Диссертация (1154389), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Рассуждения аналогичны используемым при доказательстве теоремы 2.12. Теперь функция h1 (x) = h(ex ) удовлетворяет условиюx ex h′ (ex )x h′1 (x)lim= lim= ρ > 1,x→+∞x→+∞ h1 (x)h(ex )и функция ϕ(a) , вычисленная по h1 (x), согласно (1.50) имеет вид (см. [35])ϕ(a) = ρa + (1 − ρ)aρ/(ρ−1).В отличие от доказательства теоремы 2.12 теперь мы применяем к функциямn1(x) = nf (ex ) , N1(x) = Nf (ex ) и h1 (x) = h(ex ) теорему 1.7 (см. § 1.3.1),согласно которой имеемTh(f ) 6 ∆h (Λf ) 6 a2 Th (f ),a1 Th(f ) 6 ∆ h (Λf ) 6 th (f ).Это совпадает с утверждением теоремы.Следствие 2.1.
Пусть выполнены условия теоремы 2.15. Следующиеутверждения эквивалентны∃ limr→+∞nf (r)= Trh′ (r)ln Mf (r)= T.r→+∞h(r)и ∃ limДоказательство. В самом деле, пусть существует∆h (Λf ) = ∆h (Λf ) = T. Тогда из (2.41) выводимlimr→+∞nf (r)= T, т. е.rh′ (r)Th(f ) 6 ∆h (Λf ) = ∆ h (Λf ) = T 6 th (f ) 6 Th(f ).132ln Mf (r)= T. Обратно,r→+∞h(r)Отсюда Th (f ) = th (f ) = T, т. е. существует limln Mf (r)= T.
Тогда корнями уравнения (2.42) слуr→+∞h(r)жат числа a1 = a2 = 1 . Применяя (2.41), получим ∆h (Λf ) = T, ∆ h (Λf ) = T,nf (r)т. е. существует предел lim=T.r→+∞ rh′ (r)пусть существует limОтметим, кстати, что для целых функций положительного порядка существование плотности корней не влечет совершенно регулярного роста функции, и наоборот (см., например, [6]).Пусть f (z) — целая функция и Λ = {λn }∞n=0 — ее нулевое множество.Рассмотрим другую целую функциюF (z) = FΛ (z) :=∞Xn=0zn.λ0 λ1 · · · λnЛогарифм максимального члена µF (r) этой функции совпадает с усредненной считающей функцией нулей f (z) . Действительно, центральный индексnF (t) функции F (z) является, очевидно, считающей функцией нулей nf (t)для f (z) , т.
е. nF (t) = nf (t), t > 0. В силу известной формулы Валиронавыполняется равенствоZ rZ rnF (t)nf (t)rn=dt =dt = Nf (r). (2.43)ln µF (r) = ln|λ0 ||λ1 | · · · |λn |tt00Благодаря равенству (2.43) можно характеризовать рост целой функции поее нулям, основываясь на коэффициентном описании роста (см. [10], [11]). Излемм 2.1, 2.2, 2.4 предыдущего параграфа и теоремы 2.11 получаем формулы, выражающие логарифмические ρ -типы целой функции непосредственночерез ее нули. Приведем соответствующий результат (см. [19, теоремы 5, 6]).Теорема 2.16.
Пусть функция h(x) удовлетворяет условию (2.40), иh(ex )k(ζ) — обратная функция к. Пусть, далее, целая функция f (z) такоxва, что ∆h (Λf ) < ∞ и Th (f ) = T, th (f ) = t . Тогда имеют место формулы1nk(n)ρ=(T ρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λ1 λ2 · · · λn |ρ−11nk(n)ρ=(tρ) ρ−1 ,limρ−1n→∞ ln |λ1 λ2 · · · λn |lim13311k(n)6 (a2 T ρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λn |1k(n)6 lim6 (tρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λn |(T ρ) ρ−1 6 lim1(a1 T ρ) ρ−1где a1 , a2 (a1 6 1 6 a2 ) являются корнями уравненияρa + (1 − ρ)aρ/(ρ−1) =t.T1В частности, условия ln Mf (r) ∼ T h(r) и ln |λn | ∼ (T ρ) 1−ρ эквивалентны.Подводя итоги этого параграфа, подчеркнем, что величины типа и нижнего типа целой функции нулевого порядка не зависят от аргументов ее корней.Совершенно другая, более сложная картина наблюдается для целых функций положительного порядка.
Исследованию роста таких целых функций взависимости от расположения их нулей на комплексной плоскости посвященаследующая глава.134ГЛАВА 3ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦЕЛЫХФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ПОРЯДКАС НУЛЯМИ НА ЗАДАННЫХ МНОЖЕСТВАХ3.1 Наименьший возможный рост целой функции порядка меньше единицы с положительными нулямизаданных усредненных плотностейИсследование зависимости роста целой функции от распределения ее нулей на комплексной плоскости имеет важное значение как в самой теориицелых функций, так и во многих ее приложениях (теория интерполяции иаппроксимации экспонентами, проблема нахождения радиусов полноты систем экспонент и более общих функциональных систем, спектральная теорияоператоров, теория вероятностей, негармонический анализ, вопросы аналитического продолжения сумм степенных рядов и рядов Дирихле).
Достаточнополно эта зависимость была изучена уже к середине прошлого века в случае „регулярно“ растущих функций с „правильно“ распределенными нулями (см. монографию Б. Я. Левина [62] и статьи A. Пфлюгера [133], [134]).Теория функций вполне регулярного роста получила дальнейшее развитие иобобщение в работах А. А. Кондратюка [56], Н. В. Говорова [38], А. Ф. Гришина [46]–[48], К. Г. Малютина [65], [66] и других математиков. Необходимо,однако, отметить, что ряд естественных задач, возникающих в теории аппроксимации, аналитического продолжения, теории операторов и других вопросах, содержательны в случае отсутствия „асимптотически правильного“поведения появляющихся в ходе исследования целых функций.
В ставшихклассическими работах Левина и Пфлюгера асимптотические формулы дляцелой функции и ее нулей взаимно определяют друг друга. При отсутствииподобной регулярности асимптотические законы перестают действовать, и напервый план выходят задачи определения точных границ изменения характеристик роста функции в зависимости от границ скорости изменения нулей.Решение именно таких задач сопряжено с экстремальными проблемами в различных классах целых функций, определяемых ограничениями как на рост,так и на расположение нулей.Экстремальным задачам для характеристик роста целых функций (индикаторов и типов при обычном и уточненном порядках) посвящена обширнаялитература.
В цикле работ А. А. Гольдберга (см., к примеру, [39], [42], [43])135с помощью введенного им понятия интеграла по полуаддитивной мере былинайдены диапазоны изменения верхнего и нижнего индикаторов целой функции (при уточненном порядке) с заданными границами изменения верхнейи нижней угловых плотностей ее нулей. В статьях А. А. Кондратюка [53]—[55] результаты А. А. Гольдберга обобщались на случаи других типов плотностей. Несколько специальных экстремальных задач было решено во второйполовине прошлого века Б. Я. Левиным [62, гл. V, §5 ], Н. В.
Говоровым [37],М. И. Андрашко [8], Б. Н. Хабибуллиным [90], А. Ю. Поповым [77]. Интереск этой тематике не утихает и в последнее десятилетие (см. [112], [92], [80] инедавнюю докторскую диссертацию В. Б. Шерстюкова [98]).3.1.1 Целые функции с дискретно измеримыми нулямиЗдесь нас будут интересовать задачи о наименьшем возможном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями, расположенными на одномлуче (см. [22]–[24]). Для точных постановок введем необходимые определения.Каждую целую функцию порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями Λ = {λn } согласнохорошо известной теореме Адамара [62] можно представить в виде канонического произведенияY zmLΛ(z) = cz1−,z ∈ C.λn|λn |>0В согласии с нотацией, принятой в § 1.6, тип функции LΛ(z) при порядке ρ (коротко, ρ -тип), обозначим через σρ(LΛ) := lim r−ρ ln max |LΛ (z)| , аr→+∞|z|=rсчитающую (с учетом кратности) функцию последовательности Λ — черезPnΛ(t) =1 .
Будем предполагать для простоты, что 0 ∈/ Λ, поскольку от|λn |6tсутствие точки λ = 0 в последовательности Λ не влияет ни на одну из рассматриваемых асимптотических характеристик. Далее, верхнюю плотностьпри показателе ρ этой последовательности (кратко, ρ -плотность) обозначимчерез ∆ ρ (Λ) := lim t−ρ nΛ (t) , а нижнюю ρ -плотность, определяемую какt→+∞соответствующий нижний предел, — через ∆ ρ (Λ) .В статье [79] А. Ю. Поповым была поставлена и решена задача о нахождении для положительных последовательностей Λ = {λn } и фиксированногочисла β > 0 экстремальной величиныs(β; ρ) := inf σρ(LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = β .(3.1)Приведем основной результат этой работы.136Теорема А.
(А. Ю. Попов) При любых ρ ∈ (0, 1) и β > 0 справедливоравенствоs(β; ρ) = β C(ρ),где величина C(ρ) определена формулойC(ρ) = max a−ρ ln(1 + a).a>0(3.2)Нижняя грань s(β; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности положительных чисел.Позднее в работе [31] было получено решение следующей более общейэкстремальной задачи, также поставленной А. Ю. Поповым.Для заданных чисел ρ ∈ (0, 1) и α , β, 0 6 α 6 β < +∞, требуется найтивеличинуs(α , β ; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α, ∆ ρ (Λ) = β .(3.3)Центральный результат [31] формулируется так.Теорема B.
(В. Б. Шерстюков). Для произвольного ρ ∈ (0, 1) и любыхчисел α > 0 и β > 0 (α 6 β) справедливо равенствоπαs(α , β ; ρ) =+ maxa>0sin πρZaβa−ρ − ατ −ρdτ.τ +1(3.4)1/ρa(α/β)Нижняя грань s(α , β ; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности Λ0 ⊂ R+ , у которой ∆ ρ (Λ0 ) = α и ∆ ρ (Λ0) = β.Результаты этого параграфа служат продолжением и развитием исследований [79], [31], предоставляя точные оценки для ρ -типа целой функциипорядка ρ ∈ (0, 1) не через обычные, а через усредненные ρ -плотности. Напомним определения этих плотностей из § 1.5.Rr nΛ(t)Если NΛ (r) =dt — усредненная считающая функция последоt0∗∗вательности Λ = {λn } , то ∆ = ∆ ρ (Λ) = lim r−ρNΛ (r) — ее верхняяr→∞(с верхней чертой) и соответственно нижняя (подчеркнутая снизу) усредненные ρ -плотности.
Дискретные усредненные ρ -плотности определяютсяравенствамиe = lim N (|λn |) .∆e n→∞ |λn |ρ∗Условия ∆ = ∆ (=: ∆) и ∆ = ∆∗ (=: ∆∗) эквивалентны, а последовательности, обладающие этим свойством, называются измеримыми. Для них137n(|λn |)n(t)=lim= ∆. Последовательности, дляn→∞ |λn |ρt→∞ tρe т. е. существует предел lim N (|λn |) , называются дискреткоторых ∆ = ∆,n→∞ |λn |ρeно измеримыми (при показателе ρ ).На научном семинаре под руководством проф. А. М.
Седлецкого (мехматМГУ, 2009 г.) А. Ю. Попов обратил наше внимание на следующий интересныйвопрос. Тип целой функции при порядке ρ ∈ (0, 1) с измеримой последовательностью нулей принимает свое наибольшее возможное значение (средивсех целых функций с той же верхней ρ -плотностью нулей) и связан с ееплотностями ∆ и ∆∗ формуламисуществует предел limπ∆πρ∆ ∗σ==.sin πρ sin πρНасколько может уменьшиться величина типа целой функции, последовательность корней которой расположена на одном луче, не является измеримой, но дискретно измерима?Ответ на поставленный вопрос содержится в решении следующей экстремальной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
