Диссертация (1154389), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

∆ = ∆ = ∆ . Из нера∆∗венств (1.87) следует, что ∆∗ = ∆ = . Дискретная измеримость последоρвательности Λ следует теперь прямо из определения. Слабая лакунарность Λвытекает из неравенства (1.89) предложения 1.12, а внутренняя измеримость— из существования пределаN (x)/xρ ∆/ρ 1N (x)== lim= .ν = limx→+∞ n(x)/xρx→+∞ n(x)∆ρВсе доказано.811.6 Влияние индекса лакунарности на характеристикироста функций1.6.1 Н-калибр последовательности и множестваВведем понятие, тесно связанное с асимптотическими характеристикамироста функций и последовательностей, а также множеств, на которых этихарактеристики достигаются.Пусть ϕ(x) и H(x) — некоторые возрастающие функции, заданные напромежутке (a, b), b 6 +∞.

Будем писать ϕ(x) ∈ {H(x); T } , еслиϕ(x)= T . Если же вместе с этим условием дополнительно выполняетсяlimx→b H(x)ϕ(x)условие lim= t , то пишем, что ϕ(x) ∈ {H(x); (t, T )} .x→b H(x)Придерживаясь названия определяющего пути для асимптотического значения аналитической функции как пути, на котором это значение достигается(см.

[144, p. 125]), мы даем следующее определение.Множество, на котором достигается верхний или нижний предел в задании характеристики роста функции, назовем определяющим множествомдля рассматриваемой характеристики. Например, под определяющим множеством для нижнего предела t понимаем всякое множество F , для которогоlimx→bϕ(x)ϕ(x)= lim= t,H(x) F ∋x→b H(x)а определяющим множеством для верхнего предела T — всякое множество E ,для которогоϕ(x)ϕ(x)= lim= T.(1.127)limE∋x→b H(x)x→b H(x)В важном случае, когда ϕ(x) = ln max |f (z)| и H(x) = | ln(1 − x)|, где|z|=xфункция f (z) является аналитической в единичном круге ( b = 1 ), понятиеопределяющего множества для верхнего предела T было введено в работе [121].

Отметим в этой связи еще работу [122], в которой для целой функции f (z) ( b = +∞ ), ϕ(x) = ln max |f (z)| и H(x) = xρ , дискретное множе|z|=xство E = [zn ∈ C, |zn | ր +∞} , удовлетворяющее равенству (1.127), названоэффективным для функции f (z) . Позже понятие эффективного или определяющего множества E стало использоваться в более широком контексте,когда равенство (1.127) имеет место для некоторого класса функций, а недля одной конкретной функции. В комплексном анализе широко применяются и другие родственные понятия (интерполяционные, достаточные, слабо82достаточные множества и др.).

Подробную информацию по этому и близкимвопросам см., например, в [59], [1], [99].Всюду в дальнейшем считаем, что все функции, сравнительный рост которых исследуется, положительны на рассматриваемых промежутках. Начнемс простого утверждения, которое подводит к определению характеристики„массивности“ множества, определяющего рост функции. Такая характеристика тесно связана с понятием индекса лакунарности последовательности,рассмотренным в § 1.5.

Напомним определения из этого параграфа.Для произвольной возрастающей последовательности rm ∈ R+ индекслакунарности l(rm) и индекс разреженности p(rm) определяются равенствами, соответственно,rm+1,n→∞ rmrm+1.n→∞ rml(rm) = limp(rm) = limОчевидно, всегда l(rm) > p(rm) > 1 . Если l(rm) = 1 , то последовательность rm называется слабо лакунарной.Понятия индексов лакунарности и разреженности (без их точного определения) последовательности точек скачков и значений центрального индексаряда Тейлора целой или аналитической в круге функции для оценок верхнихи нижних характеристик ее роста использовались уже давно.

Укажем, например, работы [116], [117], [102], [144], [130]. Эти же понятия играют ключевуюроль в установлении соотношений между сильной лакунарной сходимостьюи сильной Чезаро-суммируемостью [114], [115].Пусть E — произвольное неограниченное множество в R+ . Индексом лакунарности множества E назовем числоl(E) = inf { l(rm) : rm ∈ E, rm ր +∞ }.Легко видеть, что если E — открытое множество, E =∞S(an , bn ) , тоn=1an+1,n→∞ bnl(E) = limbn.n→∞ anаl(R+ \ E) = limНеограниченное множество E (как и последовательность rk ) назовем слаболакунарным, если его индекс лакунарности l(E) = 1 .Предложение 1.23.

Пусть ϕ(x) и H(x) — возрастающие на (a, b),b 6 +∞ , функции, ϕ(x) ∈ {H(x); (t, T )} иT = limx→bϕ(xk )ϕ(x)= lim.k→∞ H(xk )H(x)83Тогда выполняется неравенствоl := limk→∞H(xk+1)T> .H(xk )t(1.128)Доказательство. Если l = +∞ , то доказывать нечего. Если же l < +∞ , тодля произвольного ε > 0 , всех x ∈ [xk , xk+1] и достаточно больших k имеемϕ(x) > ϕ(xk ) > (T − ε) H(xk ) > (T − ε) H(xk )илиH(x),H(xk+1)ϕ(x)H(xk )T −ε> (T − ε)>.H(x)H(xk+1)l+εT −εϕ(x)ϕ(x)= lim>. Нужное утверждеinfl+εx→b H(x)k→+∞ x∈[xk ,xk+1 ] H(x)ние получим, устремив ε к нулю.Но тогда t = limПерепишем неравенство (1.128) в форме t > Tl .

Отсюда видим, что „частота“ расположения точек rk = H(xk ) на оси, характеризуемая величинойrk+1l = l(rk ) = lim, задает границы нижнего роста функции ϕ(x) относиk→∞ rkтельно H(x) . В частности, если l = 1 , то t = T и ϕ(x) ∼ T H(x) .x→bЗамечание 1.8. Аналогично доказывается неравенство t >l1 =l(rk′ )′rk+1= lim,k→∞ rk′rk′=H(x′k )T, гдеl1ϕ(x)ϕ(x′k )= lim.и t = limk→∞ H(x′k )x→∞ H(x)При наличии дополнительных условий типа выпуклости можно точнее,чем в (1.128), описать связь между верхними и нижними характеристиками роста функции и индексами лакунарности определяющих множеств, накоторых эти характеристики достигаются. Приведем для этого необходимыеопределения.Пусть ψ — выпуклая функция. Для отрезка [a, b] величина(1 − λ) ψ(a) + λψ(b)Jψ (a; b) := supψ((1 − λ)a + λb)λ∈[0,1]называется ψ -калибром ( ψ -измерителем) этого отрезка (см.

[123]). Отметим, что в данном определении берется верхняя грань отношений ординатхорды, стягивающей точки (a, ψ(a)) и (b, ψ(b)) графика функции ψ(x), к ординатам самой функции в соответствующих точках. Поэтому Jψ (a; b) > 1 .84Укажем также, что характеристика, связанная с разностью ординат хордыи графика функции, рассматривалась при изучении весовых преобразованийФурье–Лапласа в работе [69].Введем и будем применять следующие понятия.Пусть H(x) — выпуклая на (a, b), b 6 +∞ , функция, а xk — возрастающая последовательность точек, взятых на промежутке (a, b) . НазовемH-калибром последовательности xk (относительно H(x) ) величину(1 − λ) H(xk ) + λH(xk+1)JH (xk ) := JH (xk ; xk+1) := lim sup,k→∞ λ∈[0,1]H((1 − λ) xk + λxk+1)а H-калибром множества E ⊂ (a, b), такого что sup E = b, — величинуJH (E) = inf{JH (xk ) : xk ∈ E, xk ր b}.Очевидно, что JH (xk ) > 1 и JH (E) > 1 .

Справедлив следующий результат,указывающий на влияние калибра определяющего множества для нижнейхарактеристики сравнительного роста выпуклых функций на величину ееверхней характеристики.Теорема 1.23. Пусть ϕ(x) и H(x) — выпуклые функции на интервале(a, b), b 6 +∞ .

Если ϕ ∈ {H(x); (t, T )} , и E — определяющее множестводля t , то выполняется неравенствоT 6 t JH (E).(1.129)Доказательство. Теорема содержательна, когда правая часть (1.129) конечна, т. е. t JH (E) < +∞ . Пусть ε > 0 и возрастающая последовательностьxk ∈ E такова, что JH (xk ) < JH (E) + ε . В силу выпуклости функции ϕ(x)для любых λ ∈ [0, 1] , достаточно больших k и x = (1 − λ) xk + λxk+1 имеемϕ(x) = ϕ((1 − λ) xk + λxk+1) 66 (1 − λ) ϕ(xk ) + λϕ(xk+1) < (t + ε)[(1 − λ) H(xk ) + λ H(xk+1)].Но тогда для x ∈ [xk , xk+1] при достаточно больших k получим[(1 − λ) H(xk ) + λ H(xk+1)]ϕ(x)< (t+ε)6 (t+ε) JH (xk ) < (t+ε)(JH (E)+ε).H(x)H((1 − λ) xk + λxk+1)Таким образом, для всех достаточно больших x выполняется неравенствоϕ(x)< (t + ε)(JH (E) + ε).H(x)Переход здесь к верхнему пределу при x → b − 0 приводит к неравенствуT 6 (t+ε)(JH (E)+ε) .

Устремляя затем ε к нулю, завершаем доказательство.85Выразим H-калибр возрастающей последовательности через индекс лакунарности этой последовательности в случаях, важных в теории целых, мероморфных или субгармонических функций. Подобные характеристики применялись, например, в работах [132], [137] при исследовании роста аналитических характеристических функций вероятностных законов на последовательностях.Функцию H(x) отнесем к классу Eρ , где ρ ∈ (0, +∞), если она дифференцируема на некотором луче (a, +∞) и удовлетворяет условиюxH ′(x)lim= ρ.x→+∞ H(x)(1.130)Мы будем использовать следующее свойство функций из этого класса:если при всех x ∈ (a, +∞) выполняется 0 < m 6 c(x) 6 M < +∞, тоH(c(x)x) ∼ cρ (x)H(x),(1.131)x → +∞.Теорема 1.24.

Пусть H(x) ∈ Eρ , ρ > 1 , а возрастающая положительная последовательность xk имеет индекс лакунарности l(xk ) = l < +∞.Тогда H-калибр этой последовательности вычисляется согласно формулеdρ(ρ − 1)ρ−1,JH (xk ) =ρρ(d − 1)ρ−1где(1.132) ρ l − 1 , если l > 1,d= l−1ρ,если l = 1.xm+1xmи β =. Для достаточно больxmx11ших m выполняются неравенства cm < l + ε и<6 β 6 1. Испольl + ε cmзуя свойство (1.131), для таких m и всех x ∈ [xm, xm+1] можем записатьДоказательство. Обозначим cm =H(xm+1) = H(cm xm) = (1 + o(1)) cρm H(xm ),H(xm) = H(βx) = (1 + o(1)) β ρ H(x),m → ∞,m → ∞.С помощью этих асимптотических равенств оценим функцию H1(x) , которая задает уравнение хорды графика функции H(x) , соединяющей точки(xm, H(xm)) и (xm+1, H(xm+1)) . Имеем86H(xm+1) − H(xm )H1 (x) := H(xm) +(x − xm ) =xm+1 − xm(1 + o(1)) cρm − 1 1−1== (1 + o(1)) H(xm) 1 +cm − 1β cρm − 1 1ρ= (1 + o(1)) H(x)β 1+−1+ o(1) , m → ∞.cm − 1 βТаким образом, при x ∈ [xm, xm+1] и m → ∞ выполняется равенство ρH1(x)c−11= (1 + o(1))βρ 1 + m−1+ o(1) .(1.133)H(x)cm − 1 β(ρ − 1)ρ−1Обозначив λ =,ρρl1 = l + ε, отсюда получаемH1 (x)6 (1 + o(1)) λH(x)l1ρ − 1l1ρ − l1ρ l1ρ − l1l1 − 1.Эта оценка вытекает из следующих элементарных соображений:a) максимум по β выражения β ρ (1 + c (1/β − 1)) достигается в точкеc ρ−1β=, причемc−1 ρ ρρ1cc−1−1=λc= m;max β ρ 1 + cρ−1β(c − 1)cm − 1β∈(0,1]1xρвозрастаетприx>ρотдо +∞ ;b) функция(x − 1)ρ−1λyρ − 1c) функция x =возрастает при y > 1 от ρ до +∞ .y−1Из (1.133) теперь получаемJH (xk ) = limm→+∞H1 (x)=x∈[xm , xm+1 ] H(x)sup ρc−1dρ1mρsup (1 + o(1)) β 1 += lim,−1=λρ−1m→+∞ x∈[x , xc−1β(d−1)m]mm+1что совпадает с (1.132).

Теорема доказана.Из теорем 1.23 и 1.24 в качестве следствия немедленно получаем такоеутверждение.87Теорема 1.25. Пусть H(x) ∈ Eρ , ρ > 1 , ϕ(x) — выпуклая на R+ функция и ϕ(x) ∈ {H(x); (t, T )} . Если E — определяющее множество для t ииндекс лакунарности l(E) = l < +∞ , то выполняется неравенствоT 6tгде(ρ − 1)ρ−1dρ,ρρ(d − 1)ρ−1(1.134) ρ l − 1 , если l > 1,d= l−1ρ,если l = 1.Оценка достигается на функции ϕ(x) = H1 (x) из теоремы 1.24.Доказательство. Зафиксируем произвольно число ε > 0. Выберем последовательность xm так, что l1 = l(xm) < l(E) + ε.

По условию теоремыимеем ϕ(xm) = (1 + o(1)) t H(xm) . Используя выпуклость функции ϕ(x) ,для x ∈ [xm, xm+1] получаемϕ(xm+1) − ϕ(xm)ϕ(x) 6 ϕ(xm) +(x − xm) =xm+1 − xmH(xm+1) − H(xm )(x − xm ) .= (1 + o(1)) t H(xm ) +xm+1 − xmПоделив на H(x) и взяв верхний предел по m → ∞, находимT = limm→∞H(xm ) +ϕ(x)6H(x)x∈[xm , xm+1 ]supH(xm+1 )−H(xm )xm+1 −xm(x − xm)= t JH (xm).H(x)Осталось воспользоваться формулой (1.132) из теоремы 1.24.6 lim tm→∞Имея в виду приложения к теории аналитических функций, установимследующий результат.Теорема 1.26.

Характеристики

Список файлов диссертации