Диссертация (1154389), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Но описанное в ней поведение функции g(a) существенным образом используется при обосновании следующегофакта.Лемма 3.6. При всех достаточно малых ρ (т. е. при 0 < ρ < ρ0 (k ∗) )справедливы неравенства1a21/ρ1/ρ1/ρ− 1 < a∗ < a2 + O(a1 a2 )a2 −.(3.35)ρρρ−1ρДоказательство. Положим u := a2 < 1 и проверим, что при малых ρ > 0для функции g(a), исследованной в лемме 3.5, выполняется неравенство1−uρg a2−1> 0.

Отсюда при тех же ρ будет следовать оценка1−uρa∗ > a2Из определения (3.34) в силу неравенства ln1−uρg a2−1(3.36)−1.1> 0 имеемa11−u>a2 ρ − 11−uρa21641−uρln a2 − ρ ln a2 .Положительность правой части этого неравенства равносильна каждому изнеравенств следующей цепочки:ρ−1u−1u−1u−1u−1ρρρρ1 − a2ln a2 > (1−u) ln a2 ⇔ 1−a2 > 1−u ⇔ u > a2 ⇔ a2 > a2 ρ ⇔11⇔u<ρ⇔< ρ ⇔ (1 − 1/ρ) ln a2 < ln ρ ⇔− 1 ln a2 > ln .ρρПоследнее неравенство, очевидно, верно при всех достаточно малых ρ > 0.Итак, нами получено (3.36), откуда, воспользовавшись при µ > 0 оценкой−µe > 1 − µ, найдем1/ρ −u/ρ1/ρ1/ρ −u ln a1/ρ1/ρ2a∗ > a2 a2−1=1 − u ln a2− 1 = a2 e− 1 > a21−1/ρa2a211−1/ρ1/ρ1/ρ1/ρ=1 − a2− 1.ln a2− 1 = a2 − a2 ln a2 − 1 > a2 −ρρВ результате установлено левое неравенство в (3.35):1/ρa21/ρa∗ > a2 −a2− 1,ρ0 < ρ < ρ1 (k ∗).Теперь получим подходящую оценку корня a∗ сверху.

С этой целью возьмемv :=1 − ln a11/ρa2 a1 > 0ln a2и докажем, что для малых ρ > 0 выполняется условие 1+vg a2 ρ − 1 < 0.Имеем1+vρg a2−1=1 − a2− 1+vρ1+vρ+ ρ ln 1 + a21+vρa2 − 1 s−1/ρ1+v1 1+vln − ρ ln a2 ρ +ln a2 +a11 + a2 ρ − 1 s−1/ρ− 1 s−1/ρ<− v+− 1+va2 ρln a2 +111+v −1 1/ρ+ ρ + lna2 s< −v ln a2 + ρ + ln(av2 a1 )1/ρ <a1a1ln ae1ee v/ρ1/ρ1/ρ1/ρva2 a1 ln a2 + ln(a2 a1 ) = a1 lna − a2 < 0<−ln a2a1a1 2165при достаточно малых ρ, так как v/ρ → 0 при ρ → 0.1+vИтак, значение функции g(a) в точке a = a2 ρ − 1 отрицательно придостаточно малых ρ > 0, откуда1+v0 < ρ < ρ2 (k ∗) .a∗ < a2 ρ − 1,(3.37)Упростим оценку (3.37), огрубив ее посредством неравенстваax < (a − 1)x + 1 < ax + 1,где a > 1, x > 0.Получим1/ρ v/ρ1/ρa∗ < a2 a2 − 1 < a2=1/ρa2Таким образом,M 1/ρ,1 + a1ρa∗ <1/ρa2+Ov1 + a2ρ1/ρ= a2ln ae1 a22 1/ρa1+ln a2 ρ 1∗где M = M(k ) =11/ρ(a1 a2 ),ρa22 ln ae1ln a2=> 0.0 < ρ < ρ2 (k ∗) .Правое неравенство в (3.35), а вместе с ним и лемма 3.6 доказаны.Теперь все готово для получения двусторонних асимптотических оценокфункции C ∗ (k ∗, ρ), когда ρ → +0.Теорема 3.8.

При фиксированном k ∗ ∈ (0, 1) и ρ → +0 справедливынеравенства∗∗C (k , ρ) > 1 +∗∗−1/ρa2C (k , ρ) < 1 +−1/ρa2ρ(ln a2 + ρ)1/ρ ρ(ρ − ln a1 )−2/ρ+ a1+ O ρa2,1+ρ1−ρρ(ln a2 + ρ)1/ρ ρ(ρ − ln a1 )−2/ρ+ a1+ O a2.1+ρ1−ρДоказательство. Сперва будет установлена оценка снизу. Преобразуем функцию Ψ(a) к виду −1/ρ+∞asZZ1+aτ −ρτ −ρ∗−ρdτ+dτ+kΨ(a) = a2 a lnτ +1τ +11 + as−1/ρ0166a1/ρи найдем ее значение в точке a = a21/ρΨ(a2 ) =1ln a2 + k ∗ρZ+∞:1/ρτ −ρdτ + k ∗τ +1Za1τ −ρ−1/ρ1/ρdτ + ln(1 + a2 ) − ln(1 + a1 ).τ +101/ρa2Для оценки первого из интегралов воспользуемся справедливым при всех1τ > 0 неравенством> 1 − τ −1 + τ −2 − τ −3 , что дает−11+τZ+∞τ −ρdτ =τ +11/ρZ+∞1/ρa2τ −1−ρdτ >1 + τ −1Z+∞τ −1−ρ(1 − τ −1 + τ −2 − τ −3 ) dτ =1/ρa2a2−1/ρ−1−2/ρ−1−3/ρ−1a−1aaa= 2 − 2+ 2− 2.ρ1+ρ2+ρ3+ρ1> 1 − τ , оцениваем второй интеграл:Теперь, привлекая неравенство1+τ1/ρZa11/ρτ −ρdτ >τ +10Za11/ρ−1(τ0Применяя еще неравенства x −ln(1 +−ρ−1/ρa2 )>−1/ρa22/ρ−1aa) dτ = 1− 1.1−ρ2−ρx2 x3x2< ln(1 + x) < x −+ , x > 0, имеем223−2/ρa− 22−τ1−ρиln(1 +1/ρa1 )<1/ρa12/ρ3/ρaa− 1 + 1 .23eeТаким образом, с учетом связи k ∗ = a2 ln= a1 ln , при ρ → +0 полуa2a1чаем!−1/ρ−1−2/ρ−1−3/ρ−11/ρ−12/ρ−1−11aaaaaa21/ρΨ(a2 ) > ln a2 + k ∗− 2+ 2− 2+ 1− 1+ρρ1+ρ2+ρ3+ρ1−ρ2−ρ3/ρ2/ρa11a1k∗−1/ρ−−= + a2++1−23ρa2 (1 + ρ)k∗1k∗k∗−2/ρ2/ρ 11/ρ+ a2−− 1 + a1−+ a1−a2 (2 + ρ) 2a1 (1 − ρ)2 a1 (2 − ρ)−1/ρ 3/ρ1a2ea1k∗−3/ρa=++1 + ρ − ln−−a2 (3 + ρ) 23ρ1+ρa2−1/ρ+ a2−2/ρa− 221/ρa11671/ρ a1e2/ρ−2/ρ+=+ O a1ln − 1 + ρ + O a21+ρa112/ρ−1/ρ ln a2 + ρ1/ρ ρ − ln a1−2/ρ.+ O a1+ a1+ O a2= + a2ρ1+ρ1−ρ2/ρ−2/ρИз леммы 3.4 следует, что O a1= O a2, поэтому окончательнозапишем11/ρ−1/ρ ln a2 + ρ1/ρ ρ − ln a1−2/ρΨ(a2 ) > + a2+ a1+ O a2.ρ1+ρ1−ρИтак, при фиксированном k ∗ ∈ (0, 1) и ρ → +0 справедливо неравенство1/ρ ρ(ρ − ln a1 )−2/ρ−1/ρ ρ(ln a2 + ρ)∗ ∗+ a1+ O ρa2.C (k , ρ) > 1 + a21+ρ1−ρПереходя к оценке сверху, напомним, чтоρ−1 C ∗ (k ∗, ρ) = max Ψ(a) = Ψ(a∗ ) =a>0=a2 a−ρ∗ ln1 + a∗+ k∗−1/ρ1 + a∗ sДалее, ln(1 + a∗ ) = ln a∗ + ln(1 +a∗Zs−1/ρτ −ρdτ + k ∗1+τ0a−1∗ )< ln a∗ +a−1∗Z+∞a∗τ −ρdτ .1+τa−3a−2∗+ ∗ ,−23a2∗ s−2/ρ.

Поэтому2a−3a2∗ s−2/ρa−2∗∗−1/ρ−ρ−1+− a∗ s+.< a2 a∗ ln a∗ + a∗ −232ln(1 + a∗ s−1/ρ) > a∗ s−1/ρ −a2 a−ρ∗ ln1 + a∗1 + a∗ s−1/ρДля оценки интегралов в представлении Ψ(a∗ ) воспользуемся неравенствами11< 1 − τ + τ2 ,< 1 − τ −1 + τ −2 , в которых τ > 0 . Тогда−11+τ1+τa∗Zs−1/ρ−ρτdτ <1+τ0a∗Zs−1/ρ0(τ −ρ − τ 1−ρ + τ 2−ρ) dτ =2−ρ3−ρ1−ρa∗ s−1/ρa∗ s−1/ρa∗ s−1/ρ−+;=1−ρ2−ρ3−ρZ+∞Z+∞ −1−ρZ+∞ −ρττdτ <dτ =(τ −1−ρ − τ −2−ρ + τ −3−ρ) dτ =−11+τ1+τa∗a∗a∗168a−ρa∗−ρ−1a∗−ρ−2∗=−+.ρρ+1ρ+2Следовательно,−1∗∗ρ C (k , ρ) <a−ρ∗a∗−ρ−1a2 a−ρ∗ln a∗ +a∗−ρ−2a−1∗a−3a2∗ s−2/ρa−2∗∗−1/ρ+− a∗ s+−232−1/ρ 1−ρ+−1/ρ 3−ρ!a∗ sa∗ s+=ρρ+1ρ+22−ρ3−ρ∗∗∗kkkaa2 a∗−ρ−32−ρ−ρ−1−ρ−2= a∗ a2 ln a∗ +−+a2 −+a∗−a∗+ρρ+12ρ+23 ∗ ∗−1/ρ 3−ρ∗askaksks∗2−1/ρ−2/ρ+ a1−ρ− a2 − a2−ρ−.+∗ s∗ s1−ρ2−ρ23−ρ+ k∗−++a∗ s1−ρ−1/ρ 2−ρ−Замечая, чтоk∗1a2−> (a2 − k ∗) > 0,2ρ+2 2k∗sa21a2−> (k ∗s − a2 ) = − ln a1 > 0,2−ρ222и отбрасывая отрицательные слагаемые, получим∗∗kk+ a∗−ρ−1 a2 −+a2 ln a∗ +ρ−1 C ∗ (k ∗, ρ) < a−ρ∗ρρ+1−ρ−3−1/ρ 3−ρ∗∗askksaa∗∗2−1/ρ+ a1−ρ− a2 ++.∗ s1−ρ33−ρk∗−ρдоНепосредственно проверяется, что функция h(a) := aa2 ln a +ρ1/ρстигает (глобального) максимума на луче a > 0 в точке a = a2 .

Поэтому∗∗1k1k1/ρ= .= h(a∗ ) 6 h(a2 ) =ln a2 +a−ρa2 ln a∗ +∗ρρa2ρПродолжая оценку C ∗(k ∗, ρ), запишемk∗1−ρ−1a2 −ρ C (k , ρ) < + a∗+ρρ+1−1−1/ρ+a1−ρ∗ s∗∗3−ρa2 a∗−ρ−3 k ∗ a∗ s−1/ρk∗s− a2 ++.1−ρ33−ρ169(3.38)Осталось воспользоваться леммой 3.6. Во-первых, из (3.28) и левого неравенства (3.35) заключаем, что∗kln a2 + ρln(e/a)2a∗−ρ−1 a2 −<= a∗−ρ−1a2 1 −= a∗−ρ−1a2ρ+1ρ+1ρ+1<1/ρa2 −a2−1ρ−ρ−1a2ln a2 + ρ−1/ρ ln a2 + ρ= a2ρ+1ρ+1!−ρ−11−1/ρК выражению1−a2ρ−1/ρ1−1−1/ρa2ρ−1/ρ− a2!−ρ−1применим неравенства− a2(1 − x)1+ρ > 1 − (1 + ρ)x,1< 1 + 2x,1 − (1 + ρ)xx∈x ∈ (0, 1),1−ρ0,.2(1 + ρ)В результате при всех достаточно малых ρ > 0 будем иметь!−ρ−11−1/ρa2a2−1/ρ−1/ρ− a2+ 1 a2 .<1+21−ρρОтсюда выводим оценку второго слагаемого в (3.38):a2k∗−1/ρ−1/ρ ln a2 + ρ−ρ−1+ 1 a2< a21+2a∗a2 −=ρ+1ρ+1ρ1 −2/ρ−1/ρ ln a2 + ρ= a2+Oa,ρ → +0 .ρ+1ρ 2Для оценки третьего слагаемого в (3.38) применим правое неравенство (3.35): ∗ ∗k s1k1−ρ −1/ρ1−ρ −1/ρa∗ s− a2 = a∗ s·−1 =a21−ρa1 1 − ρ1−ρ1 1/ρρ − ln a11/ρ1−1/ρ 1/ρ ρ − ln a1< a2a1a2=a11+O=1−ρρ1−ρ1−ρ1 2/ρ1 1/ρ1/ρ ρ − ln a11/ρ ρ − ln a1aa1< a1+Oa, ρ → +0.= 1+Oρ 11−ρ1−ρρ 11−1/ρ 1/ρa1−ρa1∗ a21/ρНаконец, поскольку из (3.35) вытекает, что a∗ ∼ a2 при ρ → +0 , тоa2 a∗−ρ−31 −2/ρ−3/ρ= O a2a=O,3ρ 2170.k ∗ a∗ s−1/ρ3−ρ3−ρk ∗ 3/ρ−1 1−3/ρ k ∗ 3/ρ−1∼aas==O3 23 11 2/ρa,ρ 1ρ → +0.В очередной раз привлекая лемму 3.4, из (3.38) при ρ → +0 выводим оценку1 −2/ρ1−1/ρ ln a2 + ρ1/ρ ρ − ln a1−1 ∗ ∗+ a1+Oa,ρ C (k , ρ) < + a2ρ1+ρ1−ρρ 2которая и завершает доказательство теоремы 3.8.Сочетание оценок из теоремы 3.8 приводит к искомой асимптотике экстремальной величины C ∗ (k ∗, ρ).Следствие.

При фиксированном k ∗ ∈ (0, 1) и ρ → +0 справедлива содержащая корни уравнения (3.28) асимптотическая формула∗∗C (k , ρ) = 1 +−1/ρa2ρ(ln a2 + ρ)1/ρ ρ(ρ − ln a1 )−2/ρ+ a1+ O a2.1+ρ1−ρ(3.39)Следствие из теоремы 3.8 при фиксированных 0 < α∗ < β ∗ < +∞ и ρ → +0с учетом формулы (3.16) дает−1/ρ ρ(ln a2 + ρ)1/ρ ρ(ρ − ln a1 )−2/ρ∗∗∗∗s (α , β ; ρ) = β 1 + a2+ a1.+ O a21+ρ1−ρКак уже отмечалось во введении, асимптотика (3.39) справедлива и приα∗ = 0, когда a1 = 0, a2 = e.

Таким образом,no−1/ρ−2/ρ∗ ∗∗+ O(e) ,ρ → +0.s (β ; ρ) = β 1 + ρeВыписанное соотношение демонстрирует близость при малых ρ наименьшихзначений типов целых функций порядка меньше единицы в случаях расположения их нулей на одном луче и произвольно на плоскости.Интересное обстоятельство обнаруживается при более детальном анализеформулы (3.39). Из леммы 3.4 можно заключить, что первые два слагаемыхв (3.39) преобладают над оставшимися. Для сравнения скоростей стремленияк нулю двух последних слагаемых асимптотики (3.39) необходимо выяснить,какое из чисел больше: a1 или a−22 . Учитывая представления корней уравнения (3.28), использованные в лемме 3.4, сводим задачу к сравнению чисел−2ses 1−s и e−2s 1−s .

Условие a1 < a−22 эквивалентно цепочке равносильных неравенствs+2a1 a22 < 1 ⇔ s 1−s e3 < 1 ⇔ 3 −s−1s+2ln s < 0 ⇔ ln s − 3> 0.s−1s+2171Элементарное исследование и компьютерные вычисления показывают, чтопоследнее неравенство равносильно условию s > s0 := 8, 57736 ... . Это с уче11−s ln sesсовпадает с ограничением k ∗ < k0∗ := 0, 58058 ... .том равенства k ∗ =s−1Сказанное выше позволяет упростить вид асимптотической формулы (3.39)на различных промежутках изменения k ∗.Теорема 3.9.

Для экстремальной величины (3.18) справедливы асимптотические соотношения−1/ρ ρ(ln a2 + ρ)−2/ρ∗ ∗C (k , ρ) = 1 + a2+ O a2, k ∗ ∈ (0, k0∗ ] ,1+ρρ(ln a2 + ρ)1/ρ+ O ρa1C (k , ρ) = 1 +, k ∗ ∈ (k0∗, 1),1+ρдействующие при фиксированном k ∗ ∈ (0, 1) и ρ → +0 .∗∗−1/ρa2Результаты этого параграфа относятся к целым функциям с нулями заданных усредненных плотностей, расположенными на одном луче. Разработанные здесь новые методы послужат основой дальнейшего исследования поведения целых функций с нулями, лежащими на нескольких лучах и болеесложных подмножествах комплексной плоскости. Естественно начать такоеисследование со случая, когда нули распределены на правильной системелучей и имеют заданные обычные верхнюю и нижнюю плотности.

Затемв §§ 3.3, 3.4 будут систематически изучены экстремальные проблемы ростацелых функций с нулями фиксированных усредненных плотностей, распределенными в одном или нескольких углах и более широких множествах.3.2 О типе целой функции с нулями на лучахПусть f (z) — целая функция ρ -типа σρ (f ) . В дальнейшем предполагаем,что f (z) имеет бесконечно много нулей Λ = Λf := {λn }n∈N , поскольку именно эта ситуация с точки зрения решаемых задач является содержательной.Сохраняем обозначения для считающей функции этой последовательностиPnΛ(t) :=1 и ее верхней и нижней ρ - плотностей ∆ ρ (Λ), ∆ ρ (Λ) .|λn |6tВопрос о влиянии роста nΛ(t) и геометрии расположения нулей в комплексной плоскости на асимптотическое поведение целой функции исследовался многими математиками, но полного решения до сих пор не имеет и остается актуальным.

Характеристики

Список файлов диссертации