Диссертация (1154389), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Случай правильного расположения нулей подробно изучен172в классической теории целых функций вполне регулярного роста Б. Я. Левина и А. Пфлюгера (см. [62], [133], [134]). При отсутствии „правильности“ враспределении нулей даже более простая зависимость между ростом максимума модуля целой функции и распределением ее нулей на плоскости ещенедостаточно изучена. В общем случае, когда ∆ ρ (Λ) > ∆ ρ (Λ) , не существует явных формул, выражающих тип функции через плотности ее нулей. Издесь на передний план выходит задача нахождения точных оценок, связывающих ρ -тип и ρ -плотности, учитывающих также геометрию расположениянулей на плоскости. Такая задача потребовала специальных методов исследования (см., например, цикл статей А.

А. Гольдберга [40]–[43]). Новый импульсразвитию этой тематики придали работы А. Ю. Попова [80]–[81]. Так, в статье [79] для целых функций порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями Λ , расположеннымина одном луче, доказана точная оценкаσρ (f ) > ∆ ρ (Λ) C(ρ),C(ρ) = max a−ρ ln(1 + a).гдеa>0(3.40)Оценка (3.40) говорит о влиянии расположения нулей Λ ⊂ R+ на наименьший возможный рост целой функции, который в общем случае произвольного расположения нулей на плоскости ( Λ ⊂ C ) описывается точнымрезультатом Валирона–Левина (см. [143], [62]):σρ (f ) >1∆ ρ (Λ).eρ(3.41)Степень указанного влияния при малых ρ видна из неравенств (см.

[79])112111+ e−1− ρ < C(ρ) <+ e−1− ρ + e−1− ρ ,eρeρρρ ∈ (0, e−1).(3.42)Возникают естественные вопросы о наименьшем возможном ρ -типе целыхфункций, когда их нули расположены не на одном, а на нескольких лучах илипрямых. В следующих параграфах даются полные ответы на эти вопросы.3.2.1 Оценка типа целой функции через верхнюю плотность еенулейИзучим сначала ситуацию, когда нули целой функции лежат на m лучах, исходящих из начала координат и разбивающих комплексную плоскостьна равные углы.

Будем использовать прием „симметризации“ (см., например, [4], [92]). Предварительно для m ∈ N обозначимnlk = z ∈ C : z = rei (2k+1)πmo, r > 0 , k = 0, 1, . . . , m − 1,173Vm =m−1[k=0lk .Не ограничивая общности, в дальнейшем считаем, что f (0) = 1 .Теорема 3.10. Пусть m ∈ N , и f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, m)с нулями Λf = Λ ⊂ Vm .

Тогда справедливо неравенство∆ ρ (Λ) ρ ∆ ρ (Λ)ln(1 + a)σρ (f ) >Cmax.(3.43)=ρa>0mmmamДля каждой пары m ∈ N и ρ ∈ (0, m) существуют целые функции f ∗(z)порядка ρ ∈ (0, m) с нулями Λf ∗ ⊂ Vm , доставляющие равенство в (3.43),причем все такие функции имеют нулевую нижнюю ρ -плотность нулейи нулевой нижний ρ -тип, т. е.σ ρ (f ∗) := lim r−ρ ln Mf ∗ (r) = 0.∆ ρ (Λf ∗ ) = 0,r→+∞Доказательство. Если ∆ ρ (Λ) = 0 или +∞ , то заявленное неравенство (3.43) очевидным образом выполняется.

Пусть теперь ∆ ρ (Λ) ∈ (0, +∞) .При нецелых ρ величина σρ(f ) ∈ (0, +∞) . При целых ρ не исключено,что σρ (f ) = +∞ , однако нас интересует наименьшее возможное значениеρ -типа. Согласно хорошо известной теореме Адамара ([62], гл. I, §10) целуюфункцию f (z) можно представить в виде произведения∞ Yzq(z)e pn (z) ,(3.44)f (z) = e1−λnn=1в которомzz2zppn (z) =++ ... + p,λn 2λ2npλnа число p и степень многочлена q(z) не превосходят ρ .

Кроме того, q(0) = 0в силу нашего соглашения f (0) = 1 .Обозначим через2πjεj = e i m ,j = 0, 1, . . . , m − 1,корни степени m из единицы и рассмотрим функциюF (z) =m−1Y(3.45)f (εj z).j=0Поскольку для любого многочлена Q(z) =выполняется равенствоm−1Xj=0Q(εj z) =m−1X m−1Xj=0 s=1Qsz s εsj=m−1XQs zs=1174sm−1PQs z s без свободного членаs=1m−1Xj=0εsj ≡ 0,z ∈ C,(3.46)то выражение (3.45) для функции F (z) можно преобразовать к видуF (z) =m−1Yen=1j=0m−1P= e j=0q(εj z)∞ m−1YYn=1 j=0∞ Yq(εj z)εj z1−λnm−1Pe j=0εj z1−λnpn (εj z)e pn (εj z) =∞ m−1YY=n=1 j=0εj z1−λn.(3.47)π(2kn +1)Положим λn = rn e i m , где rn ր +∞ , а kn ∈ {0, 1, .

. . , m − 1} ,n ∈ N . Изменяя при необходимости порядок сомножителей, перепишем последнее внутреннее произведение из формулы (3.47) в видеm−1Yj=0=m−1Yπ(1+2(kn −j))zm1 − e−irn−i π(1+2s)m(−1) es=0= e iπ[π(1+2s)z− ei mrn]1m− m(m+(m−1)m)=m−1Ys=0π(1+2s)z1 − e−i mrnπ−i m= e iπm em−1Ys=0m−1P(1+2s)s=0π(1+2s)z− ei mrnm−1Ys=0=zrn=π(1+2s)z− ei mrnm=+ 1.(2s+1)πНа последнем этапе вычислений мы учли, что e i m , s = 0, 1, . . . , m − 1 ,дают все значения корня степени m из −1 . В итоге из (3.47) получаем дляфункции F (z) следующее представление: m ∞ Yz.(3.48)F (z) =1+rnn=1Установим теперь связь между ρ -типами исходной функции f (z) и функции F (z) , заданной формулой (3.45).

ПосколькуMF (r) = max |F (z)| 6|z|=rтоm−1Yj=0max |f (εj z)| = [Mf (r)]m ,|z|=rσρ (F ) = lim r−ρ ln MF (r) 6 m lim r−ρ ln Mf (r) = σρ (f ).r→+∞r→+∞Таким образом, выполняется неравенствоσρ (f ) >1σρ (F ).m175(3.49)Нули функции F (z) , как это видно из (3.45) или (3.48), образуют множествоΛF =m−1[nrn ei (2k+1)πmk=0o⊂ Vm ,где rn = |λn | .Hа каждом луче lk , k = 0, . . .

, m − 1, они имеют верхнюю ρ -плотностьβ := limn→∞nΛf (r)n= ∆ ρ (Λf ).ρ = limrn r→+∞ rρСледовательно, ∆ ρ (ΛF ) = m β. Обозначим µn = rnm и рассмотрим функцию∞ Yz.(3.50)L(z) =1+µnn=1Нули этой функции лежат на отрицательной полуоси, образуя последовательность ΛL = {−µn } . При этом∆ mρ (ΛL ) = limn→∞nρmµn= limn→∞n= β.rnρСравнивая (3.48) и (3.50), видим, что F (z) = L(z m ) , откуда MF (r) = ML (rm ),и потому σρ (F ) = σ mρ (L) . Оценим снизу тип функции L(z) при порядке ρ/m.Согласно (3.40) имеемρ,σ mρ (L) > β Cmоткуда с учетом (3.49) придем к неравенству (3.43):1β ρ1σρ(f ) >.σρ (F ) =σ ρ (L) >Cmm mmmДокажем достижимость равенства в (3.43) при каждом m и любом ρ ∈ (0, m) .С этой целью рассмотрим экстремальную функцию∞ Yz∗ΛL∗ = {−µ∗n } ⊂ R− ,L (z) =1+ ∗ ,µnn=1удовлетворяющую равенству (см.

[80])σρ1 (L∗) = β1 C(ρ1)с параметрами ρ1 = ρ/m < 1 , β1 = ∆ρ1 (ΛL∗ ) . Построим по ней функцию∞ Yzm∗∗ mf (z) = L (z ) =1+ ∗ ,µnn=1176нули которойΛf ∗ =m−1[nk=0pmµ∗n e i(2k+1)πmo⊂ Vmраспределены одинаково на каждом луче lk , k = 0, 1, . . . , m − 1. Ясно, чтоверхняя ρ -плотность нулей на любом таком луче в m раз меньше верхнейρ -плотности всей последовательности Λf ∗ , т. е.∆ρ (Λf ∗ )nn= lim √lim=ρρ = ∆ρ1 (ΛL∗ ) = β1 .n→∞ ( m µ∗n )n→∞ (µ∗n ) 1mКроме того,ln f ∗(r)ln L∗(rm )= lim=σρ(f ) = limρr→+∞r→+∞ (r m ) 1rρ∆ρ (Λf ∗ ) ρ ∗= σρ1 (L ) = β1 C(ρ1) =C.mm∗Таким образом,∆ρ (Λf ∗ ) ρ C,σρ (f ) =mmи функция f ∗ (z) реализует равенство в (3.43).Наконец, тот факт, что у любой экстремальной функции нижняя ρ -плотность корней равна нулю, вытекает из [31, §2, следствие 1], а равенство нулюнижнего ρ -типа — из [34, с.

205]. Теорема доказана.∗В работе [81], посвященной экстремальным задачам для целых функцийf (z) без нулей в угле заданного раствора, А. Ю. Попов высказал следующуюгипотезу: точная нижняя грань Cθ (β, ρ) типов целых функций порядкаρ ∈ (0, 1) с нулями заданной верхней ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β , не лежащими в угле фиксированного раствора θ ∈ (0, π) , удовлетворяет строгомунеравенству1Cθ (β, ρ) >β.(3.51)ρeТеорема 3.10 в сочетании с неравенством (3.42) проливает дополнительныйсвет на эту проблему, поскольку дает при θ = 2πm оценку сверху неизвестнойпока для θ ∈ (0, π) величины Cθ (β, ρ) :1 −1− 2m11 −1− mρρC 2π+ e,m > 2.+ e(β, ρ) < βmρe mρОбратим внимание на вытекающий отсюда экспоненциальный характер близости друг к другу обеих частей предполагаемого неравенства (3.51) при малых ρ или больших m .1773.2.2 Оценка типа целой функции через верхнююи нижнюю плотности ее нулейПродолжим изучение целых функций с нулями на m лучах, учитываятеперь не только верхнюю, но и нижнюю ρ -плотность последовательностинулей.

Базовая ситуация m = 1 обстоятельно изучена в работе [31]. Какпоказано в [31], ρ -тип произвольной целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1)с нулями Λf ⊂ R+ , имеющими ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β и ∆ ρ (Λf ) > α ,удовлетворяет оценкеσρ (f ) > β C(k, ρ),гдеπkC(k, ρ) =+ maxa>0sin πρk = α/β ∈ [0, 1],(3.52)Za(3.53)a−ρ − kτ −ρdτ.τ +1ak 1/ρПрименяя метод, разработанный в предыдущем пункте, сведем случайm > 2 к рассмотренному в [31]. Итак, пусть m ∈ N, m > 2, β > 0, α ∈ [0, β] .Пусть далее f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, m) с последовательностью нулей Λf = Λ ⊂ Vm , имеющей ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β и ∆ ρ (Λf ) > α .Действуя по схеме доказательства теоремы 3.10, вводим по правилу (3.45)функцию F (z) , допускающую представление (3.48), и определяем L(z) формулой (3.50).

Однако теперь при работе с mρ -типом функции L(z) используемвместо (3.40) неравенство (3.52). Привлекая соотношение (3.49) и учитываясвязь σρ(f ) = σ mρ (L), приходим в итоге к следующему результату.Теорема 3.11. Пусть m ∈ N, m > 2, β > 0, α ∈ [0, β], и f (z) — целаяфункция порядка ρ ∈ (0, m) с нулями Λf ⊂ Vm , имеющими ρ -плотности∆ρ (Λf ) = β, ∆ ρ (Λf ) > α . Тогда выполняется неравенствоaZρρβ ρβ  πka− m − kτ − m σρ (f ) > C k,dτ ,(3.54)=+ maxa>0mmm sin πρτ +1mak 1/ρгде k = α/β . Для каждого фиксированного набора параметров m, ρ, β, αсуществует целая функция из указанного в условии класса, доставляющаяравенство в (3.54).Нетрудно заметить, что при α = 0 утверждение теоремы 3.11 совпадаетс утверждением теоремы 3.10.

Любопытен и другой крайний случай α = β.Если выполняется равенство ∆ρ (Λ) = ∆ ρ (Λ) , то говорят, что последовательность Λ измерима, а общее значение нижней и верхней ρ -плотностей,178обозначаемое ∆ρ (Λ), называют ее ρ -плотностью. При α = β из неравенства (3.54) для типа целой функции f (z) с измеримой последовательностьюнулей Λf ⊂ Vm получаем оценкуσρ (f ) >β π,m sin πρmρ ∈ (0, m).(3.55)Равенство заведомо достигается для канонических произведений вида (3.48)f (z) = Π(z) =∞ Yn=11+zrnm ,нули которых ΛΠ распределены симметрично на всех лучах из системы Vmβnна каждом из них.с ρ -плотностью ∆ρ (ΛΠ ) = lim ρ =n→∞ rnmВозникает естественный вопрос: только ли для таких функций f (z) в оценке (3.55) имеет место знак равенства? Автору не известен полный ответ наэтот вопрос.

Можно лишь утверждать, что неравенство в (3.55) будет строгим, даже для целых функций вполне регулярного роста, если на каждом луче из Vm последовательность нулей измерима с общей величиной ρ -плотности∆ ρ(ΛΠ ) = β , но значение ρ -плотности хотя бы на одном из лучей отличноβот. Последний факт для m = 2 подмечен в [97].m3.2.3 Целые функции с нулями на прямойВ вопросах интерполяции, полноты систем экспонент, негармоническихрядов Фурье особый интерес представляют целые функции с вещественныминулями.

Характеристики

Список файлов диссертации