Диссертация (1154389), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

(3.71)τρ(aa2ρ )−1{z|}I2Интегралы I1 и I2 в этой оценке возьмем по частям, используя равенство′bτ+1τ ρ (bτ 2 + 2τ + b)ρK(τ ) = − τ=.τ 2 + 2bτ + 1(τ 2 + 2bτ + 1)2Для I1 получим:Z+∞Z+∞I1 =K(τ ) dτ = −τ ρd0bτ + 1τ 2 + 2bτ + 10Z+∞+ρτ ρ−1bτ + 12τ + 2bτ + 10= − τρdτ =+∞bτ + 1 +2τ + 2bτ + 1 0πρcos ρθ.sin πρПри вычислении последнего интеграла использовалась известная формула(см. [82, гл. 2, раздел 2.2.9]). Таким образом,πρI1 =cos ρθ.(3.72)sin πρАналогично вычисляем интеграл I2 :1I2 = −ρ −1(aaZ1 )1(aa2ρ )−1=−β ∗a−ρ ln e(aτ )ρ − α∗ τρbτ + 1dτ 2 + 2bτ + 1=(aa1ρ1 )−1 ∗ −ρbτ + 1ρ∗ ρ βalne(aτ)−ατ ρ1 −1 +τ 2 + 2bτ + 1(aa2 )1+ρρ −1(aaZ1 )(β ∗a−ρ − α∗ τ ρ )(bτ + 1) dτ.τ 2 + 2bτ + 1τ1(aa2ρ )−1193Проверим, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. Действительно,∗αe−β ∗a−ρ ln e(aτ )ρ − α∗ τ ρ = β ∗ τ ρ (aτ )−ρ ln,(aτ )−ρ β ∗α∗e− ∗ = 0, посколькуaiβai , i = 1, 2, — корни уравнения (3.62).

Следовательно,1а выражение в скобках при τ = (aaiρ )−1 дает ai ln1I2 = ρρ −1(aaZ1 )(β ∗a−ρ − α∗ τ ρ )(bτ + 1) dτ,τ 2 + 2bτ + 1τ1(aa2ρ )−1или, после замены переменной t = τ −1 ,1/ρI2 = ρaaZ2(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + b)dt.t2 + 2bt + 1(3.73)1/ρaa1Подводя итог последним преобразованиям, из (3.71)–(3.73) получаем1/ρaaZ2 πα∗(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + b) σρ(F )> ρcos ρθ +dt.2sin πρt2 + 2bt + 11/ρaa1Заметим теперь, чтоMF (r) = max |F (z)| = max |f (z)||f (z)| 6 max |f (z)|2 = Mf2 (r),|z|=rоткуда|z|=r|z|=rσρ(F ) = lim r−ρ ln MF (r) 6 lim r−ρ ln Mf2 (r) = 2σρ(f ).r→+∞r→+∞Таким образом, πα∗σρ (F )σρ (f ) >> ρ sin πρ cos ρθ +2или, вспоминая, что b = cos θ, πα∗σρ (f ) > ρ  sin πρ cos ρθ +1/ρaa1Z1/ρaa1(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + b) dt,t2 + 2bt + 11/ρaaZ21/ρaa2(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ)(t + cos θ) dt.2t + 2t cos θ + 1194(3.74)Наконец, используя свободу в выборе параметра a > 0, приходим к требуемой оценке (3.61):1/ρaaZ2 πα∗(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + cos θ) σρ(f ) > ρ cos ρθ + maxdt.a>0sin πρt2 + 2t cos θ + 11/ρaa1Осталось рассмотреть случай измеримой последовательности нулей целойфункции, когда существует пределlimr→+∞N (r)= α∗ = β ∗ .ρrЗдесь для любых ε > 0 и r > 0 найдется число c такое, что при всех τ > c/rвыполняетсяβ∗∗∗∆ (rτ ) > βε =.1+εОценивая интеграл в (3.67), с учетом формулы (3.72) имеемZ+∞Z+∞Z+∞∆∗ (rτ ) K(τ ) dτ >∆∗(rτ ) K(τ ) dτ > βε∗K(τ ) dτ =0c/r= βε∗ I1 −Zc/r0c/rπρcos ρθ + o(1),K(τ ) dτ  = βε∗sin πρr → +∞.Переход в (3.67) к верхнему пределу при r → +∞ даетσρ (f ) >σρ(F )πρ> βε∗cos ρθ,2sin πρчто при ε → 0 приводит к оценке, совпадающей при α∗ = β ∗ с (3.61).

Действительно, когда α∗ = β ∗ имеем a1 = a2 = 1 , и интеграл в оценке (3.13)пропадает.3.3.2 Доказательство теоремы 3.16: построениеэкстремального примераe = (λn )∞ ,Сейчас нам необходимо построить такую последовательность Λn=1πлежащую в угле Γθ = {z ∈ C : | arg z| 6 θ} , θ ∈ [0, 2 ], с усредненной считающей функцией NΛe (r), чтобы выполнялись равенства∗e = lim NΛe (r) = β ∗,∆ρ (Λ)r→+∞rρe = lim NΛe (r) = α∗ ,∆ ∗ρ (Λ)rρr→+∞195(3.75)а ρ -тип экстремальной целой функцииYz,f0(z) =1−λneλn ∈Λe , вычислялся согласно формулесоставленной по Λ1/ρaaZ2 πα∗(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + cos θ) σρ (f0) = ρ cos ρθ + maxdt,a>0sin πρt2 + 2t cos θ + 11/ρaa1e= α∗ / β ∗ .aПусть сначала α∗ = 0 .

В этом случае корнями уравнения (3.62) являютсячисла a1 = 0, a2 = e, и оценка (3.61) принимает видгде a1 и a2 — корни уравнения (3.62): a lnσρ(f ) > ρ maxa>0aeZ 1/ρβ ∗a−ρ (τ + cos θ)dτ =τ 2 + 2τ cos θ + 10ae1/ρln(b2 + 2b cos θ + 1)ln(τ 2 + 2τ cos θ + 1) β ∗ eρβ ∗ρ.maxmax==ρb>02 a>0aρ2b0На последнем шаге вычислений мы обозначили b = ae1/ρ.

Этим доказана оценка (3.63). Точность этой оценки вытекает из следующего результатаА. Ю. Попова (см. [81, теорема 3.1]), который сформулируем в удобной длянас форме:тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями, расположенными в угле раствора 2θ ∈ [0, π] и имеющими верхнюю ρ -плотность∆ρ = β, удовлетворяет оценкеln(a2 + 2a cos θ + 1)β;σρ(f ) > max2 a>0aρсуществует целая функция f0 (z) , реализующая равенство в этой оценке.Действительно, в силу неравенства (3.66) экстремальная функция, найденная А. Ю.

Поповым, доставляет равенство в оценке теоремы 3.17, поскольку с учетом этой оценки имеемln(a2 + 2a cos θ + 1)β ∗eρmax62 a>0aρ6 σρ(f0) =ln(a2 + 2a cos θ + 1)ln(a2 + 2a cos θ + 1)β ∗eρβmax6max.2 a>0aρ2 a>0aρ196К тому же, нетрудно проверить, что нули функции f0(z) обладают нижними ρ -плотностями ∆ ρ = ∆∗ρ = 0 (см. также в конце § 3.3.6 замечание 1.2об экстремальных функциях).

Часть теоремы 3.16, соответствующая случаюα∗ = 0 , доказана. Тем самым, установлена теорема 3.17.Рассмотрим теперь случай 0 < α∗ 6 β ∗ . Распределим искомую последоe одинаково на сторонах угла Γθ , положиввательность Λarg λn = (−1)nθ,|λ2k−1| = |λ2k | = rk ,и образуем функцию 2 ! Y∞ ∞Yzzz2zf0(z) =1−.cosθ+1−=1−iθ−iθrererrnnnnn=1n=1(3.76)В такой форме записи экстремальной функции сводим задачу к построениюположительной последовательностиe := (rn )∞ , 0 < r1 = ... = rn < rn +1 = ... = rn < rn +1 = . .

. ,|Λ|1122n=1(3.77)e обеспечивала мис так подобранными кратностями n1 , n2 , . . . , чтобы |Λ|нимальное значение для типа σρ (f0) и удовлетворяла в соответствии с (3.75)условиямNΛe (r) β ∗N (r)B := lim= lim= ,r→+∞ r ρr→+∞ 2 r ρ2NΛe (r) α∗N (r)A := lim= lim= .ρρ2r→+∞ rr→+∞ 2 rЗдесь мы обозначили считающую и усредненную считающую функции поe через n(r) и N (r) соответственно и воспользовалисьследовательности |Λ|e члены входят сопряженочевидными равенствами (в последовательность Λными парами)n(r) =nΛe (r),2N (r) =Непосредственно проверяемая формулаNΛe (r),2rn = min {r : n(r) > n} ,r > 0.n ∈ N,заменяет построение положительной последовательности (3.77) поиском еесчитающей функции n(r) или усредненной считающей функции N (r). Нахождением этихфункциймы сейчас и займемся.Для r ∈ rnk , rnk+1 имеемn(r) = nk ,N (r) = N (rnk ) + nk ln197r,r nkk ∈ N.Нам будет удобней перейти к функциямω(x) := n(ex ),График функции Ω(x) =которой имеет уравнениеRxΩ(x) := N (ex ).ω(t) dt представляет собой ломаную, k -ое звено0Ω(x) = Ω(ln rnk ) + nk (x − ln rnk ),x ∈ [ln rnk , ln rnk+1 ).Приступим к построению этого графика.

Нам придется исследовать отдельнодва случая: 0 < α∗ = β ∗ и 0 < α∗ < β ∗ .Пусть вначале 0 < α∗ = β ∗ (т. е. 0 < A = B ). Рассмотрим функцию yA (x) = A eρ x , x > 0, и проведем к графику GA этой функции касательные lj с угловыми коэффициентами, равными последовательным натуральным числам j ∈ N . Нетрудно найти абсциссы xj точек касания:1jxj = ln, j ∈ N.

Пусть y = Ω1(x) — уравнение ломаной, j -ое звеρ ρAно которой является отрезком касательной lj , содержащим точку касания(xj , Aeρ xj ) . В силу выпуклости функции yA (x) график этой ломаной расположен ниже графика GA . Кроме того, по лемме 2.3 на каждом отрезке[xj , xj+1] выполняется соотношение11j+110 6 yA (x) − Ω1(x) 6 (xj+1 − xj ) =ln<.44ρj4ρ jТаким образом,0 6 yA (x) − Ω1(x) → 0,x → +∞.(3.78)Отсюда следует, что существует пределN (r)Ω1(x)=lim= A = B,r→+∞ r ρr→+∞ eρxlimпричемN (r) 6 Arρ ,r > 0.Теперь, используя (3.68), (3.76), запишем в прежних обозначениях представление 2 !∞Y2rrσ0(r) := ln max |f0(z)| = ln1+=cos θ +rr|z|=rnnn=1 2 !Z+∞∞Xr2r= 2rρ∆∗(rτ ) K(τ ) dτ.cos θ +=ln 1 +rnrnn=10198Поскольку ∆∗(r) =N (r)6 A , то с учетом формулы (3.72) имеемrρZ+∞πρσ0(r)6 2AI1 = 2Acos ρθ.K(τ ) dτ = 2Aρrsin πρ0Переход к верхнему пределу при r → +∞ показывает, что ρ -тип построенной целой функции f0 (z) удовлетворяет неравенствуσρ(f0) 6 2Aπρ cos ρθπρ cos ρθ= α∗.sin πρsin πρОбратное неравенство справедливо для ρ -типа каждой целой функциипорядка ρ ∈ (0, 1) c измеримыми нулями усредненной ρ -плотности ∆∗ = α∗ ,расположенными в угле раствора 2θ 6 π , поскольку из (3.61) при α∗ = β ∗получаемπρ cos ρθ.σρ(f ) > α∗sin πρВ самом деле, в случае, когда α∗ = β ∗ , корнями уравнения (3.62) служатчисла a1 = a2 = 1, и интеграл в оценке (3.13) исчезает.

Итак, теорема 3.16при α∗ = β ∗ доказана, что говорит о справедливости теоремы 3.18.Продолжим построение экстремальной функции в ситуации, когда α∗ < β ∗ ,т. е. A < B . В этом случае наряду с функциями yA (x) и Ω1(x) рассмотримфункцию yB (x) = B eρ x , x > 0, и выберем какую-либо строго возрастающуюпоследовательность натуральных чисел mn , удовлетворяющую условиюmn+1ր +∞,mnn → ∞.(3.79)Пусть y = Ω2 (x) — уравнение ломаной, снова составленное из уравнений последовательных отрезков касательных к графику GB функции yB (x)с угловыми коэффициентами, совпадающими с выбранными числами mnиз (3.79).

Характеристики

Список файлов диссертации