Диссертация (1154389), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пусть ϕ(x) — выпуклая функция от ln x , H(x) ∈ Eρ ,ρ > 0. Пусть далее, ϕ ∈ {H(x); (t, T )} , T ∈ (0, +∞) , а E — определяющеемножество для t и l = l(E) < +∞ . Тогда выполняется неравенствоT 6tгдеd=( 1c c−1 ,d,e ln dc = lρ, если l > 1,если l = 1.e,88(1.135)Доказательство. Выберем последовательность xm ∈ E , xm ↑ ∞ , так, чтобы1l(xm) < l + ε . Обозначим cm = xxm+1и β = xxm . Имеем l+2ε< c1m 6 β 6 1 дляmдостаточно больших m . Для таких m и x ∈ [xm, xm+1] из (1.131), как и втеореме 1.24, выводим соотношенияH(xm+1) = H(cm xm) = (1 + o(1)) cρm H(xm ),H(xm) = H(βx) = (1 + o(1)) β ρ H(x),m → ∞.Поскольку ϕ(xm) = (1 + o(1)) t H(xm) и функция ϕ(x) логарифмическивыпуклая, то для x ∈ [xm, xm+1] имеемϕ(x) 6 ϕ1 (x) := ϕ(xm) +ϕ(xm+1) − ϕ(xm)(ln x − ln xm ) =ln xm+1 − ln xm1(1 + o(1)) cρm − 1ln== (1 + o(1)) t H(xm) 1 +ln cmβ ρ1c−1ln= (1 + o(1)) t H(x)βρ 1 + m+ o(1) 6ln cmβcρ − 1ln cρ6 (1 + o(1)) t H(x) m ρ exp ρ m 6e ln cmcm − 1ln l1l1 − 1exp,6 (1 + o(1)) t H(x)e ln l1l1 − 1где l1 = (l + ε)ρ.

Мы воспользовались тем, что при фиксированном значенииy = (cρm − 1)/ ln cρm верноyρρmax {β (1 − y ln β)} = exp−1β∈(0,1]ρy11с точкой максимума β = exp y − ρ , и применили пункт II леммы 1.1ρyк функции ψ(y) = ρ exp y − 1 .Переходя к верхнему пределу при x → +∞ в неравенствеl1 − 1ln l1ϕ(x)6 (1 + o(1)) texp,H(x)e ln l1l1 − 1l1 = (l + ε)ρ,и затем устремляя ε к нулю, получаем утверждение теоремы.

В заключениеотметим, что оценка (1.135) точна, поскольку равенство в ней достигаетсядля функции ϕ1(x) , введенной в ходе доказательства.Наконец, выделим следующий результат, который получается из теоремы 1.25 заменой аргумента x на ex .89Теорема 1.27. Пусть H(ex ) ∈ Eρ , ρ > 1 , ϕ(z) — выпуклая функцияи ϕ(x) ∈ {H(x); (t, T )} , T ∈ (0, +∞) . Пусть, далее, множество E —определяющее для t , и индекс лакунарности l(ln E) = l < +∞ . Тогда выполняется оценка(ρ − 1)ρ−1dρT 6t,(1.136)ρρ(d − 1)ρ−1где ρ l − 1 , если l > 1,d= l−1ρ,если l = 1.В следующем пункте изучим влияние индекса лакунарности на регулярность поведения некоторых характеристик роста целых функций.1.6.2 О регулярности роста целых функцийКак и ранее, обозначаем Mf (r) = max |f (z)| .

Следуя Э. Борелю, говорим,|z|=rчто целая функция f (z) конечного порядка имеет регулярный рост, если еепорядок и нижний порядок, определяемые соответственно формуламиρf := limr→+∞ln ln Mf (r),ln rλf := limr→+∞ln ln Mf (r),ln rсовпадают, т. е. если существует пределln ln Mf (r).r→+∞ln r∞Pfmz m он доказал формулуДля порядка целой функции f (z) =ρf = limm=0n ln n.n→∞ ln |fn |−1ρf = limБорелю [106, p. 108] (см. также [144, theorem 15]) принадлежит следующийкритерий регулярности роста целой функции в терминах ее тейлоровскихкоэффициентов.∞Pfm z m конечного положительТеорема A. Целая функция f (z) =m=0ного порядка ρf имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда суln np+1ществует такая последовательность индексов np , что→ 1 приln npp → ∞ , и выполняется равенствоnp ln np.p→∞ ln |fnp |−1ρf = lim90Мы можем дополнить картину следующим утверждением.Теорема 1.28. Целая функция конечного положительного порядка имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда существует определяющая порядок, или нижний порядок, последовательность rn ր +∞ , такаячто выполняется условиеln rn+1= 1.n→∞ ln rnlim(1.137)Доказательство.

В самом деле, если функция имеет регулярный рост, то вкачестве последовательности rn можно взять любую последовательность сосвойством (1.137), например, rn = n. Если же rn — определяющая, скажем,порядок последовательность с условием (1.137), т. е.ρf := limn→∞ln ln Mf (rn),ln rnln rn+1= 1,n→∞ ln rnlimто применяем доказанное в § 1.6.1 предложение 1.23 к функциям H(r) = ln r,ϕ(r) = ln ln Mf (r) . Согласно неравенству (1.128) этого предложения имеемln rn+1ρf> ,n→∞ ln rnλf1 = limили λf > ρf ,что влечет равенство λf = ρf , означающее регулярность роста функции.Как известно (см., например, [144]), тип и нижний тип целой функции f (z)при уточненном порядке ρ(r) определяются равенствамиln Mf (r),r→+∞h(r)T = Tf = limln Mf (r),h(r)r→+∞t = tf = lim(1.138)где h(r) = rρ(r) .

В работах [127], [128] Э. Линделёф определял тип целойфункции, когда h(r) = rρ или h(r) = rρ lnα1 r lnα2 2 r · · · lnαp p r , где αk ∈ R,k = 1, ..., p , и lnp – p -ая итерация логарифма. О целой функции f (z) с характеристиками роста (1.138) будем говорить, согласуясь с определениями изпункта 1.6.1, что f (z) ∈ {h(r); (t, T )} .Ж. Валирон [144, c.45] назвал целые функции f (z) функциями очень регулярного роста относительно h(r) , если выполняется 0 < tf 6 Tf < ∞ ,и совершено регулярного роста относительно h(r) , если существует пределln Mf (r), т. е.

если Tf = tf . В дальнейшем пределы рассматриваT = limr→+∞h(r)ются при условии стремления аргумента к бесконечности, поэтому указаниена это иногда будет опускаться.91Тип целой функции f (z) =дается формулой∞Pm=0fm z m уточненного порядка ρ(r) → ρ > 0 ,plim ϕ(m) m |fm | = (T eρ)1/ρ,m→∞где ϕ(m) — обратная к h(r) функция. В монографии [144] приведен следующий критерий совершенно регулярного роста целой функции по ее тейлоровским коэффициентам.∞Pfm z m — целая функция типа Tf приТеорема B. Пусть f (z) =m=0уточненном порядке ρ(r) . Функция f (z) имеет совершенно регулярныйрост относительно h(r) = rρ(r) тогда и только тогда, когда существует последовательность индексов mn такая, что выполняются равенстваpmn+1lim= 1,lim ϕ(m) m |fm | = (Tf eρ)1/ρ.(1.139)mnm∈(mn )Так же, как теорема 1.28, доказывается и такой результат.Теорема 1.29.

Пусть ρ(r) — уточненный порядок, ρ(r) → ρ > 0 иh(r) = rρ(r) . Функция f (z) ∈ {h(r); (t, T )} имеет совершенно регулярныйрост относительно h(r) тогда и только тогда, когда тип или нижнийтип функции достигается на слабо лакунарном множестве.Доказательство. Если rn — определяющая, скажем, тип слабо лакунарнаяпоследовательность, т. е.Tf := limln Mf (rn )ρ(rn )rn,limrn+1= 1,rnто применяем предложение 1.23 к функциям ϕ(x) = ln Mf (r), h(x) = rρ(r) .Учитывая свойство уточненного порядка, имеемρ rn+1rn+1h(rn) ∼ h(rn ), n → ∞.h(rn+1) = hrn ∼rnrnИспользуя неравенство (1.128) предложения 1.23, получаем1 = limh(rn+1)Tf> ,h(rn )tfили tf > Tf ,что влечет равенство Tf = tf , означающее совершенную регулярность ростарассматриваемой функции относительно h(r) .

Обратное утверждение очевидно.92Перейдем теперь к исследованию влияния индексов лакунарности и разреженности на более тонкие, чем максимум модуля, характеристики ростацелой функции. Приведем определения.Индикатор и нижний индикатор (роста) целой функции f (z) на лучеarg z = ϕ относительно функции V (r) = rρ(r) (относительно уточненногопорядка ρ(r) ) определяются формулами соответственно [62], [135, c.

392]ln |f (reiϕ)|hf (ϕ) := lim,V (r)ln |f (reiϕ )|h f (ϕ) := sup lim,V (r)E∈E0 r∈E/где через E0 обозначен класс всех множеств нулевой относительноймеры,mes {E ∩ [0, r]}=0 .т. е. E0 = E ⊂ R+ : mes∗ E := limrЦелая функция f (z) называется функцией вполне регулярного роста налуче arg z = ϕ относительно функции V (r) = rρ(r) , если hf (ϕ) = h f (ϕ).Если это условие выполнено для всех ϕ ∈ [0, 2π), то говорят, что f (z) иметвполне регулярный рост ( относительно уточненного порядка ρ(r), или относительно функции V (r) = rρ(r) ) во всей плоскости.Условие совершенно регулярного роста функции является необходимымусловием полной регулярности роста этой функции во всей плоскости. Еслиусловие совершенной регулярности роста нарушается, то не трудно указатьлучи, вдоль которых функция заведомо не имеет вполне регулярного роста.Теорема 1.30.

Пусть целая функция f (z) ∈ {V (r); (t, T )} , t < T,и Φ = { θ ∈ [0, 2π) : hf (θ) > t } . Тогда f (z) не имеет вполне регулярного роста ни на одном луче arg z = θ ∈ Φ .Доказательство. Пусть нижний тип функции f (z) достигается на последоln M(rn )вательности rn ր ∞ , т. е. выполняется равенство t = lim. ВыберемV (rn)для θ ∈ Φ число ε > 0 настолько малым, чтобы !hf (θ) − ε > (1 + ε)(t + ε).1/ρhf (θ) − ε. Принимая во вниманиеЗатем выберем число β ∈ 1,(1 + ε)(t + ε)свойство уточненных порядков V (β −1r) ∼ β −ρV (r), r → ∞, для достаточнобольших индексов n и любых r ∈ [β −1rn , rn] имеемln |f (reiθ )| < ln M(rn ) < (t + ε)V (rn) < (t + ε)(1 + ε)β ρV (β −1rn) << (1 + ε)(t + ε)β ρV (r) < (hf (θ) − ε)V (r).Предположим, что f (z) имеет вполне регулярный рост на луче arg z = θ , т.

е.найдется множество E ⊂ E0 такое, что для всех достаточно далеких r ∈/E93выполняется неравенство ln |f (reiθ )| > (hf (θ)−ε)V (r). Тогда [β −1rn , rn] ⊂ Eдля всех натуральных n , начиная с некоторого. Отсюда вытекает оценкаhirnmes {E ∩ [0, rn ]} mes β , rn1>> 1 − > 0,rnrnβпротиворечащая условию E ⊂ E0 .Следствие 1.2.

Если нижний порядок целой функции f (z) меньше еепорядка, то эта функция не имеет вполне регулярного роста ни на одномлуче arg z = θ , на котором hf (θ) > 0 .В самом деле, в этом случае t = 0 .Нам понадобится следующая теорема Адамара.∞Pfm z m имеет радиус сходимости,Теорема C. Пусть ряд f (z) =m=0равный единице, и fm = 0 , m 6= mn , mn ∈ N , mn ր .

Если lim mmn+1> 1,nто f (z) имеет окружность |z| = 1 своей естественной границей.Это же утверждение верно (см. [9, с. 84]), еслиpmn+1lim> 1 и ∃ lim m |fm | (= 1).mnm∈(mn )Теперь несложно получить еще одно следствие теоремы 1.30.Теорема 1.31. Если степенной ряд f (z) =∞Pn=0fnz n из {rρ , (t, T )} име-ет лакуны Адамара, т. е.

Характеристики

Список файлов диссертации