Диссертация (1154389), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Поэтому выполняются следующие равенства∆ ∗ρ (Λ̃) = q ∆ ∗ρ (Λ0) = qk= α∗ ,ρek−1k ek−1β∗= q= α∗ ∗ = β ∗ .ρρ kαНетрудно подсчитать и нижний ρ -тип функции f˜(z) . Имеем∗∗∆ ρ (Λ̃) = q ∆ ρ (Λ0 ) = qkσ ρ (f˜) = q σ ρ (f0) = q = α∗ .ρПодводя итог, заключаем, что функция f˜(z) обладает следующими характеристиками роста∗∆ ρ (Λ̃) = β ∗,∆ ∗ρ (Λ̃) = α∗ ,σ ρ (f˜) = α∗ ,т. е. является экстремальной в задачах (3.110), (3.111). Теорема 3.26 доказана.Доказательство теоремы 3.27. Зададим числа ρ ∈ (0, 1) , α∗ > 0 иβ ∗ > α∗ .

Пусть целая функция f (z) имеет нижний ρ -тип σ ρ (f ), и множество ее корней составляет положительную последовательность Λf = Λ∗с усредненными ρ -плотностями ∆∗ρ (Λ) = α∗ , ∆ρ (Λ) 6 β ∗.Докажем сначала неравенствоπρα∗ .(3.117)σ ρ (f ) >sin π ρБудем опираться на полученное ранее представлениеZ+∞r−ρ ln max |f (z)| =ϕr (t)|z|=rtρdt,(1 + t)2(3.118)0NΛ (rt)(см.

формулу (3.9)). Зафиксируем ε > 0 . Из(rt)ρопределения усредненных ρ -плотностей последовательности Λ следует, чтовеличина ϕr (t) ограничена и можно найти число c > 0 так, чтобы для всехcα∗∗значений t > выполнялось неравенство ϕr (t) > αε :=. Интеграл вr1+εправой части (3.118) преобразуем и оценим следующим образом:где обозначено ϕr (t) :=Z+∞ϕr (t)0tρdt > αε∗2(1 + t)Z+∞tρdt +(1 + t)20Zc/r(ϕr (t) − αε∗ )0229tρdt =(1 + t)2=αε∗Z+∞tρπρdt+o(1)=αε∗ + o(1),2(1 + t)sin π ρ0r → +∞.Мы воспользовались известной формулой (см. [82, раздел 2.29, № 24, с.

311])Z+∞πρtρdt =.2(1 + t)sin πρ0Таким образом, из (3.118) и доказанных неравенств получаемr−ρ ln max |f (z)| >|z|=rπραε∗ + o(1),sin πρr → +∞.Переходя здесь к нижнему пределу при r → +∞ , а затем устремив ε к нулю,приходим к неравенству (3.117).Покажем теперь, что существует функция f˜(z) с положительными нулями Λf = Λ̃ , реализующая равенство в (3.117). Для этого при любыхρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] достаточно построить однозначно определяющую последовательность нулей Λ̃ усредненную считающую функциюNΛ̃(r) так, чтобы∆∗ρ (Λ̃) = α∗ ,∗∆ρ (Λ̃) = β ∗,σ ρ (f˜) =πρα∗ .sin πρПри доказательстве теоремы 3.16 (см.

§ 3.3.2) сконструирован пример целойфункции с нулями заданных усредненных ρ -плотностей, расположенными вугле раствора 2θ , имеющей наименьший возможный ρ -тип. При θ = 0 нулитакой функции лежат на луче. Покажем, что в этом случае она реализуетне только наименьший возможный ρ -тип, но одновременно и наименьшийвозможный нижний ρ -тип. Для этого воспользуемся оценкой ∗rrπα+ϕ+ o(1),+ϕσ̃(r) := r−ρ ln max f˜(z) 6 ρsin πρξnξn+1|z|=rсправедливой для r ∈ [ξn , ξn+1 ] , n → ∞ . Здесь ξn — последовательностьположительных чисел с условиемn → ∞,(3.119)ϕ(0+) = ϕ(+∞) = 0.(3.120)ξn = o(ξn+1),а функция ϕ(a) обладает свойствами230В отличие от оценки σ̃(r) в доказательстве теоремы 3.16 сейчас мы по√лагаем r = rn = ξn ξn+1 , что теперь даетss!!!∗ξn+1ξnπασ̃(rn) 6 ρ+ϕ+ϕ+ o(1),n → ∞.sin πρξnξn+1Привлекая свойства (3.119), (3.120), получаемσ ρ (f˜) 6 lim σ̃(rn) 6n→∞πρα∗ .sin πρЭто вместе с неравенством (3.117) приводит к требуемому результатуσ ρ (f˜) =πρα∗ .sin πρТеорема 3.27 доказана.3.5.2 Оценки сверху нижнего типа целой функцииДоказательство теоремы 3.28.

Докажем сначала первое утверждениетеоремы. Пусть заданы числа ρ ∈ (0, 1), α∗ > 0 и β ∗ > α∗ . НеравенствоS ∗ C (α∗ , β ∗; ρ) > S ∗ R+ (α∗, β ∗; ρ), илиn∆ ∗ρ (Λ)∗∗∆ ρ (Λ)∗o>6β=α ,sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C,no∗∗∗∗sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 βочевидно, поскольку множество функций, по которому берется первый супремум, шире множества функций в определении второго. Проверим верность противоположного неравенства. Каждая целая функция f (z) порядкаρ ∈ (0, 1), нулевое множество которой совпадает с Λ = (λn )∞n=1 = Λf ⊂ C\{0} ,представляется бесконечным произведением∞ Yzf (z) =1−,z ∈ C.λnn=1Обозначим |Λ| =(|λn |)∞n=1и f+(z) =∞Qn=1z. Тогда1−|λn |∞ ∞ YY|z|z1 − 6 maxmax |f (z)| = max= max |f+(z)| .1+ |z|=rλ|λ||z|=r|z|=r|z|=rnnn=1n=1231Отсюдаσ ρ (f ) = lim r−ρ ln max |f (z)| 6 lim r−ρ ln max |f+ (z)| = σ ρ (f+),|z|=rr→+∞причем|z|=rr→+∞∗∆∗ρ (Λ) = ∆∗ρ (|Λ|),|Λ| ⊂ R+ ,∗∆ρ (Λ) = ∆ρ (|Λ|).ПоэтомуS ∗C (α∗, β ∗ ; ρ) 6 S ∗ R+ (α∗ , β ∗; ρ),и требуемое равенство S ∗C (α∗, β ∗ ; ρ) = S ∗ R+ (α∗ , β ∗; ρ) доказано.

Первое утверждение теоремы сводит нахождение наибольшей возможной величины нижнего ρ -типа целой функции порядка меньше единицы по верхней и нижнейусредненным ρ -плотностям ее корней, распределенных произвольно в C , кслучаю расположения их на одном луче. Общее значение этих экстремальныхвеличин будем ради краткости обозначатьS ∗(α∗ , β ∗ ; ρ) : = S ∗C (α∗, β ∗ ; ρ) = S ∗ R+ (α∗ , β ∗; ρ).Для вычисления этой экстремальной величины докажем вначале, что при любых β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] нижний ρ -тип каждой целой функции f (z) порядка меньше единицы с нулями Λf = Λ усредненных ρ -плотностей ∆∗ρ (Λ) = α∗ ,∗∆ρ (Λ) 6 β ∗ удовлетворяет неравенствуπ− sup Φ(b) ,(3.121)σ ρ (f ) 6 ρβ ∗sin πρ b>0гдеΦ(b) =Zb−1/ρτ −ρ − a2 b−ρdτ +τ +1baZ1τ −ρ − a1 b−ρdτ ,τ +1b−1/ρba2а a1 и a2 — корни уравнения (3.7).Рассмотрим три случая 1) α∗ = 0, 2) α∗ = β ∗ , 3) α∗ ∈ (0, β ∗) .В первом случае корнями уравнения (3.7) являются числа a1 = 0, a2 = e, иоценка (3.121) принимает вид b+∞ZZτ −ρ − eb−ρτ −ρ∗ πσ ρ (f ) 6 ρβ− supdτ +dτ  =sin πρ b>0 τ +1τ +1 be−1/ρb +∞ZZb−ρτdτ −ρ∗ π=− supdτ − eb= ρβsin πρ b>0 τ +1τ +1be−1/ρbe−1/ρ232= ρ β inf ∗b>06 ρ β lim ∗b→+0beZ−1/ρ0beZ−1/ρ0τ −ρ1+b dτ + eb−ρ ln6τ +11 + be−1/ρτ −ρ1+b dτ + eb−ρ ln = 0.τ +11 + be−1/ρТаким образом, в случае α∗ = 0 требуется доказать, что σ ρ (f ) = 0.

Ноимпликацияα∗ = 0 ⇒ σ ρ (f ) = 0уже была доказана в теореме 3.26.Рассмотрим второй случай α∗ = β ∗, когда последовательность нулей целой функции измерима. Теперь оба корня a1 и a2 уравнения (3.7) совпадаютс единицей, и интегралы в определении функции Φ(b) исчезают. Соотношение (3.121) сводится к неравенствуσ ρ (f ) 6πρβ ∗,sin πρ(3.122)которое содержится в известной оценке (3.13). При этом, если последовательность Λ измерима с усредненной ρ -плотностью ∆ρ∗ и расположена на одномлуче, то, как известно, выполняется равенствоσ ρ (f ) = σ ρ(f ) =πρ∆ρ∗.sin πρТаким образом, при α∗ = β ∗ справедливость теоремы 3.28 проверена.Стоит отметить также, что если измеримая последовательность нулей целой функции расположена произвольно на комплексной плоскости, то неравенство (3.122) может оказаться строгим.

В этом нас убеждает пример функции f0(z) из теоремы 3.26, в котором при α∗ = β ∗ имеем k = 1 иσ ρ (f0) = σρ (f0) = β ∗ < β ∗πρ.sin πρОсталось рассмотреть центральный случай теоремы, когда последовательность нулей Λf = Λ с усредненной считающей функцией NΛ (r) = N (r) такова, что 0 < α∗ < β ∗ . Из определения усредненных ρ -плотностей Λ вытекаетсуществование для произвольного ε > 0 такого числа c > 0 , что для всехзначений r > c выполняются неравенстваα∗ (1 − ε) rρ < N (r) < β ∗ (1 + ε) rρ,233а для некоторой последовательности rk ր +∞ имеемN (rk ) < α∗ (1 + ε) rkρ.Удобно перейти к считающим функциям n1 (x) := n(ex ) и N1 (x) := N (ex ) .Очевидно, N1(x) удовлетворяет соотношениямα∗ (1 − ε) eρx < N1 (x) < β ∗(1 + ε) eρx ,kN1(xk ) < α∗ (1 + ε) eρxk ,k ∈ N,x > ln c,xk = ln rk .(3.123)(3.124)Обозначим для краткости A = α∗ (1 + ε), B = β ∗(1 + ε) , yA (x) = Aeρx ,yB (x) = Beρx и воспользуемся следующим утверждением, доказанным в предложении 1.18.Пусть A < B, и из точки (x0, Aeρx0 ) проведены влево и вправо от неекасательные к графику функции yB (x) .

Тогда абсциссы левой и правой точеккасания xl и xr задаются соответственно формулами11xl = x0 + ln a1 , xr = x0 + ln a2 ,(3.125)ρρгде a1 и a2 — корни уравнения (3.7).Продолжим оценку усредненной считающей функции N1(x) , выбрав в качестве x0 любую из точек xk , фигурирующих в (3.124). Учитывая соотношение (3.123), можем утверждать, что график N1(x) на отрезке [x0, xr ] непересекает правую касательную, ибо в противном случае он пересекал бы играфик функции yB (x) = Beρx , находясь согласно (3.123) ниже него. Записавуравнение рассматриваемой касательной в виде y = Beρ xr + ρBeρ xr (x − xr ),получим, чтоN1(x) 6 Beρ xr + ρBeρ xr (x − xr ),x ∈ [x0, xr ].Поскольку все сказанное выше справедливо и для касательной слева, то выполняется также и неравенствоN1(x) 6 Beρ xl + ρBeρ xl (x − xl ),x ∈ [xl , x0].1/ρОбозначим y0 = ex0 , yl = exl , yr = exr .

В силу (3.125) имеем yl = y0a1 ,1/ρyr = y0a2 . Возвращаясь к исходной считающей функции N (y) = N1(ln y) ,запишем полученные для функции N1 (x) неравенства в виде!y1/ρ,y ∈ [y0a1 , y0 ],By0ρ a1 1 + ρ ln1/ρy0a1 !N (y) 6y1/ρρBya,y ∈ [y0, y0a2 ],1+ρln201/ρy0a21/ρ1/ρρBy ,y∈/ [y0 a1 , y0 a2 ], y > c.234Напомним, что здесь a1 6 1 6 a2 суть корни уравнения (3.7) и что вкачестве x0 мы выбрали произвольную точку xk из (3.124). Зафиксируем теперь числа b > 0, k ∈ N и положим в предыдущих неравенствахy = rk τ, rk = by0 = bexk . Тогда h 1/ρ iρρr(bτ)ka1 1 + lnB,τ ∈ a1b , 1b ,a1  bihρ1/ρrk(bτ )ρ1 a2N (rk τ ) 6(3.126)Ba2 1 + ln,τ ∈ b, b ,ba2h 1/ρ 1/ρ iρ B(rk τ ) ,τ∈/ a1b , a2b , τ > rck .Учитывая, что a1 и a2 являются корнями уравнения (3.7), преобразуем выражение(bτ )ρeAai 1 + ln= ai ln + ai ln(bτ )ρ = + ai ln(bτ )ρ,i = 1, 2.aiaiBN (rτ )из формулы (3.118) получаем оценку(rτ )ρh 1/ρ i−ρ AρB(τ b)τ ∈ a1b , 1b ,B + a1 ln(bτ ) ,hi1/ρ1 a2ρ−ρ A(3.127)τ ∈ b, b ,B(τ b)B + a2 ln(bτ ) ,h 1/ρ 1/ρ iB,τ∈/ a1b , a2b ,Теперь для функции ϕr (τ ) =ϕrk (τ ) 6 ψ(τ ) =справедливую при τ > rck .

Опираясь на первую часть теоремы, считаем, чтовсе нули функции положительны и вновь используем представление (3.118),но не для всех r > 0 , а только для значений r = rk , k = 1, 2, . . . (см. (3.126)).В результате получимZ+∞σ(rk ) = rk−ρ ln max |f (z)| =ϕrk (τ )|z|=rk0c+Zrk0τρdτ +(ϕrk (τ ) − ψ(τ ))(1 + τ )2Z+∞6(ψ(τ ) − B)tρdτ =(1 + τ )2Z+∞ψ(τ )τρdτ +(1 + τ )20Z+∞(ϕrk (τ ) − ψ(τ ))crkτρdτ + B(1 + τ )20Z+∞0235τρdτ 6(1 + τ )2τρcdτ+O(1)=(1 + τ )2rkπρ=B+Bsin πρZb−1ABb−ρ1/ρb−1 a11/ρ+Bb−1Z a2ABb−ρb−1+ a1 ln(bτ )ρ − τ ρdτ +(1 + τ )2+ a2 ln(bτ )ρ − τ ρπρdτ + o(1) =: B+ I1 + I2 + o(1).(1 + τ )2sin πρТаким образом, выполняется неравенствоπρσ(rk ) 6 B+ I1 + I2 + o(1),sin πρk → ∞.(3.128)Упростим интегралы I1 и I2 , интегрируя по частям.

Для I1 имеемI1 =b−ρAB+ a1 ln(bτ )(1 + τ )2ρb−1−τ −1ρb+ρ1/ρa1Zb−1a1 b−ρ − τ ρdτ.τ (τ + 1)1/ρb−1 a1В интеграле сделаем замену переменной τ = t−1 , а вычисление подстановкиприводит к выражениюAAAb−ρ Bb−ρ Bb−ρ B−1+ a1 ln a1 − a1−1− −1+= − −1.b +1b−1 + 1b +1В итоге получимI1 =Ab−ρ B−1− −1b +1−1/ρ+ρbaZ1a1 b−ρ − t−ρdt.t+1(3.129)bАналогичные вычисления интеграла I2 даютZbA−1b−ρ Ba2 b−ρ − t−ρ+dt.I2 =b−1 + 1t+1(3.130)−1/ρba2Учитывая (3.128) – (3.130), при k → ∞ можем записать−1/ρbaZ1Zb−ρ−ρ πρa2 b−ρ − t−ρ ab−t1σ(rk ) 6 Bρ +dt+dt sin πρ + o(1).t+1t+1b−1/ρba2236Изменяя знаки в подынтегральных выражениях и переходя к нижнему пределу по k → ∞ , получаем−1/ρbaZ1 −ρ Zb t−ρ − a b−ρ−ρ πt−ab12σ ρ (f ) 6 Bρ −dt +dt .sin πρ t+1t+1 −1/ρbba2Оценка справедлива при любых ε > 0 и b > 0 . Устремив ε к нулю, а затемвзяв супремум по b > 0 , получим окончательно−1/ρbaZ1 −ρ Zb t−ρ − a b−ρ−ρt−abπ21∗ − supdt +dt σ ρ (f ) 6 β ρ .sin πρ b>0 t+1t+1 −1/ρbba2Чтобы завершить доказательство теоремы, требуется для наперед заданных чисел ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] предъявить целую функцию f˜(z) ,которая доставляет равенство в полученной оценке нижнего типа и имеет положительные нули Λf = Λ̃ усредненных ρ -плотностей ∆ ∗ρ (Λ̃) = α∗ ,∗∆ρ (Λ̃) 6 β ∗ .

Характеристики

Список файлов диссертации