Диссертация (1154389), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В то же время классы Uγ с γ ∈ (0, 1) при любом k ∈ N не будут(k)плотными в указанном смысле, т. е. дальнейшее сужение в рамках Uγ прилюбом k ∈ N уже невозможно.Теорема 2.10. Пусть k ∈ N . Для всякой целой трансцендентной функ∞∞PP(k)nAn z n ∈ U 1fn z найдутся функции сравнения A(z) =ции f (z) =n=0n=0и B(z) =∞Pn=0(k)Bn z n ∈ U1 , такие что σA (f ) = 1 и σ B (f ) > 1 , причемσA (f ) = limn→∞sn|fn |= limn→∞AnrnFnAnиσ B (f ) = limn→∞rnFn,Bnгде Fn — регуляризация Ньютона-Адамара |fn| .В то же время, для любого γ ∈ (0, 1) найдется такая целая функция(k)f (z) , что σ A (f ) = ∞ при всех A(z) ∈ Uγ .Возникает вопрос, насколько сильно может отличаться от единицы величина σ B (f ) нижнего B -типа целой функции f (z) в зависимости от свойствфункции сравнения B(z) .
Следующее утверждение дает такую оценку.Предложение 2.6. Пусть для трансцендентной целой функции f (z)выполняется левое условие из (2.28) т. е.ln µf (ex ) − Φ1(x) → 0,Пусть далее функция сравнения B(z) =x = x̄n → +∞.∞PBn z n имеет коэффициентыn=0−Φ̃1 (n)Bn = e. Если выполняется условиеΦ′1(x)lim> l > 0,xx→+∞то для нижнего В-типа функции f (z) справедлива оценкаσ B (f ) 6 e1/l .126(2.32)Доказательство. Для ε ∈ (0, l/2) и всех достаточно больших x выполняΦ′1(x)ется неравенство> l − ε > 0.
Если бы, вопреки ожиданиям, нашласьxтакая функция f (z), что σ B (f ) > e1/l , то с некоторым τ ∈ e1/(l−2ε), σ B (f )по теореме 2.4 имели бы при всех достаточно больших r неравенствоµf (r) > µB (τ r) . Это в свою очередь повлекло бы с учетом леммы 2.2 выполнение для последовательности значений x = x̄n → +∞ следующих неравенствΦ1 (x) + o(1) = ln µf (ex ) > µB (ex+ln τ ) > Φ1(x + ln τ ) − (x + ln τ ).Но тогда для тех же x = x̄n → ∞ имели быo(1) > Φ1(x + ln τ ) − Φ1(x) − (x + ln τ ) > Φ′1(x) ln τ − (x + ln τ ),илиo(1) >l−εΦ′1(x)ln τ − 1 x − ln τ >− 1 x − ln τ → +∞,xl − 2εчто невозможно. Противоречие доказывает требуемое утверждение.Замечание 2.5. Условие (2.32) заведомо выполняется, еслиlim Φ′′1 (x) > l > 0,(2.33)x→+∞а если функция Φ′1(x) выпуклая, то верно и обратное утверждение.В самом деле, первое утверждение следует из правила Бернулли–Лопиталя,Φ′1(x)возрастает.а второе — из части I теоремы 1.3 первой главы, посколькуxЗамечание 2.6.
Если l = +∞ , т. е. выполняется условиеx = o(Φ′1(x)),x → +∞,то в теореме 2.10 можно утверждать, что σ B (f ) = 1 , и, соответственln Fn + Φ̃1 (n)= 0.но, в теореме 2.9 — что limnn→∞Отметим также, что условие Φ′′1 (x) → ∞ влечет равенство lim BBn B2 n+2 = 1 .n+1n→∞Функции сравнения с такими коэффициентами, как показал А. Ю. Попов, составляют плотный класс во множестве целых функций максимального ростапри логарифмическом порядке 2.Заканчивая описание роста целых функций по тейлоровским коэффициентам, входящее в проблему Адамара, отметим, что разработанные методыприменимы и при исследовании зависимости роста целых функций нулевого порядка от роста их нулей (см. ниже равенство (2.43)). Этому посвященследующий параграф.1272.2 Связь роста целой функции нулевогопорядка с ростом ее нулейВ этом параграфе рассматриваются только целые функции нулевого порядка.
Без ущерба для общности будем также предполагать, что f (0) = 1.Такие функции согласно известной теореме Адамара [62] имеют представление в виде канонического произведенияf (z) =∞ Yn=1z1−λn,z ∈ C,λn ∈ C.(2.34)Считаем, что последовательность нулей Λf = {λn } выписана с учетом кратностей и расположена в порядке возрастания модулей. Как и ранее, считающую функцию и усредненную считающую функцию этой последовательностиRrdt соответственно.обозначаем n(r) = max {n : |λn | 6 r} и N (r) = n(t)t0Тип и нижний тип целой функции f (z) при уточненном порядке ρ(r) ,как и прежде, определяем равенствами (см.
формулы (1.138) из § 1.6):ln Mf (r),r→+∞h(r)T = Th(f ) = limln Mf (r);h(r)r→+∞t = th (f ) = limh(r) = rρ(r) .Здесь ρ(r) — уточненный по Валирону порядок, ρ(r) → ρ > 0 при r → +∞ ,а функция h(r) возрастает и подчинена требованиюrh′ (r)lim= ρ.r→+∞ h(r)Соответствующий класс функций h(r) обозначим через Lρ.Введем далее верхнюю и нижнюю плотности последовательности Λf нулей функции f (z) относительно h(r) равенствамиnf (r),r→+∞ rh′ (r)nf (r).′r→+∞ rh (r)∆ h (Λf ) = lim∆h (Λf ) = limЗдесь nf (r) — считающая функция нулей Λf . (Если ρ(r) → ρ > 0 приr → +∞, то обе введенные плотности в ρ раз меньше соответствующихплотностей из § 1.5 для функции h(r) = rρ .
)В работе [70, теорема 3] установлен следующий результат (приведем егов наших обозначениях).Пусть функция h(x) дважды непрерывно дифференцируема при достаxh′′ (x)строго убывает к −1 при x → +∞ .точно больших x , причемh′ (x)128Пусть, далее, целая функция f (z) такова, что ∆h (Λf ) < ∞ . Тогда(2.35)Th(f ) = ∆h (Λf ).К сожалению, доказательство этого утверждения (см. [70, стр. 140]) содержитсущественный пробел, допущенный при выводе оценки снизу для специального интеграла. Мы убедимся позже на примере функции h(x) = lnγ x с γ > 1,что такой результат не верен.
Тем не менее, для более медленно растущихфункций, например, для h(x) = ln x lnγ ln x с γ > 1 равенство (2.35) все жевыполняется.Определим верхнюю и нижнюю усредненные плотности последовательностей нулей Λf относительно функции h(r) равенствамиZ rNf (r)nf (t)Nf (r)∗∗,∆ h (Λf ) = lim,Nf (r) =.∆h (Λf ) = limr→+∞ h(r)tr→+∞ h(r)0Теорема 2.11. Пусть f (z) — целая функция нулевого рода, а h(x) ∈ L0 .Если верхняя плотность последовательности нулей Λf конечна, т. е.∗∆h (Λf ) < ∞ (или, что то же самое, ∆h (Λf ) < ∞ ), то справедливы равенства∗Th (f ) = ∆h (Λf ),th (f ) = ∆∗h (Λf ).(2.36)Доказательство.
Докажем асимптотическое представлениеln Mf (r) = Nf (r) + o(h(r)),(2.37)r → +∞.Из формулы Иенсена следует неравенствоZ 2π1Nf (r) =ln |f (reiϕ )| dϕ 6 ln Mf (r).2π 0С другой стороны, из (2.34) имеем∞Xrln Mf (r) 6ln 1 +|λn |n=0Z=Z∞0rdt = rln 1 +tZ∞0nf (t) dt6t(t + r)Z ∞nf (t)nf (t)6dt + rdt =: Nf (r) + p(r).tt20rОценим последнее слагаемое, применяя правило Лопиталя.rp(r)= limlimr→+∞r→+∞ h(r)R ∞ nf (t)rt2h(r)rdt=nf (r)r2lim rh′ (r)−h(r)r→+∞r2−129=nf (r)rh′ (r)lim h(r)r→+∞−rh′ (r)1= 0.nf (r)< ∞ и тем, что h ∈ L0 ,r→+∞ rh′ (r)Мы воспользовались условием ∆h (Λf ) = limrh′ (r)h(r)откуда lim= 0 и lim= 0 .
В итоге получаем двустороннююr→+∞ h(r)r→+∞ rоценкуNf (r) 6 ln Mf (r) 6 Nf (r) + o(h(r)),r → +∞.Отсюда следует асимптотическое равенство (2.37), из которого легко выводимобе формулы (2.36).Теорема 2.11 влечет следующий результат.Теорема 2.12. Пусть f (z) — целая функция нулевого рода.Если ∆h (Λf ) < ∞ , а функция h(r) удовлетворяет условиюr ln r h′ (r)lim= 1,r→+∞h(r)(2.38)то справедливы равенстваTh (f ) = ∆h (Λf ),th (f ) = ∆ h (Λf ),(2.39)или, в развернутом виде,ln Mf (r)nf (r)nf (r) ln r= lim=,limr→+∞r→+∞ rh′ (r)r→+∞h(r)h(r)ln Mf (r)nf (r)nf (r) ln r= lim= lim.lim′h(r)h(r)r→+∞r→+∞ rh (r)r→+∞RxДоказательство. Функция N1(x) := Nf (ex ) = 0 nf (et ) dt — выпуклая, афункция h1 (x) := h(ex ) удовлетворяет условиюlimx h′1 (x)x ex h′ (ex )lim= lim= 1.x→+∞ h1 (x)x→+∞h(ex )Применяя теорему 2.11 и теорему 1.6 из § 1.3.1, получаемNf (ex )N1(x)lim= limTh (f ) ===x→+∞ h(ex )x→+∞ h1 (x)n1 (x)nf (ex )nf (r) ln rlim∆(Λ)=lim= lim=.=hfx→+∞ xh′ (x)x→+∞ ex h′ (ex )r→+∞h(r)1∗∆h (Λf )На последнем шаге использована эквивалентностьxh′ (x) ∼h(x),ln xx → +∞,вытекающая из (2.38).
Второе равенство в (2.39) выводим аналогично, заменив верхний предел на нижний.130Другая, более прямая форма теоремы 2.12 имеет следующий вид.Теорема 2.13. Пусть {λn } — последовательность нулей целой функh(x)ции f (z) . Если выполнены условия предыдущей теоремы, и функцияxстрого возрастает, то справедливы равенстваln Mf (r)n ln |λn |= lim,r→+∞n→∞ h(|λn |)h(r)ln Mf (r)n ln |λn |lim= lim.h(r)r→+∞n→∞ h(|λn |)limДоказательство. Достаточно воспользоваться следующим простым утверждением (см.
[19, часть I, гл. 2, § 4, теорема 1]).Пусть n(r) — считающая функция положительной возрастающей к величине A 6 +∞ последовательности an . Если функция H(x) неограниченно возрастает на [0, A) , то справедливо равенствоn(r)n= lim.n→∞ H(an )r→A H(r)limЕсли H(x) непрерывна, то дополнительно выполняется равенствоn(r)n= lim.n→∞ H(an )r→A H(r)limТеперь заключение теоремы следует из приведенного утверждения при выh(x)боре H(x) =.ln xУсловию (2.38) удовлетворяет, например, h(r) = ln r lnα (ln r) с показателем α > 0. Поэтому, взяв целую функцию логарифмического порядка γ = 1 ,в качестве следствия из теоремы 2.13 немедленно получаем такой результат.Теорема 2.14.
Пусть f (z) — целая функция нулевого рода с последовательностью нулей Λf = {λn } . Если ∆h (Λf ) < ∞ , где h(r) = ln r lnα (ln r),α > 0, то выполняются равенстваln Mf (r)n= lim α,αr→+∞ ln r ln (ln r)n→∞ ln (ln |λn |)ln Mf (r)nlim= lim α.αr→+∞ ln r ln (ln r)n→∞ ln (ln |λn |)limВ частности, следующие два условия эквивалентныαln Mf (r) ∼ T ln r ln (ln r), r → +∞,131иln(ln |λn |) ∼ n 1/αT, n → ∞.Для целых функций логарифмического порядка ρ > 1 теорема 2.11 такжедает точные оценки верхнего и нижнего логарифмического ρ -типа.Теорема 2.15. Пусть f (z) — целая функция нулевого рода.Если ∆h (Λf ) < ∞ , а функция h(x) удовлетворяет условиюr ln r h′ (r)= ρ > 1,r→+∞h(r)(2.40)limто справедливы неравенстваa−12 ∆h (Λf ) 6 Th (f ) 6 ∆h (Λf ),a1 Th (f ) 6 ∆ h (Λf ) 6 th (f ),(2.41)где a1 , a2 (a1 6 1 6 a2 ) — корни уравненияϕ(a) := ρa + (1 − ρ)aρ/(ρ−1) =th (f ).Th (f )(2.42)Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
