Диссертация (1154389), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Зафиксируем два числа β ∗ > 0,ρ ∈ (0, 1) и поставим, следуя [79], экстремальную задачу: найти точную нижнюю граньno∗∗ ∗∗s (β ; ρ) := inf σρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ρ (Λ) = β .(3.14)Сформулируем также более общую экстремальную задачу, в постановке которой фиксируются границы изменения усредненных плотностей, как∗верхней ∆ ρ (Λ), так и нижней ∆ ∗ρ (Λ). Задача состоит в нахождении точнойнижней граниon∗∗∗∗∗∗∗s (α , β ; ρ) := inf σρ(f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α , ∆ρ (Λ) = β . (3.15)Нетрудно видеть, что эта экстремальная задача при α∗ = 0 содержит в себе задачу (3.14), именно, s ∗(0 , β ∗ ; ρ) = s ∗(β ∗ ; ρ). Решение задачи (3.15) иопределяет дальнейшее содержание раздела.Из теорем A и B параграфа 3.1.1 видно, насколько сильно усложняется ответ в экстремальной задаче (3.1) при введении в нее ограничения на нижнююплотность последовательностей нулей целых функций (задача (3.3)).

Как показало проведенное исследование, переход от обычных плотностей к усредненным в свою очередь увеличивает сложность задачи и вызывает появлениекорней некоторого трансцендентного уравнения, зависящего от обеих усредненных плотностей. Последнее обстоятельство обнаружилось первоначальнопри решении задачи (3.15) в подклассе целых функций с дискретно измеримыми нулями, изложенном в предыдущем параграфе (см. теорему 3.1).Учитывая доказанное в теореме 1.19 равенствоNΛ (r)NΛ (|λn |)= lim= ∆ ρ (Λ),ρr|λn |ρr→+∞n→∞e∆ ∗ρ (Λ) = limвидим, что теорема 3.1 дает ответ к задаче (3.15) в подклассе целых функцийс дискретно измеримыми нулями.

Снятие последнего ограничения потребовало внесения существенных изменений в метод доказательства этой теоремы.145При этом выяснилось, что отказ от дополнительного требования дискретнойизмеримости последовательности нулей не меняет величины экстремальноготипа, найденной в теореме 3.1. Доказательство такого общего результата составляет центральную часть параграфа. Следующая теорема (см. [23], [24]),представляющая и самостоятельный интерес, позволяет получить решениепервоначально поставленной экстремальной задачи (3.14).Теорема 3.3.

При заданных ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗] экстремальная величина (3.15) вычисляется по формуле1/ρaaZ 2 ∗ −ρ∗παβ a − α∗ τ −ρ ∗ ∗∗s (α , β ; ρ) = ρ + maxdτ (3.16),a>0sin πρτ +11/ρaa1eα∗где, по-прежнему, a1 и a2 — корни уравнения ξ ln = ∗ , a1 6 a2 .

Точξβ∗ ∗∗ная нижняя грань s (α , β ; ρ) достигается на экстремальной функции изтеоремы 3.1.Замечание 3.1. Как будет показано в параграфе 3.3, максимум в формуле (3.16) при любых ρ ∈ (0, 1) и 0 6 α∗ < β ∗ < +∞ действительнодостигается, причем в единственной точке. Поэтому при работе с величиной s ∗ (α∗, β ∗; ρ) допустимо писать максимум вместо супремума.Теперь из теоремы 3.3 извлекаем центральный результат, дающий решение задачи (3.14).Теорема 3.4. При фиксированных ρ ∈ (0, 1) и β ∗ > 0 экстремальнаявеличина (3.14) находится по формулеs ∗(β ∗; ρ) = C(ρ)ρeβ ∗,где величина C(ρ) определена в (3.2).Можно показать, и это будет следовать из дальнейшего, что экстремальная последовательность в теореме A является также экстремальной и в задаче (3.14) (см. также существенное дополнение к этой теореме — теорему 3.6).Из теоремы 3.4 и оценок (3.13) следуют неулучшаемые неравенства длятипа при порядке ρ ∈ (0, 1) всех целых функций с положительными нулямизаданной усредненной верхней ρ -плотности β ∗ > 0 :C(ρ)ρeβ ∗ 6 σρ(f ) 6146πρβ ∗.sin πρНепрерывная зависимость s ∗ (α∗, β ∗; ρ) от параметра α∗ , вытекающая изформулы (3.16) теоремы 3.3, влечет более сильное утверждение.Теорема 3.5.

Пусть ρ ∈ (0, 1) и β ∗ > 0. Любое значение из отрезкаπρ∗∗C(ρ)ρeβ ,βsin πρявляется ρ -типом некоторой целой функции с положительными нулями∗заданной верхней усредненной ρ -плотности ∆ρ (Λ) = β ∗ .В каждой из приведенных экстремальных задач ответ дается с помощьюнеэлементарных функций. В работе [79] А. Ю. Попов провел подробное исследование функции C(ρ). Им доказаны следующие факты:C(ρ) >1,ρeρ ∈ (0, 1),1 − ρ21−1− ρ1+O,ρ → +0.(3.17)+eeC(ρ) =ρeρНеэлементарный характер экстремальной величины из теоремы 3.1 приводит к необходимости дать развернутое исследование ее поведения. Именно, вα∗∗обозначениях k := ∗ иβ1/ρ∗πρ kC (k , ρ) :=+ ρ maxb>0sin πρ∗∗baZ2b−ρ − k ∗τ −ρdττ +1(3.18)1/ρba1мы получаем, в частности, следующие двусторонние оценки, справедливыепри всех k ∗ ∈ [0, 1] и ρ ∈ (0, 1) :ea2C ∗(k ∗ , ρ)πk ∗πk ∗∗+ a2 − k lnC(ρ) 66+ (a2 − k ∗) C(ρ).

(3.19)sin πρa1ρsin πρКроме того, при фиксированном k ∗ ∈ [0, 1] и ρ → +0 установлено асимптотическое соотношениеρρeρ−2/ρ−1/ρ1/ρ∗ ∗ρC (k , ρ) = 1 +aa ln + O a2.ln e a2 +1+ρ 21−ρ 1a1Анализ этой формулы приводит к интересным выводам о неравноправномe α∗влиянии корней уравнения ξ ln = ∗ на величину C ∗ (k ∗, ρ) при малых ρ.ξβНапример, при значениях 0 < k ∗ 6 0, 58058... меньший корень a1 вообще не147участвует в трехчленной асимптотике C ∗ (k ∗, ρ).

Случай k ∗ = 0, примыкаяк предыдущему, понимается в предельном смысле и приводит к следующемурезультатуno∗ ∗∗−1/ρ−2/ρs (β ; ρ) = β 1 + ρe+ O(e) ,ρ → +0,согласующемуся с асимптотикой (3.17).Дальнейшее изложение проведем, придерживаясь следующего порядка.В § 3.1.5 доказывается основная оценка типа функции, обосновывается точность полученной оценки и в качестве следствия выводится теорема 3.4.В § 3.1.6 устанавливается возрастание и выпуклость по параметру k ∗ величины C ∗(k ∗ , ρ). Приводятся также более точные (хотя и более громоздкие), посравнению с (3.19), равномерные двусторонние оценки C ∗ (k ∗, ρ). Кроме того,показывается, что всякая экстремальная последовательность в задаче (3.14)имеет нулевую нижнюю плотность. Параграф § 3.1.7 посвящен выводу и анализу асимптотической формулы для C ∗ (k ∗, ρ) при ρ → +0.3.1.5. Доказательство основной оценкиПусть по-прежнему f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 1) с положительными нулями Λ = Λf , а β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗ ] — фиксированные числа.Этот параграф посвящен доказательству следующего ключевого неравенства, содержащегося в (3.16) и связывающего тип целой функции с усредненными плотностями ее нулей:1/ρbaZ 2 ∗ −ρ πα∗β b − α∗ τ −ρ σρ(f ) > ρ + maxdτ ,b>0sin πρτ +11/ρba1e= α∗ / β ∗ (a1 6 1 6 a2 ).

Как и ранее,aσρ(f ) = lim r−ρ ln max |f (z)| — тип f (z), а верхняя и нижняя усредненныегде a1 и a2 — корни уравнения a lnr→+∞|z|=rплотности последовательности ее нулей подчинены условиям∗NΛ (r)= β ∗,ρr→+∞rNΛ (r)> α∗ .ρrr→+∞∆ ∗ρ (Λ) = lim∆ρ (Λ) = limНам потребуется одно вспомогательное утверждение.Пусть Λ = {λn } ⊂ R+ — упорядоченная по возрастанию последовательность положительных чисел:0 < λ1 = . . .

= λn1 < λn1 +1 = . . . = λn2 < λn3 = . . . ,148n(t) = nΛ(t) — ее считающая функция и N (t) = NΛ (t) — усредненная считающая функция. Обозначим для сокращения записи∆∗(r) :=N (r),rρ∗e := lim ∆∗(λn ),∆n→∞e∆ := lim ∆∗(r),r→+∞ν(r) :=n(r).N (r)Лемма 3.1. Пусть Λ — неизмеримая последовательность положитель∗ных чисел, т. е. ∆∗ < ∆ . Тогда найдется последовательность rj → +∞,на которой выполняются соотношения∗ν(rj ) > ρ и ∆∗(rj ) → ∆ , j → ∞.(3.20)Доказательство.

Считающая функция n(r) является кусочно-постоянной,именно n(r) = nk , r ∈ Ik := λnk , λnk+1 . Поскольку функция N (x) непрерывна на R+ и строго возрастает от 0 до +∞, то для любого k найдетсяnkтакое xk , что N (xk ) = . ПоложимρN1 = k ∈ N : xk ∈ λnk , λnk+1 , N2 = k ∈ N : xk ∈/ λnk , λnk+1и обозначим, предполагая, что k → ∞,∗∆1 := lim sup {∆∗(x)} ,k∈N1 x∈Ik∗∆2 := lim sup {∆∗(x)} .k∈N2 x∈IkЕсли какое-либо из множеств Ni , i = 1, 2, ограничено или пусто, то удобно считать, что соответствующая величина ∆∗i = 0. В любом случае будемиметь ∆∗ = max {∆∗1, ∆∗2} .

Нам предстоит рассмотреть три случая I—III.I. Начнем с рассмотрения простого случая, когда множество N2 огра∗∗ничено или пусто. Тогда, очевидно, ∆ = ∆1 . При всех достаточнобольших индексах k точка xk принадлежит интервалу λnk , λnk+1 и доставляетмаксимум функции ∆∗(x) на промежутке Ik . Действительно, для x из Ik′функция n(x) ≡ nk , и (∆∗ (x)) исчезает при x = xk , так как′(∆∗(x)) =N (x)xρ′= ρ x−ρ−1nk− N (x)ρ(штрих означает правую производную).

В этом случае получаем∗∆ = lim ∆∗(r) = lim sup {∆∗(x)} = lim ∆∗(xk ) = lim ∆∗(xkj ),r→∞k→∞ x∈Ikk→∞j→∞где kj − последовательность натуральных чисел, на которой достигается последний верхний предел.149Заметим теперь, что в точке максимума xk функции ∆∗(x) выполняется′(∆∗) (xk ) = N (xk )(xk )−ρ−1(ν(xk ) − ρ) = 0, т. е. ν(xk ) = ρ.Поэтому, полагая rj := xkj , видим, что оба условия из (3.20) выполняются:∗∆ = lim ∆∗(rj ) и ν(rj ) = ρ.j→∞II. Рассмотрим теперь случай, когда множества N2 и N1 неограничены.Для каждого k ∈ N2 функция ∆∗ (x) монотонна на промежутке Ik и поэтомуsup {∆∗(x)} = max ∆∗(λnk ), ∆∗ (λnk+1 ) .x∈IkВ этом случае будет выполняться неравенство∗˜∆2 6 ∆.(3.21)В самом деле,∗∆2 = lim sup {∆∗ (x)} = lim max ∆∗(λnk ), ∆∗ (λnk+1 ) 6k∈ N2 x∈ Ikk∈ N2˜6 lim max ∆∗(λnk ), ∆∗(λnk+1 ) 6 lim sup {∆∗ (λnm )} = ∆.k→∞k→∞ m>kМогут возникнуть лишь две ситуации:∗∗˜˜либо а) ∆1 > ∆,либо б) ∆1 < ∆.В ситуации а) из неравенства (3.21) получаемn ∗o∗∗∗∆ = max ∆1 , ∆2 = ∆1 ,что приводит к уже рассмотренному случаю, в котором мы выбрали последовательность rj = xkj .Покажем, как найти искомую последовательность rj в ситуации б), когда∗˜ В этом случае с учетом (3.21) находим∆1 < ∆.n ∗o∗∗˜˜∆ 6 ∆ = max ∆1 , ∆2 6 ∆,∗˜ Последняя величина достигается нат.

Характеристики

Список файлов диссертации