Диссертация (1154389), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Нижняя дискретная усредненная плотность ∆ и нижeняя усредненная плотность ∆∗ произвольной бесконечно большой последовательности Λ ⊂ C совпадают:∗∆=∆ .e69Доказательство. Очевидно, чтоN (|λn |)N (x)= ∆∗ .∆ = limρ > limρx→+∞ xe n→∞ |λn |Чтобы получить неравенство противоположного смысла, рассмотрим функN (x)цию Φ(x) =, для изучения которой при k ∈ N положимxρΦk (t) =N (|λnk |) + nk ln t,tρt > 0.Поскольку на промежутках Ik = [|λnk |, |λnk +1|) имеем nΛ (t) ≡ nk , тоN (|λnk |) + nk ln |λxn |1xk=Φk,x ∈ Ik .Φ(x) =xρ|λnk |ρ|λnk |Согласно пункту III леммы 1.1 функция Φ(x) либо монотонна на Ik , либоимеет на этом промежутке единственный максимум. В любом случае имеемk ∈ N.inf {Φ(x)} = min Φ(|λnk |), Φ(|λnk+1 |) ,x∈IkПоэтому∆∗ = lim inf Φ(x) = lim min Φ(|λnk |), Φ(|λnk+1 |) >k→∞ x∈Ikk→∞> lim inf Φ(|λm|) = lim Φ(|λm |) = ∆, т. е. ∆∗ > ∆ .m→∞k→∞ m>kee∗Сопоставляя с предыдущим, получаем ∆ = ∆ , что и требовалось.eТеорема 1.20.
Для произвольной бесконечно большой последовательно∗∗сти Λ ⊂ C с усредненной верхней ρ -плотностью ∆ρ (Λ) = ∆ ∈ (0, +∞)выполняются неравенства()eρ∆∆∗exp−1 ,(1.105)∆ 6ρ∆)(e∆ρ∆∗∆ 6−1 .(1.106)expρ∆Доказательство. Из определений усредненной дискретной верхней плотности, верхней и нижней плотности последовательности получаем, что для любого ε > 0 и достаточно больших k выполняются неравенстваN (|λnk |)e< (1 + ε)∆,|λnk |ρ70nk< (1 + ε)∆,|λnk |ρ∆nk>.|λnk+1 |ρ(1 + ε)Сохраняя обозначения теоремы 1.19 и применяя утверждение части III леммы 1.1, для x ∈ Ik имеемΦ(x) =N (|λnk |) + nk ln |λxnkxρ|<()e + ∆ ln x∆eρ∆∆|λn |ρ k 6 (1 + ε) exp−1 ,< (1 + ε)xρ∆|λnk |и такжеΦ(x) =e+(1 + ε) ∆<∆1+εx|λnk+1 |N (|λnk+1 |) + nk ln |λnxk+1xρln |λnxρk+1|6 (1 + ε)∗k→∞ x∈Ik∗∆ = lim sup Φ(x) 6 (1 + ε)k→∞ x∈Ik<∆exp {dε − 1} .ρeρ∆. Отсюда получаемЗдесь dε =∆(1 + ε)2∆ = lim sup Φ(x) 6 (1 + ε)|∆expρ()eρ∆−1 ,∆∆∆6 (1 + ε) exp {dε − 1} ,ρρчто при ε → 0 приводит к (1.105) и (1.106).eОтметим тот факт, что в силу ρ ∆/ ∆ − 1 6 0 неравенство (1.105)∗местоуточняет классическое соотношение ∆ 6 ∆/ρ .
Если жездесь имеет∗e ∆ − 1 > 0,знак равенства, т. е. ∆ = ∆/ρ, то из (1.105) вытекает ρ ∆/∗e > ∆/ρ, и ∆ ∗ = ∆.e Таким образом, если ∆ ∗ принимает своеоткуда ∆ > ∆наибольшее возможное значение, равное ∆/ρ, то это значение достигаетсяна некоторой части последовательности Λ (в общем случае не на всей).Заметим, что формулировке теоремы 1.20 можно придать более компактный вид ∆∆∗∆ 6 min h,h,ρρ71)e∆−1 .где h(x) = x expxВ формулировке следующего результата используем стандартное обозначение a+ = max {a, 0} .(Теорема 1.21. Для произвольной бесконечно большой последовательно∗∗сти Λ ⊂ C с усредненной верхней ρ -плотностью ∆ρ (Λ) = ∆ ∈ (0, +∞)выполняются неравенства∗ee∆ 6∆ee∆ 6∆∗ρ ν−1ρν(1.107),ρ ν−1(1.108),ρνlρ∗e∆ 6∆,ln lρ + 1l−ρ∗e∆ 6∆.(ln l−ρ + 1)+(1.109)(1.110)Доказательство.
Отметим сразу, что неравенство (1.109) уточняет неравенство (1.90) в случае l > 1. Теперь приступим непосредственно к доказательству.e = ∆ ∗, то неравенства (1.107)–(1.110) выполняются очевиднымЕсли ∆e в правых частяхобразом, поскольку каждый из сомножителей величины ∆этих неравенств не меньше единицы.e < ∆ ∗ . Выберем положительное число ε < ∆ ∗ − ∆e иПусть теперь ∆используя определение верхней усредненной плотности, найдем последовательности индексов K и точек xk так, чтобы выполнялись соотношения:∗∆ = lim sup Φ(x) = lim sup Φ(x),k→∞ x∈Ikk∈K x∈Ike + ε,Φ(xk ) = sup Φ(x) > ∆x∈Ikk ∈ K.При достаточно больших номерах k функция Φ(x) принимает на концахпромежутков Ik значенияe + ε < Φ(xk ).Φ(|λnk |) < ∆Поэтому (отбрасывая при необходимости конечное число индексов из K ) можем считать, что для каждого k ∈ K точка xk лежит строго внутри Ik ,т.
е.|λnk | < xk < |λnk+1 |,k ∈ K.72|λnk+1 |N (|λnk |)и νk =. Применяя пункт III леммы 1.1|λnk |nkк функции Φk (t) , с учетом равенства1xΦ(x) =Φk,x ∈ Ik ,|λnk |ρ|λnk |получаем1xk(1.111)1<= e ρ −νk < ck ,|λnk |Обозначим ck =N (|λnk |) e ρ νk −1e ρ νk −1nkρ νk −1e== Φ(|λnk |).Φ(xk ) =|λnk |ρ|λnk |ρρ νkρ νkЛогарифмирование (1.111) приводит к неравенству1 − ln cρk < ρ νk < 1.(1.112)(1.113)Теперь после проведенной подготовительной работы оценка (1.107) легкодоказывается предельным переходом в равенстве (1.112). Именно,e ρ νk −1e ρ νk −1e ρ ν−1∗e∆ = lim Φ(xk ) = lim Φ(|λnk |).6 lim Φ(|λnk |) lim6∆k∈Kk∈Kk→∞k→∞ ρ νkρ νkρνex−1Здесь мы учли, что функция q2(x) =убывает на интервале (0, 1) ,xсогласно пункту II леммы 1.1.Неравенство (1.108) доказывается аналогичным образом.
ЗапишемN (|λnk+1 |) + nk ln |λnx |1xk+1Φ(x) ==Φk,x ∈ Ik .xρ|λnk+1 |ρ|λnk+1 |1N (|λnk+1 |)′1x, получим<= e ρ −νk < 1, или, послеnkck|λnk+1 |логарифмирования,1 < ρ νk′ < 1 + ln cρk .(1.114)Обозначив νk′ =Следующее соотношение выводится так же, как и формула (25), и на этотраз приобретает видΦ(xk ) =nk|λnk+1 |ρ′ρ νk′ −1e′N (|λnk+1 |) eρ νk −1eρ νk −1= Φ(|λnk+1 |).=|λnk+1 |ρ ρ νk′ρ νk′(1.115)Снова используя пункт II леммы 1.1 (но теперь на промежутке (1, +∞) ,где функция ex−1 /x возрастает), предельным переходом из (1.112) получаемнеравенство (1.108):′e ρ νk −1e ρ ν−1e.∆ = lim Φ(xk ) 6 lim Φ(|λnk+1 |) lim6∆k∈Kk→∞k→∞ ρ νk′ρν∗73Для доказательства неравенства (1.109) воспользуемся определением индексалакунарности, согласно которому при любом ε > 0 и всех k > k0(ε) выполняется ck < l + ε .
Это позволяет для достаточно больших k ∈ K сначалаиз (1.113) вывести, что 1 < ρ νk′ < 1 + ln(l + ǫ)ρ, а затем из (1.115) и пункта IIлеммы 1.1 получитьρρeln(l+ε)e + ε) (l + ε)Φ(xk ) < Φ(|λnk+1 |)< (∆.ln(l + ε) + 1ln(l + ε) + 1Последовательный переход к пределу при k → ∞, k ∈ K, и ε → 0 приводитк нужной оценке (1.109) .Неравенство (1.110) доказывается с использованием аналогичных соображений.
Действительно, из (1.113) следуют неравенства1 − ln(l + ǫ)ρ < 1 − ln ck < ρ νk < 1,ρ νk > 0,откуда ρ νk > (1 + ln(l + ǫ)−ρ )+ . Дальнейшее ясно. Доказательство теоремы 1.21 завершено.Следующий доказываемый ниже результат можно извлечь из нашей монографии [19].Теорема 1.22. Пусть Λ — бесконечно большая последовательностькомплексных чисел с ρ -плотностями ∆ρ (Λ) = ∆ ∈ (0, +∞), ∆ρ (Λ) = ∆,∗∗e ρ (Λ) = ∆.e Тогда выполняются неравенства∆ρ (Λ) = ∆ , ∆ρ∗(Λ) = ∆ ∗, ∆∗∗∗ρ a1 ∆ 6 ∆ 6 ρ ea1 ∆ ,Здесь a1 , a2 — корни уравненияa ln∗ρea2 ∆ 6 ∆ 6 ρ a2 ∆ .e∗= ∆∗ / ∆ ,a(1.116)(1.117)а ea1 , ea2 — корни подобного же уравнения с „подправленной“ правой частью:a lnee ∆∗ .= ∆/a(1.118)Корни уравнений связаны неравенствами 0 6 a1 6 ea1 6 1 6 ea2 6 a2 6 e.Если Λ — дискретно измеримая последовательность, то верны равенства∗∗∆ = ρ a2 ∆ .(1.119)∆ = ρ a1 ∆ ,74Доказательство.
Обозначим N1(x) = N (ex ) и n1 (x) = n(ex ) . Тогда будутвыполняться равенстваn1 (x),x→+∞ eρxn1 (x),ρxx→+∞ e∆ = lim∆ = limN1 (x)N1(x)∗=lim,∆.ρxx→+∞ eρxx→+∞ eК выпуклым функциям f (x) = N1(x) = N (ex ) и g(x) = eρx применимeтеорему 1.7. Учитывая, что ϕg (a) = a ln , получаем согласно этой теоремеaкрайние неравенства в (1.116):∗∆ = lim∗∗ρ a1 ∆ 6 ∆,∆ 6 ρ a2 ∆ .Теперь воспользуемся неравенствами теоремы 1.20. Так, неравенство (1.105)перепишем в видеρ 1−(ρ∆e )/ ∆1e6 ∗,∆∆илиe 1− ρ∆e / ∆eρ∆e∆e )/ ∆1−(ρ∆()e=eln6 ∗.e∆∆e1−(ρ∆)/ ∆eeПоскольку e1−(ρ∆)/ ∆ > 1 , а функция ϕ(a) = a ln убывает на отрезке [1, e] ,ae )/ ∆1−(ρ∆>ea2 . Логарифмируя, последовательно получаемто e1−eρ∆> ln ea2 ,∆lneρ∆e>,ea2∆ae2 ∆eρ∆e>,ea2∆∆ > ae2 ρ∆ .eeρ∆,6ea1∆ee∆eρ∆,=ln6ae1 ∆ ∗ea1∆∆ 6 ae1 ρ∆ .e∆∗= lnАналогично преобразуем и неравенство (1.106):∗ee 1− ρ∆e / ∆e∆ρ∆ee ( ) = e1−(ρ∆)/ ∆ ln6∗.e )/ ∆1−(ρ∆∆∆eeeНо теперь e1−(ρ∆)/ ∆ 6 1 , и функция ϕ(a) = a ln (ϕ(0) = 0) возрастает наae )/ ∆1−(ρ∆отрезке [0, 1] , поэтому e6ea1 .
Отсюда, как и выше, последовательно получаем1ρ 1−(ρ∆e )/ ∆e6 ∗,∆∆1−eρ∆6 ln ea1 ,∆ln∗Оба центральных неравенства в (1.116) проверены. Утверждение о корняхeуравнений вытекает из того, что функция ϕ(a) = a ln (ϕ(0) = 0) возрасaтает на [0, 1] и убывает на [1, e]. Последнее утверждение теоремы следуетиз (1.116), поскольку для дискретно измеримых последовательностей выполe = ∆∗ . Теорема полностью доказана.няется условие ∆75Дополним теперь неравенство (1.107) оценкой снизу через нижние усредненную и относительную плотности.Предложение 1.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
