Диссертация (1154389), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть далее x0 ∈ J .Если проводить вправо из точки (x0, θg(x0)) лучи, пересекающие график Γgфункции g(x) , то луч с минимальным угловым коэффициентом k0 , равнымk0 =g(tx0 ) − θg(x0)g(t) − θg(x0)= min,t>x0tx0 − x0t − x0будет касаться Γg в некоторой точке (tx0 , g(tx0 )) . Выберем именно этот лучи продолжим его до пересечения с графиком Γθg функции θg(x) в точке17(x1, θg(x1)) . Отрезок выбранного луча с минимальным угловым коэффициентом k0 обозначим через l . Если из точки (x1, θg(x1)) провести влево луч,пересекающий график Γg , то угловой коэффициент такого луча будет максимальным, когда он коснется Γg (в той же точке (tx0 , g(tx0 )) ), т.
е. будетсодержать отрезок l и иметь тот же угловой коэффициент:k0 =g(tx0 ) − θg(x1)g(t) − θg(x1)= max.x0 <t<x1tx0 − x1t − x1Считая, что интервал (x0, x1) ⊂ J, определим на (x0, x1) функцию f (x)уравнением луча l , т. е. положимf (x) = θg(x0) + k0 (x − x0),x ∈ (x0, x1 ).На остальной части J положим f (x) = θg(x) . Тогда такая функция будетудовлетворять требуемым условиям:θ6f (x)6 1,g(x)f ′ (x)= θ,g ′ (x)x ∈ J,x ∈ J \ (x0, x1 ),f ′ (x)k0k06 ′6 ′= c2 (θ), x ∈ (x0, x1).c1 (θ) = ′g (x1)g (x)g (x0)Отметим, что знаки равенств в последней строке достигаются: справа — приx = x0 , слева — при x = x1 − 0 .Итак, для выпуклых на (a, b) функций g(x) оценка теоремы 1.1 точна.Замечание 1.2.
Содержательный прямой перенос утверждения теоремы 1.1 на случай вогнутых (выпуклых вверх) функций f (x) невозможен.Проблема может быть решена, если функция f (x) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Например, если f (x) вогнута и xf ′(x)возрастает на (a, b), a > 0 , то функция f1 (t) = f (et) будет выпуклойна (ln a, ln b) , поскольку ее производная f1′ (t) = et f ′(et ) возрастает.
Крометого, в соответствующих точках будут выполняться равенстваf (x) f (et) f1 (t)==,g(x)g(et )g1 (t)f ′ (x) et f ′(et ) f1′ (t)= t ′ t = ′ .g ′ (x)e g (e )g1 (t)Аналогичные рассуждения применимы и в случае, когда вогнутая функцияf (x) удовлетворяет несколько более сильному условию: xγ f ′(x) возрастаетпри некотором значении γ ∈ (0, 1) ( см. примеры 1.3 и 1.4 ниже ) .18Приведем несколько простых иллюстраций к теореме 1.1.Пример 1.1. Пусть g(x) = xp, x ∈ (0, +∞) , c показателем p > 1 .Зафиксируем θ ∈ [0, 1] и воспользуемся формулой (1.11) для вычисленияконстант c1 (θ), c2 (θ).
Стандартные методы исследования на экстремумфункцииg(t) − θg(x)tp − θxpψθ, x (t) ==t−xt−xприводят к уравнению p−1 ptt+p= θ,(1 − p)xx1которое после замены t = x ξ p−1 принимает видp(1.15)(1 − p) ξ p−1 + p ξ = θ.1p−1Функция ψθ, x (t) имеет максимум на интервале (0, x) в точке t1 = x ξ11p−1и минимум на интервале (x, +∞) в точке t2 = x ξ2 , где ξ1 , ξ2 суть корни уравнения (1.15), 0 6 ξ1 6 1 6 ξ2 .
Соответствующие экстремальныезначения равныpxp ξkp−1 − θxptpk − θxp=ψθ, x (tk ) ==1tk − xp−1xξk − xpp−1= xp−1ξkpp−1− (1 − p)ξk+ pξk1p−1= p xp−1ξk ,k = 1, 2.ξk − 1Согласно формуле (1.11) имеемc1 (θ) = ξ1 ,c2 (θ) = ξ2,где ξ1 , ξ2 являются корнями уравнения (1.15). В частности, при p = 2получим√√c2 (θ) = 1 + 1 − θ.c1 (θ) = 1 − 1 − θ,В этом случае теорема 1.1 утверждает, что для производной f ′(x) всякойвыпуклой функции f (x) с условиемm x2 6 f (x) 6 M x2,x ∈ (0, +∞),выполняется двусторонняя оценкаpp′2 M 1 − 1 − m/M x 6 f (x) 6 2 M 1 + 1 − m/M x,где 0 6 m 6 M .19x ∈ (0, +∞),Пример 1.2.
Пусть g(x) = eρx , x ∈ (−∞, +∞), ρ > 0 . Вычислимвеличину c1 (θ) из формулы (1.11). При фиксированных x и θ ∈ [0, 1] имеемeρ(t−x) − θeρt − θeρxρx=emax=: Kx,θ .sup−∞<t<xt−xt−x−∞<t<xСтандартные методы анализа для определения точки максимума t = t0 < xприводят к уравнениюeρ(t−x) (1 − ρ(t − x)) = θ.После замены ξ = eρ(t−x) возникает уравнениеξ lne= θ,ξ(1.16)и искомая точка максимума находится по формуле t0 = x + ρ1 ln ξ1 . Здесьξ1 = ξ1 (θ) — меньший корень уравнения (1.16). ОтсюдаeKx,θξ1 − ξ1 ln ξ1eρx (ξ1 − θ)= eρx 1= ρeρx ξ1 ,= 1ρ ln ξ1ρ ln ξ1c1 (θ) =1Kx,θ = ξ1 .x∈(−∞, +∞) ρeρxinfАналогичным образом находим, чтоc2 (θ) = ξ2 ,где ξ2 = ξ2(θ) — больший корень уравнения (1.16).Таким образом, теорема 1.1 утверждает, что для производной всякойвыпуклой функции f (x) с условиемm eρx 6 f (x) 6 M eρx ,x ∈ (−∞, +∞),ρ > 0,выполняется двусторонняя оценкаξ1 ρ M eρx 6 f ′(x) 6 ξ2 ρ M eρx ,x ∈ (−∞, +∞),где ξ1 , ξ2 — корни уравнения (1.16), ξ1 6 1 6 ξ2 .Как отмечено в замечании 1.2, для вогнутых функций f (x) теорема 1.1напрямую не работает.
Однако, если при некотором γ ∈ (0, 1] функцияxγ f ′(x) возрастает, то ситуация меняется.20Пример 1.3. Пусть f (x) – вогнутая функция на интервале (0, +∞) ,удовлетворяющая условиямm xρ 6 f (x) 6 M xρ ,ρ ∈ (0, 1),и xf ′(x) возрастает. Тогда, применяя теорему 1.1 к выпуклой на интервале (−∞, +∞) функции f1(t) = f (et ) , получаем, что выполняются двусторонние оценки (см. пример 1.2 )ξ1 ρ M xρ−1 6 f ′(x) 6 ξ2 ρ M xρ−1,где ξ1 , ξ2 — корни уравнения (1.16):ξ lnem= .ξMПример 1.4. Пусть f (x) — вогнутая функция на интервале (0, +∞) ,удовлетворяющая условиямm xρ 6 f (x) 6 M xρ ,ρ ∈ (0, 1),и xγ f ′ (x) возрастает при некотором γ ∈ (1 − ρ, 1) .
Тогда, применяя теорему 1.1 к выпуклой на интервале (0, +∞) функции f1 (t) = f (tδ ) с пока11> , получаем, что иззателем δ =1−γρm6f (x) f (tδ ) f1(t)= δρ = δρ 6 MxρttследуетMζ1 6f1′ (t)6 Mζ2 .δρ tδρ−1Но посколькуf1′ (t)δtδ−1 f ′(tδ )f ′(tδ )f ′ (x)==,=δρ tδρ−1δρ tδρ−1ρ xρ−1ρ tδ(ρ−1)то выполняются двусторонние оценкиζ1 ρ M xρ−1 6 f (x) 6 ζ2 ρ M xρ−1.Здесь ζ1, ζ2 — корни уравнения (1.15) из примера 1.1 с p = δρ > 1 . Ввидуоценкиpe(1 − p) ξ p−1 + p ξ 6 ξ ln , ξ ∈ (0, e),ξвыполнено включение (ζ1, ζ2 ) ⊂ (ξ1 , ξ2 ) , и оценки отношений производныхв примере 1.4 точнее оценок из примера 1.3 .21Теперь рассмотрим вопрос о сравнении убывающих бесконечно малыхфункций.Теорема 1.2.
Пусть функция f (x) выпукла на некотором интервале(a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ , функция g(x) дифференцируема на этом интервале, причем g ′ (x) < 0, и, кроме того, g(a+) = +∞, g(b−) = 0 . Пусть,далее, с неотрицательными константами m, M, m 6 M, выполнено условие (1.9), т. е.f (x)m 66 M,x ∈ (a, b).g(x)Тогда справедлива двусторонняя оценкаM d1 (θ) 6где θ =f ′(x)6 M d2(θ),g ′ (x)x ∈ (a, b),m, а величины d1(θ), d2(θ) определяются правиламиM1g(t) − θg(x)d1 (θ) = infinf,x∈(a, b) g ′ (x) b>t>xt−xg(t) − θg(x)1sup.d2(θ) = sup ′t−xx∈(a, b) g (x) a<t<x(1.17)(1.18)Доказательство. Рассуждения аналогичны доказательству теоремы 1.1. Укажем на небольшие отличия.
Разделив (1.12) на g ′ (x) , для всех x ∈ (a, b)получаемf ′(x)g(t) − θg(x)1>Minf> M d1 (θ),g ′ (x)g ′ (x) b>t>xt−xчто доказывает левую оценку в (1.17). Разделив (1.13) на g ′ (x) , для всехx ∈ (a, b) получаемf ′(x)1g(t) − θg(x)6Msup6 M d2 (θ).g ′ (x)g ′ (x) a<t<xt−xТеорема доказана.Отметим также, что доказательство можно получить, применив теорему 1.1 к функциям f (−x) и g(−x) .В случае, когда g(x) < 0, g ′ (x) > 0 при x ∈ (a, b) справедливо замечание, аналогичное замечанию 1.2.Пример 1.5. Пусть g(x) = x−q , x ∈ (0, +∞), q > 0. Найдем величины d1(θ), d2 (θ) из формулы (1.18). Поскольку в нашем случаеt −q−θξ−θt−q − θx−q= x−q−1 inf x t= x−q−1 inf − 1,inft>xt>xξ<1 ξ q − 1t−x−1x22ξ−θ1тоξ− q − 1!′=q−1−2 q+1 hi 1q+1− q−qqξξ(q + 1) − qξ − θ ,ξ −1q+1qdj (θ) = ξj ,j = 1, 2,где ξj — корни уравнения (1.15) с p = q + 1 . В частности, для q = 1 имеем2√d1 (θ) = 1 − 1 − θ ,d2 (θ) = 1 +√1−θ2,и теорема 1.2 гарантирует, что производная любой выпуклой функции f (x)с условиемm 6 xf (x) 6 M,x ∈ (0, +∞),подчинена оценке√√22√√ ′2M − M − m 6 −x f (x) 6M + M −m ,x ∈ (0, +∞).Пример 1.6.
Пусть g(x) = e−ρx , x ∈ (−∞, +∞), ρ > 0. Как и впредыдущем примере находимξ−θe−ρ(t−x) − θe−ρt − θe−ρx= e−ρx inf= ρe−ρx inf,t>xt>xξ<1 ln 1t−xt−xξ!′ξj − ξj ln ξejξ ln ξe − θξ−θξj − θ==−= ξj .,dj (ξ) = −ln 1ξln ξ1jln ξ1jξ ln2 ξinfТаким образом,d1(θ) = ξ1 ,d2(θ) = ξ2,ξ1 6 1 6 ξ2 ,где ξ1 , ξ2 — корни уравнения (1.16).Согласно теореме 1.2 можем утверждать, что для производной всякойвыпуклой функции f (x) с условиемm 6 eρx f (x) 6 M,x ∈ (−∞, +∞),выполняется двусторонняя оценкаξ1 ρ M 6 (−eρx ) f ′(x) 6 ξ2 ρ M,x ∈ (−∞, +∞),где ξ1 , ξ2 — корни уравнения (1.16), ξ1 6 1 6 ξ2 .23Подводя итог, отметим, что содержательные результаты о сравнительномросте функций возможны при учете их поведения на обоих концах интервала (a, b) .
Прежде, чем переходить к асимптотическим оценкам относительного роста функций, рассмотрим некоторые приложения.Пусть f (z) — целая функция, Mf (r) — ее максимум модуля в кругерадиуса r с центром в начале, и 0 6 σ0 < σ < ∞, ρ > 0 . Предположим, чтовыполняются неравенстваρρeσ0 r 6 Mf (r) 6 eσr ,r > 0.Тогдаξ1 σρ rρ−1Mf (r) 6 Mf′ (r) 6 ξ2 σρ rρ−1 Mf (r),r > 0,e σ0где ξ1 , ξ2 — корни уравнения ξ ln =(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
