Диссертация (1154389), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Осколкова [70] для функций одного переменного и в работе Ю. Ф. Коробейника [60] для функций многих переменных при выполнениинекоторых дополнительных условий получены общие формулы вычислениятипа целой функции по ее коэффициентам Тейлора, являющиеся конкретизацией формул из теоремы 2.5. Теперь можно утверждать, что аналогичные формулы с нижними пределами и с заменой коэффициентов |fn | наих регуляризации Ньютона–Адамара Fn справедливы и для нижнего типацелой функции. В качестве иллюстрации приведем следующее утверждение(см. [19, теорема 3, с.190]).Пусть H(x) = h(ex ) , γ(t) — обратная функция к rh′ (r).
Предположим,что выполнено условиеln H ′′ (x)→ 1,ln H ′ (x)x → +∞.Тогда справедливы формулы11ln Mf (r)γ(n)γ(n)nn= limln γ(n)|fn|ln γ(n)Fn ,1 + lim= limr→+∞n→∞ nγ ′ (n)n→∞ nγ ′ (n)h(r)1ln Mf (r)γ(n)n= limln γ(n)Fn .1 + lim′h(r)r→+∞n→∞ nγ (n)(k)Следующие результаты говорят о том, что классы H1 , k ∈ N , пригодныи для более точной, чем в теореме 2.7, классификации роста целой функциикак сверху, так и снизу. Точнее говоря, эти классы могут быть взяты в качестве плотных классов функций сравнения роста во множестве всех целыхфункций в смысле выполнения требований (2.7), (2.8).120Теорема 2.8. Пусть k ∈ N . Для всякой целой трансцендентной функ∞P(k)(k)fn z n найдутся функции Φ1 (x) ∈ H1 и Φ2(x) ∈ H1 такие,ции f (z) =n=0чтоlim {ln µf (ex ) − Φ2(x)} = 0иx→+∞lim {ln µf (ex ) − Φ1(x)} = 0 ,x→+∞причемlim {ln |fn |+Φ̃2(n)} = lim {ln Fn +Φ̃2(n)} = 0 иn→∞n→∞lim {ln Fn +Φ̃1(n)} > 0.n→∞Здесь Fn — регуляризация Ньютона-Адамара последовательности |fn| .С другой стороны, для всякого γ ∈ (0, 1) найдется такая целая функ(k)ция f (z) , что lim {ln µf (ex ) − Φ(x)} = +∞ при всех Φ(x) ∈ Hγ .x→+∞Доказательство.
По теореме 2.1 для функции ϕ(x) = ln µf (ex ) существуют(k)функции Φ1(x) и Φ2(x) из класса H1 такие, чтоΦ1(x) 6 ϕ(x) 6 Φ2 (x) ,(2.27)x > 0,причем для некоторых последовательностей xn → ∞ и x̄n → ∞, (n → ∞)выполняются соотношенияΦ1(x̄n) = ϕ(x̄n) + o(1), n → ∞,и Φ2(xn) = ϕ(xn) + o(1), n → ∞. (2.28)Из условий (2.27), (2.28) следует, чтоlim {ln µf (ex ) − Φ2(x)} = 0иx→+∞lim {ln µf (ex ) − Φ1(x)} = 0 ,x→+∞т.
е. первое утверждение теоремы доказано.∞PAn z n с коэффициентами An = e−Φ̃2 (n) .Рассмотрим функцию A(z) =n=0Для n ∈ N0 и x > 0 из (2.27) получаем оценкиln |fn | enx 6 ln µf (ex ) 6 Φ2(x),ln |fn | 6 Φ2(x) − nx .Отсюда заключаем, чтоln |fn | 6 ln Fn 6 − sup {nx − Φ2(x)} = −Φ̃2(n) ,x>0|fn |, q 6 1 .
Если бы q < 1 ,n→∞ Anто для q1 ∈ (q, 1) и достаточно больших r в силу леммы 2.4 имели быµf (r) 6 q1 µA (r) , а тогда, учитывая (2.28),т. е. |fn | 6 Fn 6 An . Обозначим q = limΦ2 (x) − o(1) = ln µf (ex ) 6 ln q1 µA (ex ) 6 ln q1 + Φ2 (x),121x = xn → ∞.Противоречие указывает на то, что q = 1 . Следовательно,limn→∞Fn|fn|= lim= 1.An n→∞ AnИспользуя вид An , переписываем это соотношение в формеlim [ln |fn | + Φ̃2(n)] = lim [ln Fn + Φ̃2(n)] = 0.n→∞n→∞Рассмотрим теперь функциюB(z) =∞PBn z n с коэффициентамиn=0−Φ̃1 (n)xBn = e.
Поскольку ln µf (e ) = G̃(x) , где y = G(ζ) — уравнение ломаной Ньютона-Адамара функции f (z) , то условие Φ1(x) 6 ln µf (ex ) = G̃(x)эквивалентно условию G(ζ) 6 Φ̃1(ζ) . Тогда ln Fn = −G(n) > −Φ̃1(n) иln Fn + Φ̃1(n) > 0 .Заключительные части теорем 2.7 и 2.8 обосновываются по одной схеме.Для завершения доказательства достаточно при любых γ ∈ (0, 1) выбрать1(здесьцелую функцию f (z) = expk−1 z n с параметром n ∈ N, n >1−γexpk−1 z, k ∈ N, — k –ая итерация экспоненты). Теорема доказана.Замечание 2.4. Утверждение об оценке снизу можно уточнить, еслидля функции Φ1(x) дополнительно выполняется условие (2.24). В этом случае имеем равенствоlim {ln Fn + Φ̃1 (n)} = 0.n→∞Действительно, если бы при некоторых c > 0 и n0 ∈ N для n > n0 имелиln Fn +Φ̃1 (n) > c, или ln Fn > −(Φ̃1(n)−c), то, учитывая, что сопряженной˜ (x) + c = Φ (x) + c,по Юнгу к функции Φ̃1(ζ) − c является функция Φ̃11согласно лемме 2.3 получили быϕ(x) = ln µf (ex ) > Φ1(x) + c − o(1),x → +∞.Но это противоречит первому условию (2.28) при x = x̄n .Аналогом теоремы 2.8 для максимума модуля целой функции служит следующее утверждение.Теорема 2.9.
Пусть k ∈ N . Для любой целой трансцендентной функ∞P(k)fn z n существуют функции Ψi (x) ∈ H1 , i = 1, 2 , такие,ции f (z) =n=0что выполняются равенстваlim (ln Mf (ex ) − Ψ2 (x)) = 0 ,lim (ln Mf (ex ) − Ψ1 (x)) = 0 ,x→+∞x→+∞122а для коэффициентов fn верны соотношенияlimn→∞ln |fn | + Ψ̃2 (n)ln Fn + Ψ̃2 (n)= lim= 0,n→∞nnlimn→∞ln Fn + Ψ̃1 (n)> 0.nДоказательство.
Для функции ϕ(x) = ln Mf (ex ) по теореме 2.1 находим(k)такие функции Ψ1 (x) , Ψ2 (x) из класса H1 , что выполняются неравенстваΨ1 (x) 6 ϕ(x) 6 Ψ2 (x) ,(2.29)x > 0,причем для некоторых последовательностей xn → ∞ и x̄n → ∞ (n → ∞)выполняются соотношенияΨ1(x̄n) = ϕ(x̄n) + o(1) и Ψ2 (xn) = ϕ(xn) + o(1),n → ∞.(2.30)Отсюда заключаем, чтоlim {ln Mf (ex ) − Ψ2 (x)} = 0lim {ln Mf (ex ) − Ψ1(x)} = 0 .иx→+∞x→+∞Рассмотрим две функции сравненияA(z) =∞X−Ψ̃2 (n)enz ,B(z) =n=0∞Xe−Ψ̃1(n) z n .n=0Покажем, что последовательности An = e−Ψ̃2(n) , Bn = e−Ψ̃1(n) подчиненысоотношениямsrrFFnnn |fn |σA (f ) = lim= lim n= 1 и σ B (f ) = lim n> 1. (2.31)n→∞n→∞AnAnBnn→∞Это после логарифмирования даст требуемые формулы.Начнем с функции A(z) . Поскольку µf (ex ) 6 Mf (ex ) 6 Ψ2(x), x > 0, тов силу леммы 2.1 имеем |fn | 6 Fn 6 e−Ψ2 (n) = An, n ∈ N0 . Тогда справедливонеравенство∞∞XXnMf (r) 6|fn | r 6An rn = A(r).n=0n=0Если бы для некоторых τ < 1 и r0 при всех r > r0 выполнялось неравенствоMf (r) 6 A(τ r) , то по лемме 2.4 и теореме 2.4 имели бы для всех достаточнобольших r и некоторого τ1 ∈ (τ, 1) оценку µf (r) 6 µA (τ1r) 6 q1 µA (r) спроизвольно малым положительным q1 .
Как и в теореме 2.8 показываем,что это противоречит правому условию (2.30). Поэтому σA (f ) = 1.123Перейдем к функции B(z) . Воспользуемся тем, что для любого k ∈ (0, 1)и r > 0 выполняется условие (см. (2.16)) Mf (kr) 6 (1 − k)−1µf (r). Перепишем его в видеln µf (ex ) > ln(1 − k) + ln Mf (ex+ln k ) > ln(1 − k) + Ψ1 (x + ln k) =: ϕ(x).Посколькуϕ̃(ζ) = sup {xζ − ϕ(x)} = sup {xζ − ln(1 − k) − Ψ1 (x + ln k)} =xx= − ln(1 − k) − ζ ln k + sup {(x + ln k)ζ − Ψ1 (x + ln k)} =x= − ln(1 − k) − ζ ln k + Ψ̃1 (ζ),то, применяя лемму 2.2, получаемln Fn > −ϕ̃(n) = ln(1−k)+n ln k − Ψ̃1(n) = ln(1−k)k ne−Ψ̃1 (n) = ln(1−k)k nBn .Отсюда следует неравенствоσB (f ) = limn→∞rnFn> k.BnВ силу произвольности k < 1 заключаем, что σ B (f ) > 1. Теорема доказана.Класс всех функций сравнения обозначим U .
Класс U является плотнымклассом во множестве всех целых функций в том смысле, что для всякой целой функции f (z) найдется такая функция A(z) ∈ U , что σA (f ) 6= 0, ∞(см. [51]). И здесь опять возникает проблема Адамара нахождения возможно более узких классов функций сравнения, плотных в этом смысле. Так,А. Ю. Попов в работе [75, теорема 1] показал, что плотным в классе целых∞PAn z n , удофункций является подмножество функций сравнения A(z) =влетворяющих при любом n ∈ N0 условиюAnAn+26 e−ϕn+2 ,2An+1где ϕn ց 0,n=0∞Xϕn < +∞.n=0В работе [78, предложение 1] этим же автором показано, что плотной в классецелых функций, имеющих бесконечный тип при логарифмическом порядке 2ln Mf (r)(т.
е. таких, что lim= +∞ ), является совокупность всех функцийr→+∞ln2 rсравнения, удовлетворяющих дополнительному условиюlimn→∞An An+2= 1.A2n+1124(Произвольная функция сравнения обладает свойством limn→∞ОбозначимUγ(k)= {A(z) : A(z) =Поскольку здесь An = e−Φ̃(n) , то(k)∞Xe−Φ̃(n) z n , Φ(x) ∈ Hγ(k) }.n=0An+1AnAn An+26 1. )A2n+1= eΦ̃(n)−Φ̃(n+1) ց 0 , и каждый классUγ , k > 1 , γ > 0 , состоит из функций сравнения. Очевидно, при любом(k+1)(k)k > 1 и γ > 0 выполняется вложение Uγ⊂ Uγ .(k)Отметим аппроксимационные свойства функций сравнения из класса U1 ,вытекающие из теоремы 2.1.Предложение 2.5. Для любой выпуклой на R+ функции ϕ(x) , удовлетворяющей условию (2.9), существуют такие целые функции A(z) и B(z)(k)из класса U1 , что справедливы равенстваlimx→+∞ϕ(x)ϕ(x)= lim= 1.ln A(x) x→+∞ ln B(x)Доказательство.
Действительно, для выпуклой функции ϕ(ex ) по теоре(k)ме 2.1 найдутся функции Φ1 (x) , Φ2(x) из класса H1 и такие последовательности x̄n → +∞, xn → +∞ , что выполняются условияΦ1(x) 6 ϕ(ex ) 6 Φ2(x),x ∈ R+ ,иΦ2(xn) = ϕ(exn) + o(1), n → ∞.∞P(k)e−Φ̃1 (n) z n ∈ U1 иПрименим теперь теорему 2.3 к функциям A(z) =Φ1(x̄n) = ϕ(ex̄n ) + o(1),B(z) =∞Pn=0n → ∞,n=0(k)e−Φ̃2 (n) z n ∈ U1 . Согласно этой теореме имеемln A(ex ) ∼ Φ1(x),ln B(ex ) ∼ Φ2(x),x → +∞.Отсюда, заменяя ex на x , получаем требуемые равенства.Сравним утверждение предложения с результатом работы Клуни [109](см. также [110]), в которой среди прочего доказано, чтоДля любой выпуклой функции ϕ(x) , удовлетворяющей условию (2.9), существует целая функция F (z) с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами такая, что справедливо равенствоlimx→+∞ϕ(x)= 1.ln F (x)125В отличие от нашего результата функция F (z), построенная Клуни, имеетлакунарный ряд Тейлора. Кроме того, функции сравнения A(z) и B(z) в(k)предложении 2.5 берутся из весьма узких классов U1 , k ∈ N.Доказаные в теореме 2.9 соотношения (2.31) позволяют сформулировать(k)результат, показывающий, что любой из классов U1 , k ∈ N, может бытьвзят в качестве плотного класса функций сравнения во множестве всех целых(k)функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
