Диссертация (1154389), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Такие классы называются плотнымиклассами функций сравнения роста во множестве всех целых функций A∞ .Аналогично определяются и плотные классы функций сравнения роста длязаданных подмножеств целых функций.В статье [111, теорема 1] Дж. П. Эрл и В. К. Хейман доказали, чтово множестве целых функций бесконечного порядка плотным классом функций сравнения роста является класс функций, удовлетворяющих условию′′h(x)h (x)lim= 1.x→+∞ [h′ (x)]2Недавно С. Симич [87, теорема 1] показал, что этому условию удовлетворяют все трансцендентные целые функции конечного порядка с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами.В цикле работ (см.
[70]–[72]) В. А. Осколков установил такой результат.Классы Hγ , состоящие из возрастающих на R+ , дважды непрерывно диф′′ференцируемых функций h(x) с h (x) > 0 , удовлетворяющих условию′′h(x)h (x)lim6 γx→+∞ [h′ (x)]2(2.5)с константой γ > 1 , являются плотными классами функций сравненияроста во множестве всех целых функций A∞ , а классы Hγ с константойγ < 1 , таковыми не являются.100Узкие плотные классы функций сравнения роста, состоящие из целыхфункций сравнения (см. [52]), коэффициенты которых обладают тем свойством, что их обратные величины являются моментами положительной меры,аналитической на (0, +∞), нашел А.
Ю. Попов [76].Проблему Адамара (или, возможно точнее, Бореля–Адамара) на современном математическом языке можно сформулировать как проблему нахождения таких узких плотных классов функций, с помощью которых можноописывать как рост всех целых функций (или специальных подмножеств целых функций), так и скорость стремления к нулю их тейлоровских коэффициентов.Как видим, решение задач, связанных с проблемой Адамара, возникшейболее ста лет назад, остается актуальным и в настоящее время.
Мы придаемей более широкий смысл. Именно, условие (2.2) дает точную асимптотическую оценку логарифма максимума модуля целой функции сверху. Но вомногих вопросах современного анализа важное значение приобрели и нижние оценки целых функций. Поэтому мы расширяем задачу Адамара, понимая под ее решением нахождение возможно более узких классов функций Hтаких, что для любой целой функции f (z) дополнительно к (2.2) найдетсяh1 (x) ∈ H с условиемσf := limr→+∞ln Mf (r)6= 0, ∞h1 (r)(2.6)и с возможностью вычисления и этой величины по коэффициентам рядаТейлора функции f (z) . Такие классы функций мы назовем классами функций двустороннего сравнения роста (верхнего и нижнего), или двустороннеплотными в указанном смысле во множестве всех целых функций A∞ .Более того, оценки относительного роста максимума модуля целой функции, определяемые формулами (2.2) и (2.6), можно уточнять и находить такие классы эталонных функций, в которых для любой целой функции f (z)нашлись бы функции h̄(x) и h̄1 (x) со следующими условиями:lim (ln Mf (r) − h̄(r)) = 0,(2.7)lim (ln Mf (r) − h̄1 (r)) = 0.(2.8)r→+∞r→+∞Таким образом, под обобщенной проблемой Адамара мы понимаемотыскание возможно более узких классов функций, в которых для любойцелой функции f (z) нашлись бы функции, дающие точные асимптотические оценки Mf (r) как снизу, так и сверху, и обеспечивающие описание101характеристик тейлоровских коэффициентов f (z) , удовлетворяющих таким оценкам.В силу известной теоремы Адамара для трансцендентной, т.
е. отличнойот многочлена, целой функции f (z) , функция ϕ(x) = ln Mf (ex ) являетсявыпуклой и удовлетворяет условиюlimx→+∞ϕ(x)= +∞.x(2.9)Поэтому проблема Адамара оказалась естественным образом связанной с регуляризацией и двусторонней аппроксимацией выпуклых функций и последовательностей, и для ее решения мы будем использовать следующие результаты (см. [16], [17], [18]).Обозначим через lnk = ln(lnk−1) k -тую итерацию логарифма, а через(k)Hγ — класс положительных, возрастающих, бесконечно дифференцируемых строго выпуклых на R+ функций, удовлетворяющих условиюΦ(x)Φ′′(x)lim lnk Φ(x) . . . ln Φ(x)− 1 − 1 . . .
− 1 6 γ. (2.10)x→+∞[Φ′(x)]2Теорема 2.1. Пусть k ∈ N . Для любой выпуклой на R+ функции ϕ(x) ,удовлетворяющей условию (2.9), существуют функции φ1 (x) и φ2 (x) из(k)класса H1 такие, что для всех x справедливоφ1 (x) 6 ϕ(x) 6 φ2 (x),причем для некоторых последовательностей xn → ∞ и x̄n → ∞ выполняется φ1 (x̄n) = ϕ(x̄n) + o(1) , n → ∞ и φ2 (xn) = ϕ(xn) + o(1) , n → ∞ .В то же время, для любого γ ∈ (0, 1) найдется выпуклая функция ϕ(x)(k)со свойством (2.9) такая, что для всех φ(x) ∈ Hγ будет выполнятьсяlimx→+∞(k)ϕ(x)= +∞.φ(x)(k)(k)(k )Очевидно, что Hγ1 ⊂ Hγ2 для γ1 < γ2 и Hγ ⊂ Hγ 1 для k > k1 . Уже(1)функции из Hγ , удовлетворяют более сильному, чем (2.5) условиюΦ(x)Φ′′(x)lim ln Φ(x)− 1 6 γ,γ > 0.(2.11)x→+∞[Φ′(x)]2Нам понадобится несколько предварительных результатов о функциях из(k)классов Hγ .102(k)2.1.1 Свойства функций из классов HγЗдесь мы рассмотрим некоторые асимптотические свойства функций из(k)классов Hγ , которые отличают их от произвольных выпуклых функций сосвойством (2.9) и которые будут полезны нам в дальнейшем.Предложение 2.1.
Пусть H(x) —произвольная выпуклая на R+ функция, удовлетворяющая условию (2.9). Тогда выполняется соотношениеxH(x) ∼ H x − ′,x → +∞.H (x)Доказательство. В самом деле, каждая выпуклая функция f (x) обладаетсвойством f (b) − f (a) 6 f ′ (b)(b − a), применяя которое к функции H(x),получаемxx= x.6 H ′ (x) ′H(x) − H x − ′H (x)H (x)Разделив обе части неравенства на H(x) , имеемxH x − H ′ (x)x6→ 0,061−H(x)H(x)x → +∞,согласно условию (2.9). В силу этого же условия выполняется равенствоlim H ′ (x) = +∞ , и поэтому каждая такая функция строго возрастает,x→+∞начиная с некоторого места.Определение 2.1.
Обозначим через Ȟ класс выпуклых дважды дифференцируемых на R+ функций H(x) , удовлетворяющих условию (2.9), а также требованиюH(x)H ′′(x)sup6 2,(2.12)[H ′ (x)]2x>x0где x0 = x0(H) > 0 .Функции из Ȟ обладают следующими отличительными свойствами.Предложение 2.2. Пусть H(x) ∈ Ȟ. Тогда функция1являетсяH(x)выпуклой для всех x > x0 при некотором x0 > 0, иxH ′(x)= 0.limx→+∞ H 2 (x)103(2.13)1следует из (2.12), посколькуH(x)′′1(H ′ (x))2H(x)H ′′(x)=2−> 0.H(x)H 3 (x)[H ′ (x)]2Доказательство. Выпуклость функции1и неограниченности H(x) :H(x)!11→ 0, x → +∞.x − H(x)H 2Условие (2.13) вытекает из выпуклостиH ′ (x) x=H 2(x) 21H(x)′ x· −62Заявленные свойства функций H(x) из Ȟ установлены.Важным для дальнейшего является и следующее утверждение (см.
[18]).Предложение 2.3. Функции H(x) из класса Ȟ удовлетворяют условию!1H(x) ∼ H x − p,x → +∞.(2.14)H ′ (x)pДоказательство. Обозначим c = cx = 1/ H ′ (x) . По формуле Тейлорас остаточным членом в форме Лагранжа имеем2 ′′c2 H ′ (θx )H ′ (x − c)H (θx)H(θx )c+−1 ,ln H(x) − ln H(x − c) =H(x − c)2 H(θx )[H ′(θx )]2где θx ∈ (x − c, x) . Первое слагаемое правой частиs′′H ′ (x − c)H (x − c)H (x − c)pp→ 0,6=H 2 (x − c)H(x − c) H ′ (x) H(x − c) H ′ (x − c)x → +∞,в силу (2.13). Во втором слагаемом выражение в круглых скобках не превосходит единицы в силу (2.12).
Оставшийся сомножитель имеет оценку2H ′ (θx ) H ′ (θx )1 H ′ (x)c2 H ′ (θx )=6→ 0,2 H(θx )2H ′ (x + 1) H 2 (θx )2 H 2 (x)x → +∞.Мы использовали возрастание производных функций H(x) и 1/H(x) ввидувыпуклостипоследних, а также то, что для достаточно больших x верноpc = 1/ H ′ (x) < 1 и θx > x − 1 → +∞ при x → +∞ .1042.1.2 О равенстве некоторых характеристик роста целыхфункцийОбозначим, как и ранее, тип и нижний тип целой функции f (z) относительно функции h(r) черезσf = limr→+∞ln Mf (r)h(r)иσf = limr→+∞ln Mf (r)h(r)соответственно. Имея в виду решение обобщенной проблемы Адамара, намнеобходимо вычислить эти характеристики по тейлоровским коэффициентам∞Pfnz n .
Однако с коэффициентами непосредственноцелой функции f (z) =n=0связан не максимум модуля целой функции, а максимальный член ее рядаТейлора µf (r) := max |fn | rn . Поэтому, определив величиныn∈N0σµf = limr→+∞ln µf (r)h(r)иσ µf = limr→+∞ln µf (r),h(r)имеет смысл найти условия, при соблюдении которых выполняются равенстваσ µf = σ f ,σ µf = σ f .Покажем, что для функций h(r) таких, что h(ex ) ∈ Ȟ (см. определение 2.1 ),эти равенства имеют место. Отметим, что в силу (2.9) выполняется условиеln r = o(h(r)), r → +∞ .Теорема 2.2. Пусть функция h(r) такова, что h(ex ) ∈ Ȟ.
Тогда справедливы равенстваln Mf (r)ln µf (r)= limиr→+∞r→+∞ h(r)h(r)limln Mf (r)ln µf (r)= lim. (2.15)h(r)r→+∞r→+∞ h(r)limДоказательство. Приведем известные неравенства, первое из которых — следствие неравенств Коши. Для k = k(r) < 1 имеемµf (kr) 6 Mf (kr) 6∞Xn=0т. е.nn|fn | r k 6 µf (r)∞Xn=0k n = µf (r)1,1−k1.1−kУчитывая, что ln x < x при x > 0 , отсюда получаемln Mf (kr)1ln µf (r)h(r)ln µf (kr)66+.h(kr)h(kr)h(r)(1 − k) h(r) h(kr)µf (kr) 6 Mf (kr) 6 µf (r)105(2.16)(2.17)Для проверки (2.15) достаточно установить, что при r → +∞ выполняютсяусловияh(rk(r)) ∼ h(r),(2.18)(1 − k(r)) h(r) → +∞ .(2.19)Полагая r = ex , k(r) = exp − √ 1′, с помощью предложения 2.3 поH (ln r)лучаем!1=h(r) = h(ex ) = H(x) ∼ H x − pH ′ (x)()!1= h exp x − p= h(ex k(ex )) = h(r k(r)),r → +∞,′H (x)и условие (2.18) выполнено.
Проверим выполнение (2.19). Запишем()!1(1 − k(r)) h(r) = (1 − k(ex )) h(ex ) = 1 − exp − pH(x) ∼H ′ (x)sH 2 (x)1∼ p→ +∞,x → +∞.H(x) =H ′ (x)H ′ (x)Оба условия (2.18) и (2.19) выполнены, так что утверждение теоремы справедливо.Замечание. В работе [15] показано, что утверждение теоремы 2.2 имеетместо, если ln h(r) выпукла вверх или вниз на R+ , а функция h(r) удовлетворяет условию (2.13). Позже еще более мягкие условия были найдены вработах П. Филевича [89] и [113].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
