показателю ρ.Сразу укажем, что ни дискретная, ни внутренняя измеримость последовательности сами по себе не влекут ее измеримости.

Позже мы покажем, чтоклассы дискретно измеримых и внутренне измеримых последовательностейдостаточно широки: для произвольных чисел ρ > 0, β > 0 и α ∈ [0, β] существуют дискретно измеримые и внутренне измеримые последовательностис плотностями ∆ = α и ∆ = β.Из определения считающей функции последовательности Λ = {λn } имеем очевидные соотношения: nΛ (x) = 0 при x ∈ [0, |λ1 |) и nΛ(x) ≡ nk приx ∈ [|λnk |, |λnk +1|), k ∈ N. Для последовательности центральных индексовN = {nk }∞k=1 ⊆ N определим характеристикиlimnk+1nk+1и δN = δ = lim.k→∞ nkk→∞ nkµN = µ = limБудем называть µN индексом лакунарности, а δN — индексом разреженности последовательности N.

Аналогично определяются индексы лакунарности lΛ и разреженности pΛ последовательности Λ = {λn } ⊂ C (точнее,последовательности |Λ| = {|λn |} ⊂ R+ ), упорядоченной по возрастанию модуля:|λnk+1 ||λnk+1 ||λn+1|= limи pΛ = p = lim.n→∞ |λn |k→∞ |λnk |k→∞ |λnk |lΛ = l = limИндексы лакунарности lΛ и разреженности pΛ последовательности Λимеют простой геометрический смысл. Пусть R > 0, s > 1, j ∈ N . ОбозначимKj (R, s) = z ∈ C : Rsj 6 |z| < Rsj+1 .Тогда для любых чисел R > 0 и l′ > lΛ лишь конечное число колец Kj (R, l′)могут не содержать членов последовательности Λ (в противном случае окажется, что lΛ 6 l′ ).

Если pΛ > 1, то для любых чисел R > 0 и p′ ∈ (1, pΛ )все кольца Kj (R, p′), начиная с некоторого, содержат лишь одну окружность,на которой находится nj+1 − nj членов последовательности Λ (в противномслучае будем иметь pΛ 6 p′ ).Говорят, что последовательность Λ лакунарна по Адамару, если её индексразреженности больше единицы, т.

е. pΛ > 1 (при pΛ = ∞ имеем так называемые лакуны Островского). Если индекс лакунарности последовательности Λ равен единице, lΛ = 1 , то такая последовательность называется слабо62лакунарной по Адамару (коротко, слабо лакунарной). Например, последовательность всех простых чисел слабо лакунарна. В некоторых специальныхвопросах аппроксимации из теории чисел рассматриваются сублакунарныепоследовательности tn (см., например, [68]), характеризуемые условиемtn+1c> 1 + β,tnn0 6 β < 1,c > 0.Свойством nα сублакунарности обладает, например, последовательность чиселпри b > 1 , когда α ∈ (0, 1) .

Характеристики

Список файлов диссертации