Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1154389), страница 6

Файл №1154389 Диссертация (Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций) 6 страницаДиссертация (1154389) страница 62019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда выполняются неравенстваa1 T 6 δ,∆ 6 a2 T,где a1 , a2 задаются формуламиnτoa1 = inf a : ϕg (a) >,T(1.26)nτoa2 = sup a : ϕg (a) >.TДоказательство. Докажем, например, первое неравенство. Для любого положительного ε и всех x , достаточно близких к b , имеемτf (x)<< T (1 + ε),1+εg(x)f ′ (x)< δ(1 + ε) .g ′ (x)Обозначим d = δ/T и положим x = xk , x0 = tx = sup{t : g ′ (t) 6 dg ′ (x)}.Поскольку 0 6 d 6 1 , то выполняется x0 6 x .

Учитывая этот факт, придостаточно больших k получаема для некоторой последовательности x = xk ↑ b выполненоf (x) 6 f (x0) + f ′(x)(x − x0) < T (1 + ε)g(x0) + d T (1 + ε)g ′ (x)(x − x0 ),f (x)g(x0) + dg ′ (x)(x − x0)τ<<< ϕg (d)(1 + ε).T (1 + ε)2g(x)T (1 + ε)g(x)30τ, что при ε ↓ 0 приводит к неравенствуТаким образом, ϕg (d) >3T(1+ε) δτϕg> . Отсюда в силу самого определения a1 следует первое нераTTвенство из (1.26).

Второе неравенство доказывается аналогично.Для конкретных применений теоремы 1.7 необходимо найти вид участвующих в ней величин, т. е. получить формулы, по которым означенные величины могут быть вычислены. Этому вопросу посвящен следующий пункт.1.3.2 Общие свойства вспомогательных функцийПусть функция g(x) выпукла, непрерывно дифференцируема на промежутке [0, b), b 6 +∞ , удовлетворяет условию (1.24), и, в рамках нашегосоглашения, g(0) = g ′ (0) = 0 . Введем помимо функции ϕg (a) , заданнойформулой (1.25), функциюg(tx ) + g ′ (tx )(x − tx )ϕ g (a) := lim,g(x)x→ b−a > 0,(1.27)где tx = max {t : g ′ (t) 6 ag ′ (x)} .Например, в следующих случаях функции ϕ g (a) , ϕg (a) совпадают и безтруда вычисляются:eдля b = +∞, g(x) = eρx , ρ > 0, имеем ϕg (a) = a ln ,aρρдля b = +∞, g(x) = x , ρ > 1, имеем ϕg (a) = ρa + (1 − ρ)a ρ−1 ,e−1для b = 1, g(x) = eρ(1−x) , ρ > 0, имеем ϕg (a) = a ln ,aρдля b = 1, g(x) = (1 − x)−ρ, ρ > 0, имеем ϕg (a) = (1 + ρ)a ρ+1 − ρa.Установим некоторые свойства функций ϕ g (a) и ϕg (a) в общем случае.Когда ясно, о какой функции g(x) идет речь, индекс g в обозначениях будемопускать и писать просто ϕ(a) , ϕ(a) .Теорема 1.8.

Функции ϕ(a) и ϕ(a) обладают следующими свойствами.1) Для всех a > 0 справедливы неравенстваϕ(a) 6 ϕ(a) 6 1.2) Функции ϕ(a) и ϕ(a) возрастают на [0, 1] и убывают на [1, βg ) , причем монотонность строгая на множестве {a : ϕ(a) < 1} .3) Функция ϕ(a) является выпуклой вверх для a > 0 .4) Для всех λ ∈ [0, 1], a ∈ [0, 1] выполняется неравенствоϕ(λa) > λϕ(a).31(1.28)Если βg ∈ (1, +∞) , то функция ϕ(a) обладает следующими свойствами.5) Для всех λ > 0, µ > 0, µ + λ = 1 , и всех a ∈ (0, βg ) справедливонеравенствоϕ(λa + µ) > λϕ(a) + µ.(1.29)6) Для всех λ > 0, µ > 0, µ + λ = 1 , и всех a ∈ (0, βg ) справедливонеравенствоϕ(λa + µβg ) > λϕ(a) + µ ϕ(βg ).(1.30)7) Функция ϕ(a) непрерывна на (0, 1] , а если значение ϕ(βg ) конечно, тои на [1, βg ).Доказательство.

Обозначимϕ(x, a) :=g(tx ) + g ′ (tx )(x − tx ),g(x)tx = max {t : g ′ (t) 6 ag ′ (x)} .В силу наших предположений величина tx = tx (a) определена для всехa > 0 . Дифференцируя по переменному a функцию ϕ(x, a) , находимϕ′a(x, a) =g ′ (x)(x − tx )1[g ′ (tx )(tx )′a + g ′ (x)(x − tx ) − g ′ (tx )(tx )′a ] =,g(x)g(x)ϕ′a (x, a) =g ′ (x)(x − tx ).g(x)т. е.(1.31)Из выпуклости функции g(x) следует, что величина tx = tx (a) возрастаетпо a при фиксированном x , причем tx 6 x для a ∈ [0, 1] и tx > x дляa > 1 . Отсюда, опираясь на формулу (1.31), заключаем, что ϕ′a (x, a) убывает с ростом a .

Поэтому при фиксированном x функция ϕ(x, a) являетсявыпуклой вверх, и максимальное значение принимает в точке a = 1 . Следовательно,ϕ(x, a) 6 ϕ(x, 1) = 1, x ∈ [0, b), a > 0.(Геометрически очевидное неравенство, поскольку график выпуклой функции находится выше графика любой своей касательной.) Переход к пределупри x → b доказывает свойство 1).Выпуклость вверх функций ϕ(x, a) означает, что для любых неотрицательных a1 , a2 , λ, µ, таких что λ + µ = 1 , выполняется условиеϕ(x, λa1 + µa2 ) > λϕ(x, a1) + µϕ(x, a2).(1.32)Переход здесь к нижним пределам по x приводит к неравенствуϕ(λa1 + µa2 ) > λ ϕ(a1 ) + µ ϕ(a2 ),32(1.33)что означает выпуклость вверх функции ϕ(a) .

Таким образом, свойство 3)выполнено.Переход к верхним и нижним пределам по x → b в (1.32) приводит кнеравенствуϕ(λa1 + µa2 ) > λϕ(a1 ) + µ ϕ(a2 ).(1.34)Далее, при всех x ∈ [0, b) выполняются равенстваϕ(x, 0) =g(0)= 0,g(x)ϕ(x, 1) =g(x)= 1.g(x)При x → b отсюда следует, чтоϕ(0) = ϕ(0) = 0,ϕ(1) = ϕ(1) = 1.(1.35)Используя эти равенства и полагая в неравенствах (1.34) a1 = a, a2 = 0 , получим оценку (1.28), составляющую свойство 4). Если же взять a1 = a, a2 = 1или a1 = a, a2 = βg , то получаются соотношения (1.29) и (1.30), выражающие свойства 5) и 6) соответственно.Докажем свойство 2). Монотонность функций ϕ(a) и ϕ(a) следует измонотонности на соответствующих участках изменения переменной a функций ϕ(x, a) , вытекающей из формулы (1.31).

Функции ϕ(a) и ϕ(a) принимают каждое свое значение, строго меньшее единицы, лишь один раз дляаргументов a ∈ (0, 1) или a ∈ (1, βg ) . В противном случае, допуская, чтоϕ(a1) = ϕ(a2 ) < 1, 0 6 a1 < a2 6 1 , из (1.30) для a2 = λa1 + µ и, например,функции ϕ(a) получили быϕ(a1) = ϕ(λa1 +µ) > λϕ(a1 )+µ,или ϕ(a1 )(1−λ) > µ,откуда ϕ(a1) > 1.Такие же рассуждения проходят и в случае 1 6 a1 < a2 6 βg .Осталось доказать непрерывность ϕ(a) . (Непрерывность функции ϕ(a)при всех a > 0 следует из ее выпуклости вверх.) Согласно (1.29) для каждогоa ∈ (0, 1) при достаточно малом ε > 0 имеемa−εa−ε(a + ε) >ϕ(a + ε).ϕ(a − ε) = ϕa+εa+εУчитывая возрастание ϕ(a) , отсюда при ε → 0 получаемϕ(a − 0) 6 ϕ(a) 6 ϕ(a + 0) 6 ϕ(a − 0),что означает непрерывность ϕ(a) в точке a .33Из (1.28), (1.35) при a = 1 получаем неравенство ϕ(λ) > λ , которое приλ → 1 − 0 влечет непрерывность в точке a = 1 слева.

Если a ∈ (1, βg ) , то2εβg − a − ε(a − ε) +βg >ϕ(a + ε) = ϕβg − a + εβg − a + ε>βg − a − ε2εϕ(a − ε) +ϕ(βg ).βg − a + εβg − a + εПереход к пределу при ε → 0 дает ϕ(a + 0) > ϕ(a − 0), что вместе с убыванием ϕ(a) обеспечивает непрерывность этой функции в точке a . Благодаряоценке (1.30) при a = 1 получаем неравенство ϕ(λ + µβg ) > λ + µ ϕ(βg ) , изкоторого при λ → 1 (тогда µ → 0 ) вытекает непрерывность ϕ(a) справав точке a = 1 .Все свойства, прописанные в теореме 1.8, доказаны.Положимϕ0 = ϕ(0+),ϕ1 = ϕ(βg − 0).(1.36)Обозначим через [α, β] наибольший отрезок, на котором ϕ(a) ≡ 1 . Из теоремы 1.8 вытекает существование обратных функций a1 (θ) и a2 (θ) , удовлетворяющих оценкам0 6 a1 (θ) 6 α 6 1 6 β 6 a2 (θ) 6 βg ,причем a1 (θ) строго возрастает на интервале (ϕ0, 1) , а a2 (θ) строго убываетна интервале (ϕ1, βg ) .

Ниже в теореме 1.9 будет дано явное представлениедля этих функций. Предварительно докажем необходимые вспомогательныеутверждения. Для θ ∈ [0, 1] обозначим1g(t) − θg(x)sup,′t−xx→ b− g (x) t<x(1.37)g(t) − θg(x)1inf.x→ b− g ′ (x) t>xt−x(1.38)a1 (θ) = lima2 (θ) = limПредложение 1.1. Пусть функция g(x) выпукла на [0, b) и удовлеg(x)творяет условию (1.24), т. е. lim= +∞ . Тогда при всех θ ∈ [0, 1] ,x→ b− xтаких что a1 (θ) > 0 , выполняетсяЕсли βg ∈ (1, +∞) , тоϕg (a1 (θ)) > θ.(1.39)ϕg (a2(θ) − 0) > θ,(1.40)34причем для конечного ϕ g (βg ) и a2 (θ) < βg имеемϕg (a2 (θ)) > θ.(1.41)Доказательство. Если a1 (θ) = 1 (соответственно a2 (θ) = 1 ), то (1.39) (соответственно (1.41)) с очевидностью выполнено ввиду (1.35).Пусть теперь a1 (θ) ∈ (0, 1) , и ε > 0 достаточно мало. Обозначим временно s = a1 (θ) + ε . Для значений x = xk ↑ b и всех t из промежутка (0, x)имеем неравенствоg(t) − θg(x)g(t) − θg(x)6 sup< sg ′ (x),t−xt−xt<xили, после очевидных преобразований,g(t) + sg ′ (x)(x − t) > θg(x).Минимум по переменной t левой части этого неравенства достигается, когдаg ′ (t) = sg ′ (x) , т.

е. при t = tx . Разделив обе части неравенства на g(x) ,получимg(tx ) + sg ′ (x)(x − tx )g(tx ) + sg ′ (x)(x − tx )ϕg (s) := lim> lim> θ,x→ b−x=xk → b−g(x)g(x)т. е. ϕg (a1(θ) + ε) > θ. Теперь (1.39) вытекает по свойству 7) теоремы 1.8 изнепрерывности ϕ(a) в точке a1 (θ) ∈ (0, 1) .В предположении 1 < a2 (θ) 6 βg < +∞ соотношения (1.40) и (1.41)доказываются аналогично. Действительно, для значений x = xk ↑ b и всех tиз промежутка (x, b) при малых ε > 0 имеем неравенствоg(t) − θg(x)g(t) − θg(x)> inf> (a2(θ) − ε)g ′ (x).x<t<bt−xt−xПолагая p = a2 (θ) − ε , отсюда извлекаемg(t) + pg ′ (x)(x − t) > θg(x).Выбрав t = tx из условия g ′ (t) = pg ′ (x) и разделив обе части неравенствана g(x) , получимg(tx ) + pg ′ (x)(x − tx )g(tx ) + pg ′ (x)(x − tx )> lim> θ,x→ b−x=xk → b−g(x)g(x)ϕg (p) := limт.

Характеристики

Список файлов диссертации

Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее