Диссертация (1154389), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В них показано, что равенства (2.15) выполняются для произвольной целой функции тогда и только тогда, когдафункция H(x) = h(ex ) удовлетворет условиюln H ′ (x) = o(H(x)),x → +∞.(2.20)Достаточность этого условия для выполнения равенств (2.15) нетрудно обосновать, немного модифицировав доказательство теоремы 2.2. Нужно лишь1положить в (2.16) k(r) = 1 − ′ , получая вместо (2.17) неравенстваh (r)ln Mf (kr)ln h′ (r)ln µf (r)h(r)ln µf (kr)66+.h(kr)h(kr)h(r)h(r)h(kr)Здесь величина h(r) − h(kr) = H(ln r) − H(ln r − ln k1 ) оценивается также, как в предложении 1.1. Остается еще заметить, что с учетом равенстваln r = o(h(r)), r → +∞, функции h(x) и h(ex ) = H(x) одновременноудовлетворяют, или нет, условию (2.20).1062.1.3 Типы целых функций относительнофункций сравненияЕще один способ выяснения роста целой функции состоит в том, что еемаксимум модуля сравнивается с максимумом модуля «правильных» целыхфункций.
В качестве таких «правильных» функций могут быть взяты функции сравнения (см. [51], [52]).Определение 2.2. Функция A(z) =∞PAn z n называется функциейn=0сравнения, если ее тейлоровские коэффициенты удовлетворяют условиямAn > 0, n ∈ N0 ,An+1ց 0, n → ∞.Anи(2.21)Очевидно, что для положительной последовательности An условие убыAn+1может быть переписано в эквивалентном видевания отношенияAnAn+1An−16 1,A2nn ∈ N,или в виде неравенства ТуранаA2n − An+1An−1 > 0,n ∈ N.Из условий (2.21) следует, что все функции сравнения являются целыми.Полезным является следующее свойство таких функций. Чтобы его сформулировать, обозначим сопряженную по Юнгу к функции Φ(x) через Φ̃(ζ) :Φ̃(ζ) = sup {xζ − Φ(x)},ζ > 0.x>0Теорема 2.3.
Для каждой функции сравненияA(z) =∞XAn z n ,An = exp{− Φ̃(n)},n=0с функцией Φ(x) ∈ Ȟ выполняются соотношенияln MA (r) ∼ ln µA (r) ∼ Φ(ln r),r → +∞.Доказательство. С одной стороны,ln µA (ex ) = sup {xn − Φ̃(n)} 6 sup {xζ − Φ̃(ζ)} = Φ(x).ζ>0n∈N0107С другой стороны, если точка ζx такова, что sup {xζ − Φ̃(ζ)} = xζx − Φ̃(ζx ),ζ>0и [ζx ] — целая часть ζx , тоln µA (ex ) = sup {xn − Φ̃(n)} > x[ζx ] − Φ̃([ζx ]) > x(ζx − 1) − Φ̃(ζx ) =n∈N0= xζx − Φ̃(ζx ) − x = sup {xζ − Φ̃(ζ)} − x = Φ(x) − x.ζ>0Таким образом, справедливы неравенстваΦ(x) − x 6 ln µA (ex ) 6 Φ(x),x > 0.Учитывая (2.9), получаем ln µA (r) ∼ Φ(ln r), r → +∞ .
В силу теоремы 2.2 ,в которой надо положить h(r) = Φ(ln r), имеем также и ln MA (r) ∼ Φ(ln r)при r → +∞ .Тип и нижний тип целой функции f (z) относительно h(r) можно определить, соответственно, по формуламσf = inf {τ > 0 : Mf (r) < exp τ h(r), r > r0 (τ )},σ f = sup {µ > 0 : Mf (r) > exp µh(r), r > r0(µ)}.По аналогии с этими определениями вводятся следующие понятия.Определение 2.3.
ВеличинаσA = σA (f ) = inf {τ > 0 : Mf (r) 6 A(τ r), r > r0(τ )}называется типом целой функции f (z) относительно функции сравненияA(z) или просто A-типом функции f (z) .Величинуσ A = σA (f ) = sup {τ > 0 : Mf (r) > A(τ r), r > r 0 (τ )}назовем нижним типом целой функции f (z) относительно функции сравнения A(z) , или нижним A-типом f (z) .Отметим, что величина нижнего A -типа целой функции ранее не определялась.
Величина σA была вычислена Ю. А. Казьминым [51] (см. также [105],∞Pfn z n имеет место[131]), который показал, что для целой функции f (z) =n=0pnформула σA (f ) = lim |fn |/An .n→∞Для вычисления σA и σ A по коэффициентам целой функции нам, как ив теореме 2.2, потребуется заменить в определениях этих величин максимуммодуля целой функции Mf (r) на ее максимальный член µf (r) .108Теорема 2.4. Пусть f (z) — целая функция, и A(z) — функция сравнения. ТогдаσA (f ) = sup {τ > 0 : µf (r) > µA (τ r), r > r1′ (τ )}.σA (f ) = inf {τ > 0 : µf (r) 6 µA (τ r), r > r1 (τ )},Доказательство. Если f (z) — многочлен, то утверждение очевидно, иσA (f ) = 0 .
Обозначим σ = inf {τ > 0 : µf (r) 6 µA (τ r), r > r1(τ )} .Хорошо известно, что если f (z) — трансцендентная целая функция, то дляµf (r)произвольного k > 1 выполняется условие lim= 0 (это такжеr→∞ µf (kr)непосредственно вытекает из приведенной ниже леммы 2.4). Используя этоусловие, для любых τ > σA (f ) , k1 > 1 и k > 1 получаемµf (r) 6 Mf (r) 6 A(τ r) 6 µA ((k1τ )r)= µA ((τ kk1)r)k1=k1 − 1k1 µA ((k1τ )r)6 µA ((τ kk1)r)k1 − 1 µA ((τ kk1)r)при всех достаточно больших r .Отсюда заключаем, что σ 6 τ k k1 . Устремляя здесь k и k1 к единице, аτ — к σA (f ) , выводим неравенство σ 6 σA (f ) .С другой стороны, для любых τ > σ и r > r1(τ ) имеемMf (r) 6 µf (kr) 6 µA (τ (kr)) 6 MA (τ (kr)) = A((τ k)r).Отсюда по определению σA (f ) получаем σA (f ) 6 τ k , что в силу произвольности чисел k > 1 и τ > σ влечет неравенство σA (f ) 6 σ . Вместе с предыдущим это приводит к первому утверждению теоремы.
Второе доказываетсяаналогично.2.1.4 Вычисление типов целой функции по ее тейлоровскимкоэффициентамНапомним, что сопряженной по Юнгу (Фенхелю–Лежандру) к функцииϕ(x), определенной при x > 0, называется функцияϕ̃(ζ) := sup {xζ − ϕ(x)},ζ > 0.x>0Отметим, что для функций, удовлетворяющих условию (2.9), супремум достигается при любом ζ > 0 в некоторой точке xζ (если таких точек больше109одной, выбирается наибольшая из них), причем xζ возрастает при возрастании ζ (см. [50, c.186], [19, §5]). Для выпуклых функций (и только для них)имеет место двойственная формулаϕ(x) = sup {xζ − ϕ̃(ζ)},x > 0.ζ>0Поэтому для выпуклых функций ϕ1(x) , ϕ2 (x) и сопряженных к ним по Юнгу функций ϕ̃1(ζ) , ϕ̃2 (ζ) условие ϕ1 (x) 6 ϕ2(x) для всех x > 0 эквивалентно условию ϕ̃1 (ζ) > ϕ̃2 (ζ) для всех ζ > 0 .Обозначим через g(y) функцию, сопряженную по Юнгу к ln µf (ex ), и положим Fn = exp{−g(n)}, n ∈ N0 .
Точки (n, − ln Fn ) лежат на границе выпуклой оболочки точек (n, − ln |fn |) . Последовательность чисел Fn называется регуляризацией Ньютона–Адамара последовательности |fn | . Названиеобязано тому, что именно Адамар [119] впервые применил ломаную Ньютонапри изучении роста целых функций, введя ее геометрическим образом.Посколькуln µf (ex ) = sup {xn + ln Fn } = sup {xn + ln |fn |} = ln µF (ex ),n∈N0n∈N0∞∞PPfn z n имеют одинаковые максимальныеFn z n и f (z) =то функцииn=0n=0члены.Коэффициентная характеризация типов целых функций опирается на теоремы 2.2, 2.4 и следующие пять лемм 2.1– 2.4. Первая из лемм известна исправедлива в более общей ситуации рядов Дирихле (см., например, [50], [94]–[96], [73]), но для полноты картины приведем ее короткое доказательство.Лемма 2.1. Пусть функция ϕ(x) подчинена требованию (2.9).
Условие ln µf (r) 6 ϕ(ln r) асимптотически (т. е. для всех r > r0 ) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется асимптотически (т. е.для всех n > n0 ) условие ln |fn | 6 −ϕ̃(n) или, что равносильно, условиеln Fn 6 −ϕ̃(n) .Доказательство. Будем предполагать для простоты, что неравенства выполняются для всех значений аргументов. Общий случай лишь незначительнымидеталями отличается от этого.
Если ln µf (r) 6 ϕ(ln r) , то− ln Fn = sup {nx − ln µf (ex )} > sup {nx − ϕ(x)} = ϕ̃(n).x>0x>0Отсюда ln |fn | 6 ln Fn 6 −ϕ̃(n) . Обратно, если ln |fn| 6 −ϕ̃(n) , тоln µf (ex ) = max{xn + ln |fn |} 6 max{xn − ϕ̃(n)} 6 max {xζ − ϕ̃(ζ)} 6 ϕ(x).n∈N0ζ>0n∈N0Лемма доказана.110Оценки снизу, как обычно, не столь просты.Лемма 2.2.
Пусть функция ϕ(x) выпукла на R+ , возрастает и удовлетворяет условию (2.9). Тогда справедливы следующие утвержденияЕсли асимптотически выполняется условие ln µf (r) > ϕ(ln r) , то асимптотически ln Fn > −ϕ̃(n) .Если асимптотически выполняется условие ln Fn > −ϕ̃(n) , тоln µf (r) > ϕ(ln r) − ln r = ϕ(ln r)(1 − o(1)),r → +∞.Доказательство. При условии ln µf (r) > ϕ(ln r), r > r0 , имеем− ln Fn = sup {nx−ln µ(ex )} = nxn −ϕ(xn) 6 sup {nx−ϕ(x)} = ϕ̃(n), n > n0 ,x>0x>0где n0 таково, что xn > r0 .
Первое утверждение доказано. Для доказательства второго заметим, чтоϕ(x) = sup {xζ − ϕ̃(ζ)} = ζx x − ϕ̃(ζx ).ζ>0Пусть оценка ln Fn > −ϕ̃(n) справедлива при n > n0 . Для всех достаточнобольших x выполнено неравенство ζx > n0 . Положим m = [ζx ] и, учитывая,что m 6 ζx < m + 1 и ϕ̃(m) 6 ϕ̃(ζx ), имеемln µ(ex ) = max {nx + ln Fn } > max {nx − ϕ̃(n)} > mx − ϕ̃(m) >nnx> (ζx − 1)x − ϕ̃(ζx ) = ϕ(x) − x = ϕ(x) 1 −= ϕ(x)(1 − o(1)).ϕ(x)Лемма доказана.Второе утверждение леммы 2.2 можно уточнить, если функция ϕ(x) удовлетворяет более сильному требованию, чем условие (2.9), например,ϕ′ (x)→ +∞илиϕ′′(x) → +∞,xПредварительно докажем следующее утверждение.x → +∞.Предложение 2.4. Пусть функция ϕ(x) выпукла на [0, +∞) , возрастает и удовлетворяет условию (2.9).
Еслиln Fn > −ϕ̃(n),n > n0 ,тоln µf (r) > ϕ1 (ln r),r > 1.Здесь ϕ1(x) — специальная кусочно линейная функция: ее графиком служит ломаная, n –oe звено которой касается графика ϕ(x) и имеет угловойкоэффициент, равный n ∈ N0 .111Доказательство. Пусть y = G(ζ), ζ > 0 − уравнение ломаной Ньютона–Адамара функции f (z) . По условию G(n) 6 ϕ̃(n), n ∈ N0 . Соединим прямолинейными отрезками точки (n, ϕ̃(n)) и уравнение полученной выпуклойломаной обозначим y := ψ(ζ). В силу выпуклости G(ζ) для всех ζ > 0выполняется неравенство G(ζ) 6 ψ(ζ) . Отсюда следует, что G̃(x) > ψ̃(x) .Осталось показать, что сопряженная по Юнгу к функции ψ(ζ) совпадает сϕ̃1(x), ведь тогдаln µf (ex ) = G̃(x) > ψ̃(x) = ϕ1(x),где ϕ1 (x) — функция с требуемыми свойствами.В самом деле, для x > 0 по определению имеемϕ̃(n) = sup {nx − ϕ(x)} = n xn − ϕ(xn) > nx − ϕ(x).x>0Отсюда следует, что для всех x > 0 и n ∈ N0 выполняется неравенствоϕ(x) > n x − ϕ̃(n) со знаком равенства, если x = xn .
Это означает, чтографик ϕ(x) лежит выше графика любой прямой yn = nx − ϕ̃(n) и касаетсяэтих прямых в точках (xn, ϕ(xn)), причем в них ϕ′ (xn) = n, n ∈ N0 . Прямыеyn и yn+1 пересекаются в точке ζn = ϕ̃(n+1)−ϕ̃(n) . Таким образом, функция(yn (x) = nx − ϕ̃(n),x ∈ [xn, ζn ],ϕ1 (x) =n ∈ N0 ,yn+1(x) = (n + 1)x − ϕ̃(n + 1), x ∈ [ζn, xn+1],является требуемой.Итак, докажем равенство ϕ̃1 (ζ) = ψ̃(ζ), ζ > 0. Все опорные прямыек графику ϕ1 (x) с угловым коэффициентом, равным ζ ∈ [n, n + 1], проходят через точку (ζn, ϕ1(ζn)). Учтем еще, что ϕ̃(n) = n xn − ϕ(xn) иϕ1(ζn ) = n(ζn − xn ) + ϕ(xn).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
