Диссертация (1154389), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отсюда вытекает предельное соотношениеAx ln Ax → 0,x→ b−.(1.56)ea0(если θ0 = 0 , считаем, что a0 = 0 ). Для произвольного a ∈ (a0 , α) положимeθ = a ln . Тогда θ ∈ (θ0, 1) и a1 (θ) > 0 . Из второй формулы в (1.54) дляaположительного ε < a1 (θ) и достаточно больших x , скажем, x ∈ (x0, b) ,g(bsx )g ′ (bsx )> a1 (θ) − ε > 0.
Поскольку ωbx =< 1,выполняется неравенство ′g (x)g(x)тоg ′ (bsx ) 1Ax = ′·> a1 (θ) − ε > 0,x ∈ (x0, b).g (x) ωbxОбозначим ϕg (0+) = θ0 и найдем число a0 6 1 из условия θ0 = a0 lnИз условия (1.56) извлекаем Ax → 1 при x → b − . Это означает, чтоg(bsx )g ′ (bsx )∽,g ′ (x) x→ b− g(x)иg ′ (bsx )g(bsx )= lim= lim ωbx > x1(θ),a1 (θ) = lim ′x→ b− g (x)x→ b− g(x)x→ b−43где x1(θ) — меньший корень уравнения (1.55).
Учитывая принятые обознаeчения, видим, что θ = a ln , т. е. a = x1(θ). Таким образом, a1 (θ) > a , и вaсилу возрастания функции ϕg (a) на интервале (0, 1) отсюда получаемeϕg (a) 6 ϕg (a1 (θ)) = θ = a ln ,aa ∈ (a0, α).eСледовательно, если a ∈ (a0, α) , то ϕg (a) = a ln . Из непрерывности функaции ϕg (a) в точке a = α следует, что α = 1 . Покажем теперь, что θ0 = 0.Если бы это было не так, то непрерывная на [0, 1] функция ϕg (a) принималабы значение θ0 в двух различных точках a = 0 и a = a0 , что противореeчит утверждению 2) теоремы 1.8.
Таким образом, равенство ϕg (a) = a lnaвыполняется для всех a ∈ (0, 1). Доказательство теоремы завершено.Уместно отметить, что функции ϕg (a) , фигурирующие в формулах (1.47)(когда G = 0 ) и (1.52) (когда G = 1 ), являются предельными случаямифункции из формулы (1.48). Точнее говоря, для a ∈ [0, 1] имеемa − Ga1/G= a,limG→ 01−Gа для a ∈ [0, e] вычисления дают1/Ga − GaG→11−Glim= a limG→11−G−1 −11−aG−1 − 1!e= a[1 − ln a] = a ln .a1.3.4 Теоремы тауберова типа.
ПродолжениеСогласно замечанию 1.5 теорему 1.7 можно сформулировать более содержательно.Теорема 1.7*. Пусть f (x) и g(x) — выпуклые на [0, b) функции, удовлетворяющие условию (1.24), и T ∈ (0, ∞). Тогда выполняются неравенстваa1 T 6 δ,∆ 6 a2 T,где a1 , a2 являются „корнями“ уравнения ϕg (a) =ми (1.37) и (1.38), т. е.1sup′x→ b− g (x) t<xa1 = limτg(x)T,t−xg(t) −τи задаются формулаT1infx→ b− g ′ (x) t>xa2 = limτg(x)T.t−xg(t) −Установим точность полученных в теореме оценок. Пусть положительнаядифференцируемая функция g(x) выпукла и возрастает на промежутке J , и44θ = τ /T ∈ (0, 1) — фиксированное число. Положим x0 = a , g(x0) = g(a + 0)и будем проводить вправо из точки (x0, θg(x0)) лучи, пересекающие графикΓg функции g(x) . Луч с минимальным угловым коэффициентом k0 , равнымg(tx0 ) − θg(x0)g(t) − θg(x0)= min,t>x0tx0 − x0t − x0k0 =будет касаться Γg в некоторой точке (tx0 , g(tx0 )) .
Выберем именно этот лучи продолжим его до пересечения с графиком Γθg функции θg(x) в точке(x1, θg(x1)) . Отрезок выбранного луча с минимальным угловым коэффициентом k0 обозначим через l0 . Если из точки (x1, θg(x1)) провести влево луч,пересекающий график Γg , то угловой коэффициент такого луча будет максимальным, когда он коснется Γg (в той же точке (tx0 , g(tx0 )) ), т. е.
будетсодержать отрезок l0 предыдущего луча и иметь тот же угловой коэффициент:g(tx0 ) − θg(x1)g(t) − θg(x1)k0 == max.x0 <t<x1tx0 − x1t − x1Отправляясь от точки (x1, θg(x1)) , построим аналогичным образом луч, касающийся Γg и пересекающий Γθg в точке (x2, θg(x2)).
Отрезок этого лучамежду указанными точками обозначим l1 . Его угловой коэффициент равенk1 =g(t) − θg(x1)g(tx1 ) − θg(x1)= min=t>x1tx1 − x1t − x1g(t) − θg(x2)g(tx1 ) − θg(x2)=.x0 <t<x2t − x2tx1 − x2Продолжим этот процесс неограниченно вправо. На каждом из построенныхпромежутков [xj , xj+1), j = 0, 1, 2, . . . , определим f (x) уравнением лучаlj , т. е. положим= maxf (x) = θg(xj ) + kj (x − xj ),x ∈ [xj , xj+1).Тогда такая функция будет удовлетворять требуемым условиямθ6f (x)6 1,g(x)x∈J =[[xj , xj+1),kjf ′(x)kj66,x ∈ [xj , xj+1).g ′ (xj+1)g ′ (x)g ′ (xj )Знаки равенств в последней строке для любого j = 0, 1, 2, . .
. достигаются:справа — при x = xj , слева — при x = xj+1 − 0 .Таким образом, оценки, полученные в теореме 1.7 (см. также теорему 1.7∗ ),являются достижимыми.451.4 Дискретные аналоги теорем абелеваи тауберова типовНачнем с монотонного случая, т. е. с дискретного аналога теоремы E (см.,например, [103]).Теорема F. Пусть xn и yn — вещественные последовательности, приxn+1 − xnвозрастачем yn строго возрастает. Если последовательностьyn+1 − ynxnет (убывает) то и последовательностьтакже возрастает (убывает).ynУтверждение можно дополнить равенством пределов указанных отношений, если обе последовательности xn и yn являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими.Дискретным аналогом теоремы Бернулли–Лопиталя является теоремаШтольца [142].
Приведем ее в общей форме — с верхними и нижними пределами вместо обычных (см., например, [19]).Теорема Штольца. Пусть xn и yn — вещественные последовательности, причем yn строго монотонна. Если обе последовательности являютсябесконечно малыми или yn — бесконечно большая, а xn — произвольная, товыполняются неравенстваxn+1 − xnxn6 lim,n→∞ yn+1 − ynn→∞ ynlimxnxn+1 − xn6 lim.n→∞ ynn→∞ yn+1 − ynlim(1.57)Исследование случаев равенства в оценках (1.57) и получение неравенствпротивоположного смысла требует дополнительных (тауберовых) условий нарассматриваемые последовательности.Теорема 1.12. Пусть xn и yn — вещественные последовательности,причем yn строго монотонна и неограничена. Тогда справедливы следующиеутверждения.xnвозрастает, тоЕсли последовательностьynxn+1 − xnxn= lim.n→∞ ynn→∞ yn+1 − ynlimЕсли последовательность(1.58)xnубывает, тоynxn+1 − xnxn= lim.n→∞ yn+1 − ynn→∞ ynlim46(1.59)Доказательство.
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Имеем для n ∈ Nxn+1 xn(xn+1 − xn )yn − xn (yn+1 − yn ) yn+1 − yn xn+1 − xn xn− ==−> 0.yn+1 ynyn+1ynyn+1yn+1 − ynynСледовательно, начиная с некоторого номера, выполняется условиеxnxn+1 − xn> ,yn+1 − ynynn > n0 .Переход здесь к нижним пределам приводит к неравенствуxn+1 − xnxn> lim.n→∞ yn+1 − ynn→∞ ynlimСопоставление с первым неравенством (1.57) доказывает равенство (1.58).Замечание 1.6. Утверждение теоремы 1.12 останется в силе и для бесконечно малых строго монотонных последовательностей yn , если при сохранении остальных предположений этой теоремы равенства (1.58), (1.59)поменять местами.Замечание 1.7. Привлекая теорему F, можно получить обращение классической теоремы Штольца, содержащей равенства пределов рассматриваемых отношений, а не верхних и нижних пределов.
Опускаем формулировкуввиду её очевидности.В дальнейшем будем предполагать, что эталонные последовательности yn ,с ростом которых сравнивают поведение исследуемых последовательностей xn ,являются положительными бесконечно большими.Обращение теоремы Штольца справедливо для быстрорастущих последовательностей. Так будем называть, следуя [3], последовательности yn , которые удовлетворяют условиюyn+1→ +∞,n → ∞.ynТеорема 1.13. Пусть xn и yn — положительные последовательности,причем yn быстрорастущая. Тогда имеет место равенствоxnxn+1 − xn= lim,n→∞ ynn→∞ yn+1 − yn(1.60)xnxn+1 − xn= lim.n→∞ ynn→∞ yn+1 − yn(1.61)limxn< +∞ , то также выполняется равенствоn→∞ ynа если limlim47xnxn, m = lim. Если M = +∞,n→∞ ynn→∞ ynто равенство (1.60) выполняется в силу теоремы Штольца.
Пусть теперьxnM < +∞ . Положим qn :=. Очевидно, что M = lim qn , m = lim qn .n→∞ynn→∞Далее запишемДоказательство. Обозначим M = limxn+1 − xn = qn+1yn+1 − qn yn = qn+1(yn+1 − yn ) + yn (qn+1 − qn ).Отсюда получаем представлениеxn+1 − xnyn qn+1 − qn= qn+1 +=: qn+1 + rn .yn+1 − ynyn+1 1 − yn /yn+1(1.62)Из условий теоремы выводим, что для фиксированного ε > 0 и достаточyn 2(M + ε)но больших n выполняется условие |rn | 6→ 0, n → ∞.yn+1 1 − εСледовательно, (1.62) можно записать в видеxn+1 − xn= qn+1 + o(1),yn+1 − ynn → ∞.Переход к верхнему и нижнему пределам в этой формуле доказывает равенства (1.60), (1.61).
Теорема доказана.Добавим здесь же, что подобное обращение теоремы Штольца для более медленно возрастающих выпуклых последовательностей доказано нижев теореме 1.16. Равенство (1.60) другим методом установлено в работе [3], вкоторой получен и следующий результат (сформулируем его в удобном длянас эквивалентном виде).Предложение 1.5. Пусть положительная последовательность yn имеет лакуны Адамара, т. е.yn+1> 1.n→∞ ynp = py := limТогда для любой положительной последовательности xn выполняется неравенствоpxn+1 − xnxn6.limlimn→∞ yn+1 − ynp − 1 n→∞ ynНа классе выпуклых последовательностей приведенная оценка допускаетследующее уточнение (см.
[3, предложения 5 и 6]).48Предложение 1.6. Пусть положительная последовательность yn возрастает и n = o(yn ) при n → ∞. Тогда для любой выпуклой положительной последовательности xn выполняется неравенствоxn+1 − xnxn6 by lim,n→∞ yn+1 − ynn→∞ yn(1.63)limгдеym1inf.n→∞ yn+1 − yn m>n m − n(1.64)by := limНапомним, что последовательность xn называется выпуклой, если последовательность xn+1 − xn возрастает, или, что равносильно, если последоваxm − xnтельностьвозрастает по каждому из индексов m, n, m 6= n, приm−nфиксированном другом.Выпуклые последовательности играют важную роль при изучении квазианалитических классов функций, в вопросах теории Данжуа–Карлеманабесконечно-дифференцируемых функций [67], в теории Румье–Коматсу ультрараспределений (см. [2], [140], [125]) и др.Учет не только верхних, но и нижних границ относительного роста последовательностей позволяет усилить приведенные результаты.
Проделаемэто не только для возрастающих (бесконечно больших), но и для убывающих(бесконечно малых) выпуклых последовательностей. Предварительно установим „базовые“ утверждения равномерного характера, представляющие исамостоятельный интерес. Полагаем, как обычно, a+ = max{a, 0}.Теорема 1.14. Пусть последовательность xn выпукла, а последовательность yn положительна и строго возрастает.
Пусть, далее, с неотрицательными константами m, M, m 6 M, выполнено условиеm 6xn6 M,yn(1.65)n ∈ N.Тогда справедлива двусторонняя оценкаM s+1 (θ) 6где θ =xn+1 − xn6 M s2 (θ),yn+1 − ynn ∈ N,(1.66)m, а величины s1 (θ), s2 (θ) определяются формуламиMs1 (θ) = infn>2yk − θyn1sup,yn − yn−1 k<n k − ns2(θ) = supyk − θyn1inf.yn+1 − yn k>n k − nn>149(1.67)Доказательство. Используя выпуклость последовательности xn и оценки (1.65), можем для произвольных n, k ∈ N, k > n, записатьxn+1 − xn 6откудаxk − xnM yk − m ynyk − θyn6=M,k−nk−nk−nyk − θyn,n ∈ N.k>n k − nРазделив обе части на yn+1 − yn > 0 , для всех n ∈ N получаемxn+1 − xn 6 M inf(1.68)xn+1 − xnyk − θyn16 Minf6 M s2 (θ).yn+1 − ynyn+1 − yn k>n k − nЭтим оценка сверху в (1.66) доказана.Доказательство оценки снизу в (1.66) проведем аналогично. Для произвольных n, k ∈ N, n > 2, k < n, имеемxn − xn−1 >Отсюдаxk − xnM yk − m ynyk − θyn>=M.k−nk−nk−nyk − θyn,k−nk<nДеление обеих частей на yn − yn−1 > 0 даетxn − xn−1 > M supn ∈ N,n > 2.1yk − θynxn − xn−1> Msup> M s1 (θ),yn − yn−1yn − yn−1 k<n k − nn > 2,что влечет оценку снизу в (1.66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
