Диссертация (1154389)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ (МПГУ)На правах рукописиУДК 517.547Брайчев Георгий ГенриховичЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИВ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РОСТАВЫПУКЛЫХ И ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙСпециальность: 01.01.01 — вещественный, комплексныйи функциональный анализДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква, 2018ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ4ГЛАВА 1 Новые методы оценок выпуклых функций1.1 О поведении отношений двух функций и их производных . .
.1.2 Равномерные оценки относительного роста функций и их производныx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Асимптотические оценки относительного роста функций и ихпроизводных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Теоремы тауберова типа . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Общие свойства вспомогательных функций . . . . .
. .1.3.3 Вычисление вспомогательных функций . . . . . . . . .1.3.4 Теоремы тауберова типа. Продолжение . . . . . . . . .1.4 Дискретные аналоги теорем абелева и тауберова типов . . . .1.5 Специальные характеристики роста комплексных последовательностей . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Влияние индекса лакунарности на характеристики роста функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1 Н-калибр последовательности и множества . . . . . . .1.6.2 О регулярности роста целых функций . . . .
. . . . . .12. 12. 15......252531384446. 60. 82. 82. 90ГЛАВА 2 Проблема Адамара2.1 Обобщенная проблема Адамара . . . . . . . . . . . . . . . . . .(k)2.1.1 Свойства функций из классов Hγ . . . . . . . . . . . .2.1.2 О равенстве некоторых характеристик роста целых функций . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Типы целых функций относительно функций сравнения2.1.4 Вычисление типов целой функции по ее тейлоровскимкоэффициентам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5 Различные формы решения проблемы Адамара . . . . .2.2 Связь роста целой функции нулевого порядка с ростомее нулей . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9898103105107109119128ГЛАВА 3 Экстремальные задачи для целых функций положительного порядка с нулями на заданных множествах1353.1 Наименьший возможный рост целой функции порядка меньше единицы с положительными нулями заданных усредненныхплотностей . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13523.23.33.43.53.63.1.1 Целые функции с дискретно измеримыми нулями . . . .3.1.2 Доказательство оценки снизу . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3 Целые функции с неизмеримыми нулями . . . . . . . . .О типе целой функции с нулями на лучах . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Оценка типа целой функции через верхнюю плотностьее нулей . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Оценка типа целой функции через верхнюю и нижнююплотности ее нулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Целые функции с нулями на прямой . . . . . . . . . . . .3.2.4 Целые функции с нулями на осях . . . . . . . . . . . . .Наименьший возможный рост целой функции с нулями в углах3.3.1 Доказательство теоремы 3.16: основная оценка . . .
. . .3.3.2 Доказательство теоремы 3.16: построение экстремального примера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.3 Обобщение теоремы 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.4 Целые функции с нулями на множестве «правильных»лучей или углов . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .Целые функции с нулями в полосе или вертикальных углах . .3.4.1 Оценки индикатора целой функции снизу . . . . . . . . .3.4.2 Свойства экстремальной величины Cθ∗(k ∗, ρ) . . . . . . .Экстремальные задачи для нижнего типа целой функции . . . .3.5.1 Оценки снизу нижнего типа целой функции . . . .
. . .3.5.2 Оценки сверху нижнего типа целой функции . . . . . . .3.5.3 Двусторонние оценки экстремальной величины нижнеготипа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .О теоремах единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ3136140144172173178179183186188195207211216219220224228231246253256ВВЕДЕНИЕВ течение более четверти века автор занимался разработкой специальныхразделов теории выпуклых функций. Полученные общие результаты, посвященные вопросам относительного роста выпуклых функций и их производных, в последнее время нашли эффективное применение в теории экстремальных задач для асимптотических характеристик роста целых функций.Благодаря этому новому подходу удалось провести полное исследование рядатрудных экстремальных проблем, долго не поддававшихся решению внутренними методами теории целых функций.Актуальность темы.
Первая часть диссертации — глава 1 — отведенаабелевым и тауберовым теоремам сравнительного роста функций, связаннымс правилом Лопиталя, его обращением и дискретными аналогами в форметеоремы Штольца. В отличие от классического подхода задачи рассматриваются в новой, более широкой постановке, включающей нахождение какасимптотических, так и точных равномерных двусторонних оценок сравниваемых величин. Эта часть работы имеет не только самостоятельное значение,но и служит фундаментом для систематического изучения в последующихдвух главах глобального роста целой функции в зависимости от поведенияее тейлоровских коэффициентов и нулей.В главе 2 основное внимание уделено проблеме Адамара, в общих чертахсостоящей в следующем.
Рост целых функций традиционно описывают путем их сравнения с эталонными функциями. Требуется найти наиболее узкиеклассы таких эталонных функций сравнения, которые позволяют точно описать асимптотическое поведение любой целой функции по ее тейлоровскимкоэффициентам. Этому вопросу посвящены работы Ж.
Адамара, Э. Линделефа, Ж. Валирона и многих других математиков. Важный вклад в решениепроблемы внесли В. А. Осколков, М. Н. Шеремета и их ученики. Полученные в диссертации результаты по проблеме Адамара существенно усиливаютизвестные ранее утверждения в смысле возможности измерения не только„верхнего“, но и „нижнего“ роста целых функций.
Кроме того, в терминахвведенных автором понятий индексов лакунарности и разреженности, примененных к последовательностям тейлоровских коэффициентов и множествамдостижимости характеристик роста, дано описание регулярности поведениямаксимума модуля целой функции. При отсутствии подобной правильностиповедения модуля указаны лучи, на которых функция растет заведомо нерегулярно.Центральная часть диссертационной работы — глава 3 — также опираетсяна исследования первой части и посвящена нахождению точных двусторон4них оценок логарифма максимума модуля целой функции конечного порядкане по тейлоровским коэффициентам, а по ее нулям с учетом их расположенияна плоскости и асимптотического поведения, выраженного как классическими плотностями распределения (обычными и усредненными), так и некоторыми специальными характеристиками.
Тематика имеет насыщенную историю,восходящую к трудам А. Данжуа, Ж. Валирона, Р. Редхеффера, Б. Я. Левина, А. А. Гольдберга и многих других, получив в последнее время новыйимпульс развития благодаря работам Б. Н. Хабибуллина, А. Ю. Попова и ихучеников. Мы выделяем и систематически изучаем важные на практике случаи, когда все нули целой функции лежат на одном или нескольких лучах(прямых), в одном или нескольких углах.
В качестве непосредственных приложений результатов этой части исследований предложены новые теоремыединственности для целых функций.Цель работы. Основной целью диссертационного исследования является разработка методов получения равномерных и асимптотических оценоквыпуклых функций и их применение в теории роста целых функций. Особое внимание уделяется двум центральным направлениям: описание ростафункции по тейлоровским коэффициентам; связь асимптотического поведения целой функции с характером распределения ее нулей на комплекснойплоскости.Методы исследования.
В диссертации разработаны оригинальные методы получения оценок для выпуклых функций, связанные с абелевыми итауберовыми теоремами об относительном росте функций и их производных.Для описания роста целых функций в терминах тейлоровских коэффициентов используются специальные приемы из выпуклого анализа с привлечениемпреобразования Юнга–Фенхеля–Лежандра. Применяются как традиционные,так и оригинальные методы из теории целых функций.
В частности, развивается техника исследования особенностей поведения в комплексной плоскостицелых функций нерегулярного роста. Предлагаются новые принципы построения экстремальных примеров целых функций с заданными асимптотическими свойствами.Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся утверждения, полученные лично автором. Перечислим главные из них.1. Получены точные двусторонние (равномерные и асимптотические) оценки, связывающие относительный рост двух функций с относительным ростомих производных.
Отдельно установлены дискретные аналоги в форме различных вариантов обращения теоремы Штольца.52. Найдены точные границы относительного поведения функций в зависимости от „массивности“ множеств, на которых соответствующие характеристики роста достигаются. Даны применения к вопросам регулярности ростацелых функций.3. Введены и изучены новые характеристики роста последовательностей,выявлена связь с классическими внутренними и плотностными характеристиками, востребованными в теории целых и мероморфных функций. В частности, в новых терминах получен критерий измеримости последовательности.4.
Предложено решение обобщенной проблемы Адамара о нахождениинаиболее узких классов эталонов для измерения „верхнего“ и „нижнего“ ростацелых функций с его точным описанием по тейлоровским коэффициентам.5. Найдены точные нижние грани типов целых функций с нулями заданных усредненных плотностей, расположенными на одном или несколькихлучах (прямых), в одном или нескольких углах фиксированного раствора, атакже на более общих множествах.6.
Найдены неулучшаемые двусторонние оценки для нижних типов целыхфункций с нулями заданных усредненных плотностей в двух важнейших случаях расположения нулей: на одном луче; произвольно в комплексной плоскости.Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер и способствует развитию выпуклого анализа, теориицелых и мероморфных функций. Ее материал представляет интерес для специалистов, работающих в области теории функций, теории вероятностей, аналитического продолжения сумм рядов Дирихле, спектральной теории дифференциальных операторов.
Результаты диссертации будут полезны в научныхисследованиях, проводимых в МГУ им. М. В. Ломоносова, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте Владикавказского научного центра РАН, Башкирском, Харьковском,Львовском госуниверситетах, Южном федеральном университете и другихроссийских и зарубежных математических центрах.Апробация работы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
