Диссертация (1154389), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

е.1/ρaaZ2 πα∗(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + cos θ′ ) ′cosρθ+dtσρ(f ) = σρ (fN ) > ρ 2′. sin πρt + 2t cos θ + 11/ρaa1Пользуясь сначала произвольностью θ′ > θ , а затем и свободой в выбореa > 0, приходим опять к оценке (3.61), совпадающей с (3.99):1/ρaaZ2 πα∗(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + cos θ) cos ρθ + maxdtσρ (f ) > ρ =a>0sin πρt2 + 2t cos θ + 11/ρaa11/ρ πk ∗= ρ β∗  sin πρ cos ρθ + maxa>0aaZ21/ρaa1(a−ρ − k ∗t−ρ )(t + cos θ) dt= ρ β ∗Cθ∗(k ∗, ρ).2t + 2t cos θ + 1Последнее утверждение теоремы справедливо благодаря тому, что экстремальная последовательность нулей Λ̃ = {λn : arg λn = ±θ} принадлежитклассу Γ̃θ .

Теорема доказана.209Выделим два важных частных случая этой теоремы: θ = π2 и θ = 0 .При θ = π2 корни Λf = {λn } целых функций f (z) лежат в замкнутой правойполуплоскости, т. е. ℜλn > 0 . В этом случае справедливо такое утверждение.Следствие 3.1. Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1)с нулями Λf , лежащими в правой полуплоскости или на мнимой оси и∗имеющими верхнюю и нижнюю усредненные ρ -плотности ∆ ρ (Λf ) = β ∗ ,∆ ∗ρ (Λf ) > α∗ , удовлетворяет точной, достижимой оценке2/ρbaZ 2 −ρ/2∗ρ β∗ ρ β∗ ∗ ∗ ρ πkb− k ∗t−ρ/2 σρ(f ) >dt =C k ,+ max.b>02  sin πρt+12222/ρba1При θ = 0 из теоремы 3.19 следует обобщение теоремы 3.16, доказаннойдля целых функций с положительными нулями.Следствие 3.2.

Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1)с нулями Λf = {λn } , имеющими верхнюю и нижнюю усредненные ρ -плот∗ности ∆ ρ (Λf ) = β ∗ , ∆ ∗ρ (Λf ) > α∗ и такими, что arg λn −→ 0, n → ∞ ,удовлетворяет точной, достижимой оценке1/ρaaZ 2 −ρ∗πka − k ∗ τ −ρ α∗∗∗ ∗ ∗∗+ maxdτ  , k = ∗ ,σρ(f ) > ρ β C (k , ρ) = ρ β a>0sin πρτ +1β1/ρaa1где a1 , a2 (0 6 a1 6 1 6 a2 6 e) — корни уравнения a lneα∗= ∗.a βОтметим, что следствие 3.2 сохраняет точную оценку ρ -типа целых функций из теоремы 3.16, значительно расширяя множество комплексной плоскости, где могут располагаться все их нули.

Например, при сохранении прочихусловий этой теоремы, оценка для ρ -типа остается точной и для целых функций с нулями, лежащими в полуполосе {z = x + iy :x > 0, |y| 6 b} при любом b > 0 , или даже находящимися во множестве z = x + iy : x > |y|δ ,где δ > 1. В следующем параграфе мы находим точную оценку типа целых функций порядка ρ ∈ (0, m), m ∈ N с нулями на еще более широкихмножествах.Замечание 3.2.

Пусть θ ∈ [0, π/2) . В условии теоремы 3.19 требуется,чтобы при любом θ′ > θ вне угла Γθ′ лежало не более конечного числа корней целой функции. Это требование можно несколько ослабить, разрешая210вне указанных углов находиться и бесконечному множеству корней, но снулевой ρ -плотностью. Аналогичное допущение действует и при θ = π2 ,когда бесконечно много корней с нулевой ρ -плотностью может располагаться вне полуплоскости {ℜz > 0} . Доказательство теоремы при этомпрактически не меняется.3.3.4 Целые функции с нулями на множестве «правильных»лучей или угловИзучим ситуацию, когда нули целой функции лежат на m лучах, исходящих из начала координат и разбивающих комплексную плоскость на равные части, или расположены в множествах, близких к не пересекающимсяуглам, биссектрисами которых служат эти лучи. Нас интересует величинанаименьшего типа целой функции с таким расположением нулей, выраженная через их усредненные ρ -плотности.

Аналогичная задача для обычныхρ -плотностей нулей, лежащих на лучах, решена в § 3.2 ([26]). Здесь мы используем некоторые идеи из этой работы.Пусть, как и прежде, Γθ = {z ∈ C : | arg z| 6 θ} . Для m ∈ N обозначимVθ,m =m−1[Γθ,k,m ,гдеk=0Γθ,k,m = ei (2k+1)πmn−i (2k+1)πmΓθ = z ∈ C : | arg zeo|6θ ,k = 0, 1, . . .

, m − 1.Например, V0,1 = Γ0,0,1 = R− — отрицательный луч, V0,2 представляет мниSm−1Γ0,k,mмую ось комплексной плоскости, и для m > 2 множество V0,m = k=0состоит из лучей, делящих плоскость на равные углы. При этомnoi (2k+1)πmΓ0,k,m = z ∈ C : z = re, r > 0 , k = 0, 1, . . . , m − 1,являются биссектрисами углов Γθ,k,m .Нам понадобятся следующие определения.Пусть θ ∈ [0, π/2m) . Будем говорить, что последовательность Λ = {λn }∞n=1′принадлежит классу Ṽθ, m и писать Λ ∈ Ṽθ, m , если для любого θ ∈ (θ, π/2m)все члены последовательности Λ , кроме, возможно, конечного числа, принадлежат множеству Vθ′ , m .Для θ = π/2m пишем Λ ∈ Ṽπ/2m, m , если каждый член последовательности Λ , кроме, возможно, конечного числа, входит в Vπ/2m, m .Эти определения оставляем в силе, если исключительное множество образовано не конечным числом членов, а некоторой подпоследовательностью нулевой ρ -плотности, или, что эквивалентно, нулевой усредненной ρ -плотности.211Например, последовательность, члены которойлежат в (наименьших) верiθтикальныхуглах,ограниченныхпрямымиl:=z∈C:z=te,t∈Rиθl−θ := z ∈ C : z = te−iθ , t ∈ R , входит в класс Ṽθ, 2 .Основной целью этого параграфа является доказательство следующегорезультата.Теорема 3.20.

Пусть θ ∈ [0, π/2m] . Тип каждой целой функции f (z)порядка ρ ∈ (0, m) , m ∈ N , с нулями Λf ∈ Ṽθ,m заданных усредненных∗ρ -плотностей ∆ ρ (Λf ) = β ∗ , ∆ ∗ρ (Λf ) > α∗ удовлетворяет точной оценкеρ β∗ ∗ ∗ ρ α∗∗σρ (f ) >(3.100)Ck ,,k = ∗,m mθmβгде величина Cθ∗(k ∗, ρ) определена в (3.97).Равенство достигается на некоторой целой функции с нулями Λ0 , одинаково распределенными на граничных лучах Vθ,m и имеющими усредненные∗ρ -плотности ∆∗ρ (Λ0) = α∗ , ∆ ρ (Λ0 ) = β ∗.Доказательство. Пусть m ∈ N , и f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, m)с нулями Λf = Λ ∈ Ṽθ,m .

Считаем, что f (0) = 1 . По уже цитированнойтеореме Адамара такую функцию можно представить в виде произведения∞ Yze pn (z) ,z ∈ C,f (z) = e q(z)1−λnn=1в которомzz2zppn (z) =++ ... + p,λn 2λ2npλnа число p и степень многочлена q(z) не превосходят ρ . Кроме того, q(0) = 0в силу нашего соглашения f (0) = 1 . Обозначим через2πjεj = e i m ,j = 0, 1, . . . , m − 1,корни степени m из единицы. Действуя, как при доказательстве теоремы 3.10 из § 3.2.1, рассмотрим функциюF (z) =m−1Yf (εj z),j=0π(2kn +1)π(2kn +1)z ∈ C.Положим λn = rne i m +θn = µn e i m , где µn = rn e iθn , |θn| 6 θ,rn ր +∞ , а kn ∈ {0, 1, .

. . , m − 1} , n ∈ N . Также, как в теореме 3.10,устанавливаем, что функция F (z) имеет вид m ∞ YzF (z) =1+,z ∈ C.(3.101)µnn=1212Введем функциюF1 (z) = F (z) F (z) =∞ Y1+n=1zµnm 1+zµnm z ∈ C, (3.102),(черта означает комплексное сопряжение) и положим m m ∞ Yiπzz1−=: L(z m),F1 (e m z) =1−µnµnn=1гдеL(z) =Обозначив tn =∞ Yn=1mrn , ψnz1 − m imθnrn e1−zrnm e−imθn= mθn , можем записать∞ YzzL(z) =1−,1−iψn−iψntetennn=1,z ∈ C,z ∈ C.z ∈ C.Поскольку |ψn | = |mθn | 6 mθ 6 π/2, то последовательность нулей ΛL бесконечного произведения L(z) принадлежит классу Γ̃mθ . Найдем усредненныеρ -плотности нулей введенных функций.Как обычно, через nT (r) и NT (r) мы обозначаем считающую и усредненную считающую функции последовательности T = {tn }∞n=1 и, чтобы избежать громоздких обозначений, через nL (r) и NL(r) — такие же считающие функции последовательности нулей функции L(z) . Поскольку эти нуливходят в произведение попарно сопряженными, то выполняется равенствоnL(r) = 2nT (r).

А так как tn = rnm , то имеем nT (rm) = nΛ (r) . Поэтому,подсчитывая NL(r) с помощью замены переменной x = tm , получаемNL (rm) =Zrm0nL(x)dx =xZrm2nT (x)dx = 2mx0ZrnΛ (t)dt = 2mNΛ (r),t0т. е. NL (rm) = 2mNΛ (r). Следовательно,NL(rm )NΛ (r)∗∗=2m=2m∆ mρ (ΛL) = limlim∆ρρ (Λ) = 2 m βρr→+∞ (r m ) mr→+∞rи, аналогично,∆ ∗ρ (ΛL ) > 2 m α∗.∗mЛегко сравнить ρ -типы целых функций F1 (z) и f (z) . Действительно,m−1Yf (εj z)f (εj z) 6max |F1(z)| = max F (z) F (z) = max |z|=r |z|=r|z|=rj=02136m−1Yj=02m .max |f (εj z)| max f (εj z) = max |f (z)||z|=r|z|=r|z|=rОтсюда получаем неравенство σρ (F1) 6 2 m σρ(f ), или1σρ(F1).(3.103)2mСравним теперь ρ -типы целых функций F1(z) и L(z) , используя определяiπющее их равенство F1(e m z) = L(z m ), z ∈ C .

Имеемiπln max F1 (e m z)ln max |L(z m )||z|=r|z|=rσρ (F1) = limlim== σ mρ (L).ρr→+∞r→+∞rρ(rm ) mσρ(f ) >Таким образом, σ mρ (L) = σρ(F1).К функции L(z) можно применить оценку (3.98) с характеристиками ро∗ста mρ ∈ (0, 1), ∆ mρ (ΛL ) = 2 m β ∗ и ∆ ∗ρ (ΛL) > 2 m α∗ , которая приводитmк неравенствуα∗2mα∗ρ 2 m β∗ ∗ ∗ ρ ∗∗∗ ρ∗ρσ m (L) >= ∗.Cmθ k ,= 2 β ρ Cmθ k ,,k =mmm2mβ ∗βИспользуя эту оценку и установленную выше в (3.103) связь типов функций f (z) и F1(z) , можем заключить, что для любой функции f (z) порядка∗ρ ∈ (0, m) с нулями Λf ∈ Ṽθ, m усредненных ρ -плотностей ∆ ρ (Λ) = β ∗,∆ ∗ρ (Λ) = α∗ справедлива оценка1ρρ β∗ ∗ ∗ ρ 11∗∗∗σρ (F1) =σ ρ (L) >2ρ β Cmθ k ,Ck ,=σρ (f ) >2m2m m2mmm mθm∗αс постоянной k ∗ = ∗ .

Значит, для всех целых функций рассматриваемоβго класса неравенство (3.100) выполняется. Зафиксируем произвольно числаπ], β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗]. Для доказательства точности оценρ ∈ (0, m), θ ∈ [0, mки (3.100) воспользуемся примером экстремальной функции f0(z) , построен∞ρной в § 3.2.2 для порядка∈ (0, 1), с нулями Λf0 = Λ̃ = sn e±i m θ n=1m∗ρусредненных m -плотностей ∆∗ ρ (Λ̃) = α∗ , ∆ mρ (Λ̃) = β ∗, расположеннымиmна лучах γ±mθ = {z ∈ C : arg z = ±mθ} . Функция f0(z) имеет вид∞ Yzzf0(z) =1−1−imθsesn e−imθnn=1и доставляет равенство в (3.99), именноρ ∗ ∗ ∗ ρρ,σ m (f0) = β Cmθ k ,mm214α∗k = ∗.β∗(3.104)Введем функцию f ∗(z) := f0(−z m ).

Ее нули Λf ∗ = Λ̃ =λ±n, k =π(2k+1)√msn e±iθ ei m ,n ∈ N,o∞n, гдеλ±n, kn=1k = 0, 1, . . . , m − 1,расположены на 2m лучахnoi(±θ+ π(2k+1))ml±θ, m := z ∈ C : z = te, t > 0, k = 0, 1, . . . , m − 1 ,т. е. входят в класс Ṽθ, m . Кроме того, поскольку nΛ∗ (r) = m nΛ̃ (rm ) , тоNΛ∗ (r) =Zr0nΛ∗ (x)dx = mxZrmnΛ̃ (x )dx =x0ZrmnΛ̃(t)dt = NΛ̃ (rm).t0∗Это в свою очередь означает, что ∆ ρ (Λ∗) = β ∗ , ∆ ∗ρ (Λ∗) = α∗ . Действительно,например,∗∆ρ (Λ∗)NΛ̃ (rm)NΛ∗ (r)∗∗ρ (Λ̃) = β .==lim∆= limρρmr→+∞r→+∞mmr(r )Как и ранее, из условия f ∗(z) = f0(−z m ) следует, что σρ (f ∗) = σ mρ (f0), асопоставление с (3.104) приводит к заключениюα∗ρ ∗ ∗ ∗ ρ∗∗ρσρ(f ) = σ m (f0) = β Cmθ k ,, k = ∗.mmβТаким образом, f ∗(z) — требуемая экстремальная функция, реализующаяравенство в (3.100).

Теорема 3.20 доказана.Если в этой теореме ограничение на нижнюю усредненную ρ -плотностьотсутствует, то, полагая α∗ = 0, из нее получаем такое утверждение.Теорема 3.21. Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, m) с ну∗лями Λf ∈ Ṽθ, m усредненной верхней ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β ∗ удовлетворяет точной, достижимой оценкеln(a2m + 2am cos θ + 1)β ∗eρ.maxσρ (f ) >m a>0aρВ самом деле, достаточно в оценку (3.100), подставить величину (3.98) ивместо a использовать am .В случае m = 1 эта теорема несколько усиливает теорему 3.18 в частиослабления условий на расположение нулей целой функции.Случай m = 2 теоремы 3.20 и некоторые следствия из нее мы болееподробно рассмотрим в следующем параграфе.2153.4 Целые функции с нулями в полосе иливертикальных углахВыделим наиболее интересный для приложений случай расположениянулей целых функций на одной прямой, или между двумя параллельнымиили пересекающимися прямыми, соответствующий значению m = 2 теоремы 3.20.

Характеристики

Список файлов диссертации