Диссертация (1154389), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Функция fe(z) является экстремальной, так какдоставляет равенство в (3.121). Для завершения доказательства укажем, чтовторая форма записи функции Φ(b) получается из первой интегрированиемпо частям:Φ(b) =Zb−1/ρτ−ρ− a2 bτ +1−ρdτ +baZ1τ −ρ − a1 b−ρdτ =τ +1b−1/ρba2−ρ−ρ b= ln(1 + τ ) τ − a2 b−1/ρ + ρba2Zbln(1 + τ )dτ +τ ρ+1−1/ρba2−1/ρ+ ln(1 + τ ) τ −ρ − a1 b−ρ b−1/ρba1+ρbaZ1ln(1 + τ )dτ =τ ρ+1b−1/ρ=ρbaZ1ln(1 + τ )dτ + ln(1 + b)(1 − a2 )b−ρ + ln(1 + b)(a1 − 1)b−ρ =ρ+1τ−1/ρba21−ρ−1/ρ=ρbaZ1ln(1 + τ )dτ − ln(1 + b)(a2 − a1 )b−ρ = ρρ+1τbaZ1ln(τ + 1) − ln(b + 1)dτ.τ ρ+11−ρ−1/ρba2ba2Теорема 3.28 доказана.3.5.3 Двусторонние оценки экстремальной величинынижнего типаДокажем сначала анонсированное в доказательстве теоремы 3.28 соотношение (3.155) в случае α∗ < β ∗ . Для этого оценим функцию Φ(b) при достаточно больших значениях аргумента, учитывая, что корни уравнения (3.7)246связаны строгими неравенствами a1 < 1 < a2 .

Запишем Φ(b) в видеΦ(b) =−1/ρZbbaZ1τ −ρ − a2 b−ρdτ +τ +1τ −ρ − a1 b−ρdτ =τ +1b−1/ρba2−1/ρ=baZ1−1/ρ−1/ρ1 + ba1b+1τ −ρ−ρ−ablndτ − a2 b−ρ ln1−1/ρτ +11+b1 + ba.2ba2Рассмотрим первое слагаемое:−1/ρbaZ1−1/ρτ −ρdτ >τ +1−1/ρbaZ1τ −ρ−1−1/ρba2ba211−τba−1/ρba−1/ρτ −ρ−1 1τ −ρ 1+dτ = −1/ρ =−ρ ba−1/ρρ+1ba22b−ρb−ρ−1 1+1/ρ1+1/ρ=(a2 − a1 ) −a− a1.ρρ+1 22Применяя неравенства x − x2 < ln(1 + x) < x , оценим оставшиеся слагаемые:a2 b−ρ ln1+b−1/ρ1 + ba2"= a2 b−ρ ln1/ρa2a1 b−ρ2/ρ1 a22 b2!#1−+=bb"#2/ρ−ρa2 ba1/ρln a2 + a2 b−ρ−1 1 − a2=+ 2ρ2b1/ρ< a2 b−ρ ln a2 +и, аналогично,b (1 + 1/b)<−1/ρ−1/ρba21 + 1/ba2−1/ρ1 + ba1ln1+ba1 b−ρ11/ρ−ρ−1< −ln a1 + a1 ba1 − 1 +.ρ2bСобирая полученные оценки, можем записатьb−ρ(a2 − a1 − a2 ln a2 + a1 ln a1 ) +Φ(b) >ρ 1+1/ρ!1+1/ρ1+2/ρa2− a1a2a1 1+1/ρ1+1/ρ−ρ−1 − a2 − a2− a1.+− a1 ++b−ρ+12b2b247Первое слагаемое исчезает, поскольку выражение в скобках равноa2 lneα∗ α∗e− a1 ln= ∗− ∗ =0a2a1ββв силу того, что a1 и a2 являются корнями уравнения (3.7).

Таким образом, ρ11+1/ρ1+1/ρ1+2/ρΦ(b) > b−ρ−1 a2− a1− (a2 − a1 ) −a1 + a2.ρ+12bОбозначив ν = 1 + 1/ρ (ν > 2), имеем 1b−ρ−1 ννa2 − a1 − ν(a2 − a1 ) − O,Φ(b) >νbb → +∞.Докажем, что ψ(ν) = aν2 −aν1 −ν(a2 −a1 ) > 0 для всех ν > 1. Действительно,ψ ′ (ν) = aν2 ln a2 − aν1 ln a1 − (a2 − a1 ),ψ ′′ (ν) = aν2 ln2 a2 − aν1 ln2 a1 .Функция ψ ′′ (ν) является возрастающей, так как в ее задании первое слагаемое возрастает с ростом ν , а второе убывает. Тогда для ν > 1 выполняетсяψ ′′ (ν) > ψ ′′ (1) = a2 ln2 a2 − a1 ln2 a1 = a2 (ln2 a2 − 1) + a2 − a1 (ln2 a1 − 1) − a1 =α∗ a2ln +a2 −a1 .β ∗ a1Здесь мы опять воспользовались тем, что a1 и a2 являются корнями уравнения (3.7). Применим теперь параметрическое представление корней этогоуравнения, найденное в предложении 1.19:= (a2 ln a2 −a2 )(ln a2 +1)−(a1 ln a1 −a1 )(ln a1 +1)+a2 −a1 = −sa1 = e s 1−s ,1a2 = s a1 = s 1−s ,s > 1.Тогда получимψ ′′ (1) = a2 − a1 − a1 lnea2a1 (s − 1)2 − s ln2 s > 0.ln=a1 a1s−1Положительность выражения в квадратных скобках вытекает из его монотонного возрастания, которое нетрудно получить обычными методами анализа.

Из доказанной положительности ψ ′′ (ν) на [1, +∞) вытекает возрастаниеψ ′ (ν) на этом промежутке. Следовательно,ψ ′ (ν) > ψ ′ (1) = a2 ln a2 − a1 ln a1 − (a2 − a1 ) = 0,ν > 1.Отсюда, в свою очередь, следует возрастание самой функции ψ(ν) , что даетдля ν > 1 неравенствоψ(ν) > ψ(1) = a2 − a1 − a2 + a1 = 0.248Тем самым, справедливость соотношения (3.155) доказана.Приступим теперь к изучению величины S ∗ (α∗, β ∗; ρ) . Получим сначала простые оценки интеграла, входящего в определение функции Φ(b). Поскольку на отрезке интегрирования τ > b, то − b−ρ 6 − τ −ρ . Оценивая Φ(b) ,запишем−1/ρ−1/ρΦ(b) 6 Φ1(b) =baZ1τ −ρ − a1 b−ρdτ 6τ +1baZ1τ −ρ(1 − a1 )dτ.τ +1bbТаким образом, справедлива оценка−1/ρΦ(b) 6 (1 − a1 )baZ1τ −ρdτ.τ +1(3.159)bРасширение промежутка интегрирования приводит к неравенствуΦ(b) 6 (1 − a1 )Z+∞0πτ −ρdτ = (1 − a1 ),τ +1sin πρb > 0.Отсюда следуетπS ∗ (α∗, β ∗; ρ) = β ∗ρ− sup Φ(b) >sin πρ b>0πππρ β ∗∗− (1 − a1 ).= a1> β ρsin πρsin πρsin πρПривлекая также (3.155), в итоге получаем двустороннюю оценкуπρ β ∗πρ β ∗∗ ∗∗a16 S (α , β ; ρ) 6.sin πρsin πρ(3.160)Эта простая оценка характеризует S ∗ (α∗, β ∗; ρ), когда меньший корень a1уравнения (3.7) равен или близок к единице, т.

е. когда β ∗ совпадает или малоотличается от α∗ . Но она совершенно не информативна при малых значенияхкорня a1 , когда β ∗ сильно превосходит α∗ . Следующий результат устраняетэтот недостаток.Теорема 3.29. Для любых ρ ∈ (0, 1), α∗ > 0, β ∗ > α∗ справедливы неравенстваπa11−ρ∗ ∗∗∗S (α , β ; ρ) > β ρ+ a1 (1 − a1 )Aρ ,(3.161)sin πρ249eπa1+ a1−ρ+e ,S ∗ (α∗, β ∗ ; ρ) 6 β ∗ ρ1 (1 − a1 ) Bρ lnsin πρa1(3.162)где Aρ = min {1/2, ρ} , а Bρ = (ρ(1 − ρ))−1.Доказательство. Уточним (3.160), оценивая величинуπ a1S ∗ (α∗, β ∗; ρ)−.S :=β ∗ρsin πρС помощью неравенства (3.159) получаемπ− max Φ(b) >b>0sin πρS = (1 − a1 )−1/ρπ− (1 − a1 ) max> (1 − a1 )b>0sin πρbaZ1τ −ρdτ =: (1 − a1 ) min η(b).b>0τ +1b−1/ρФункция η(b) =π−sin πρbaZ1τ −ρdτ , как показано в теореме 4 работы [34],τ +1bимеет (в наших обозначениях) оценку снизуη(b) > Aρ a1−ρ1 ,Aρ = min {1/2, ρ} .Применение этой оценки приводит при всех ρ ∈ (0, 1) к неравенствуS > Aρ a1−ρ1 (1 − a1 ),из которого немедленно следует (3.161).Несколько больших усилий требует оценка величины S сверху.

При получении такой оценки мы, как и в работе [34], заменяем максимальное значениефункции Φ(b) на ее значение в точке b = a1 :max Φ(b) > Φ(a1) = Φ1(a1 ) − Φ2(a1 ).b>0Оценим здесь каждое слагаемое. Во-первых,1−1/ρΦ1(a1) =aZ1τ −ρ − a1−ρ1dτ =τ +1a11−1/ρ= (1 − a1 )aZ1a11−1/ρ−ρτdτ + a1τ +1aZ1a12501−1/ρτ −ρ1 + a1dτ − a1−ρln1τ +11 + a1>1−1/ρ> (1 − a1 )aZ11−1/ρτ −ρ1 + a1dτ − a1−ρ1 (1 − a1 ) lnτ +11 + a1a1>1−1/ρ> (1 − a1 )aZ1τ −ρ1/ρdτ + a1−ρ1 (1 − a1 ) ln a1 .τ +1a11−1/ρ1 + a1На последнем шаге мы воспользовались тем, что1 + a1Таким образом,−1/ρ6 a1.1−1/ρΦ1(a1 ) > (1 − a1 )aZ1τ −ρ1/ρdτ + a1−ρ1 (1 − a1 ) ln a1 .τ +1a1(3.163)Во-вторых,−1/ρa1Za2Φ2(a1 ) =τ −ρ − a2 a−ρ1dτ =τ +1a1−1/ρ= (1 − a1 )a1Za2a1−1/ρ−ρτdτ + a1τ +1a1Za2a1−1/ρτ −ρ1 + a1 a2dτ − a2 a−ρ1 lnτ +11 + a16−1/ρ6 (1 − a1 )a1Za2a1−1/ρ1 + a1 a2τ −ρdτ + a−ρ1 (a1 − a2 ) lnτ +11 + a16−1/ρ6 (1 − a1 )a1Za2τ −ρdτ + a1−ρ1 (a2 − a1 ).τ +1a1Последнее слагаемое получено с учетом элементарных неравенствln1 + a11+−1/ρa1 a26 ln(1 + a1 ) 6 a1 .Окончательно имеем оценку−1/ρΦ2(a1 ) 6 (1 − a1 )a1Za2a1τ −ρdτ + a1−ρ1 (a2 − a1 ).τ +1251(3.164)Теперь, учитывая обе оценки (3.163) и (3.164), получаем1−1/ρΦ(a1 ) = Φ1(a1) − Φ2(a1 ) > (1 − a1 )aZ1τ −ρdτ +τ +1a1−1/ρ1/ρ+ a1−ρ1 (1 − a1 ) ln a1 − (1 − a1 )a1Za2τ −ρdτ − a1−ρ1 (a2 − a1 ) =τ +1a11−1/ρ= (1 − a1 )aZ1τ −ρ1/ρ1−ρdτ + a1−ρ1 (1 − a1 ) ln a1 − a1 (a2 − a1 ).τ +1−1/ρa1 a2Вернемся к оценке величины S :ππ− max Φ(b) 6 (1 − a1 )− Φ(a1 ) =S = (1 − a1 )b>0sin πρsin πρ−1/ρa1Za2Z+∞ −ρ−ρττ − a1−ρ (1−a1) ln a1/ρ + a1−ρ(a2 −a1 ).= (1−a1) dτ+dτ111τ +1τ +1 01−1/ρa1Выражение в квадратных скобках не превосходит−ρ1−ρ−1/ρa1Za21−1/ρ−1/ρZ+∞a1a1 a2−ρ−ρ−1+=τ dτ +τdτ =1−ρρ01−1/ρa1=a1−ρ11−1/ρa21+1−ρρ!a1−ρ1.6ρ(1 − ρ)Не очень трудно показать (геометрически почти очевидно), что для корнейa1 , a2 уравнения (3.7) (0 6 a1 6 1 6 a2 6 e) выполняется условиеa2 − a1 6 e (1 − a1 ).В итоге можем записать11S 6− a1 )− ln a1 + e =ρ(1 − ρ) ρln ae11 − (1 − ρ) ln a11−ρ1−ρ+ e 6 a1 (1 − a1 )+e ,= a1 (1 − a1 )ρ(1 − ρ)ρ(1 − ρ)что равносильно (3.162).

Все утверждения теоремы 3.29 доказаны.a1−ρ1 (1252Если нижняя усредненная ρ -плотность корней целой функции равнаα = 0, то, как мы заметили при доказательстве теоремы 3.26, ее нижнийρ -тип не зависит от верхней усредненной ρ -плотности β ∗ корней и равеннулю. Следовательно, и S ∗(0, β ∗; ρ) = 0 при любом конечном β ∗. Ситуациярезко меняется, если α∗ > 0.

В этом случае невозможно оценить сверху нижний ρ -тип целой функции только через нижнюю усредненную ρ -плотностьее корней, как это утверждает следующий результат, являющийся непосредственным следствием теоремы 3.29.∗Теорема 3.30. Пусть ρ ∈ (0, 1) и α∗ > 0. Справедливо утверждениеsup S ∗(α∗ , β ∗; ρ) = +∞.β ∗ >α∗Доказательство. Зафиксируем α∗ > 0. Если β ∗ → +∞, то меньший корень a1 уравненияα∗ea ln = ∗a βстремится к нулю, а больший корень a2 стремится к e . При этом, согласно (3.161), имеем∗∗∗S (α , β ; ρ) > β∗ρ a1−ρ1 (1α∗ ρ a1−ρ1 (1 − a1 )Aρ− a1 ) Aρ ==α∗ /β ∗1a1−ρ= α ρ Aρ (1 − a1 ) 1 e = α∗ ρ Aρ (1 − a1 ) ρ e → +∞.a1 ln a1a1 ln a1∗Теорема доказана.3.6 О теоремах единственностиОстановимся теперь коротко на непосредственных приложениях изложенных результатов. Справедлив универсальный принцип, который в общих чертах выражается следующим образом.

Всякое утверждение об оценке типа(нижнего типа, индикатора) целой функции через асимптотические характеристики распределения ее нулей может быть переформулировано в видетеоремы единственности: отличная от тождественного нуля целая функцияиз некоторого класса (заданного ограничениями на рост) не может иметь„слишком много“ нулей.

Прежде чем привести несколько примеров конкретизации этого принципа, напомним некоторые определения.253Как обычно, говорим, что целая функция f (z) обращается в нуль напоследовательности комплексных чисел Λ , если для каждого λ ∈ Λ выполняетсяf (λ) = f ′(λ) = . . . = f (n) (λ) = 0,n > Λ(λ) − 1,где Λ(λ) обозначает число вхождений точки λ в Λ . (Функция f (z) можеттакже иметь нули, причем произвольной кратности, в точках, не принадлежащих Λ .)Для положительных чисел ρ, σ через E[ρ, σ) обозначим класс целых функций f (z) , имеющих ρ -тип σρ (f ) < σ , а через E [ρ, σ) — класс целых функцийf (z) , имеющих нижний ρ -тип σ ρ (f ) < σ .Выберем, к примеру, теоремы 3.27, 3.12, 3.17 и переформулируем их ввиде следующих теорем единственности.Теорема 3.31.

Пусть σ > 0, ρ ∈ (0, 1) . Если функция f ∈ E [ρ, σ)c положительными корнями обращается в нуль на последовательности Λ ,имеющей усредненную нижнюю ρ -плотность∆ρ∗(Λ) >σ sin πρ,πρ(3.165)то f ≡ 0 на C. Утверждение перестает быть верным, если правую частьв (3.165) заменить на любую меньшую величину.Теорема 3.32. Пусть σ > 0, ρ ∈ (0, 2) . Если функция f ∈ E [ρ, σ)c вещественными корнями обращается в нуль на последовательности Λ ,имеющей верхнюю ρ -плотность∆ρ (Λ) >2σ,C(ρ/2)(3.166)то f ≡ 0 на C. Утверждение перестает быть верным, если правую частьв (3.166) заменить на любую меньшую величину.Теорема 3.33.

Пусть σ > 0, ρ ∈ (0, 1), θ ∈ [0, π/2] иCθ (ρ) =ln(a2 + 2a cos θ + 1)1− величина из теоремы 3.17.max2 a>0aρЕсли функция f ∈ E[ρ, σ) c Λf ⊂ Γθ обращается в нуль на последовательности Λ , имеющей усредненную верхнюю ρ -плотностьσ∗∆ρ (Λ) >,(3.167)ρ e Cθ (ρ)то f ≡ 0 на C.

Характеристики

Список файлов диссертации