Диссертация (1154389), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Построим усредненную считающую функцию NΛ̃(r) =: N (r)такой экстремальной последовательности нулей. Расположим члены искомойпоследовательности в порядке возрастания:e = (λn )∞ , 0 < λ1 = ... = λn < λn +1 = ... = λn < λn +1 = . . . . (3.131)Λ1122n=1Для r ∈ λnk , λnk+1 считающая функция nΛ̃(r) = n(r) = nk , а усредненнаясчитающая функция N (r) имеет видN (r) = N (λnk ) + nk lnr,λnkk ∈ N.Нам вновь удобней перейти к экспоненциальному переменному в качествеаргумента. Рассмотрим функцииω(x) := n(ex ),График функции Ω(x) =RxΩ(x) := N (ex ).ω(t) dt представляет собой ломаную, каждое зве-0но которой имеет линейное уравнение с натуральным угловым коэффициентом:Ω(x) = Ω(ln λnk ) + nk (x − ln λnk ),237x ∈ [ln λnk , ln λnk+1 ),k ∈ N.Далее, в отличие от предыдущего, обозначим A = α∗, B = β ∗ и рассмотримфункцию yB (x) = B eρ x , x > 0. Проведем к графику GB этой функции касательные lj с угловыми коэффициентами, равными последовательным натуральным числам j ∈ N .

Абсциссы xj точек касания нетрудно вычисляются:xj =j1ln,ρ ρBj ∈ N.Пусть y = Ω1(x) — уравнение ломаной, j -ое звено которой является отрезком касательной lj , содержащим точку касания (xj , Beρ xj ) . В силу выпуклости функции yB (x) график этой ломаной расположен ниже графика GB .Кроме того, по лемме 2.3 на каждом отрезке [xj , xj+1], j → ∞, выполняетсясоотношение11j+110 6 yB (x) − Ω1 (x) 6 (xj+1 − xj ) =ln<= O e−ρx . (3.132)44ρj4ρ jТаким образом,0 6 yB (x) − Ω1(x) → 0,Отсюда следует, что существует пределx → +∞.Ω1(x)= B.x→+∞ eρx(3.133)limМодифицируем ломаную y = Ω1(x) .

Для этого выберем какую-либо строго возрастающую последовательность натуральных чисел mn , удовлетворяющую условиюmn+1ր +∞,n → ∞.(3.134)mnДля каждого j = mn , n ∈ N, мы продлим звено lj ломаной y = Ω 1(x) доρxρ ξj. Затемвстречи с графиком GA функции yA (x) = A e в точке ξj , A e′из этой точки проведем вправо касательную lj к GB в точке ξj , B eρ ξj .Согласно формулам (3.125) абсциссы указанных точек удовлетворяют равенствам11 a21′ξj = xj − ln a1 , ξj = ξj + ln a2 = xj + ln , j = mn , n ∈ N,ρρρ a1′′в которых a1 , a2 — корни уравнения (3.7).

a21 a2=: In, n ∈ N . Еслиj ∈ N,Обозначим отрезки xmn , xmn + lnρ a1a1то на каждом отрезке In считаем, что новая ломаная y = Ω(x) задаетсяуравнениями описанных выше полукасательных (с индексами j = mn ):Ω(x) = Beρxj +ρBeρxj (x−xj ) = Beρxj (1 − ρ(x − xj )) ,238x ∈ [xj , ξj ] , (3.135)′ρξjΩ(x) = Be′ρξj+ρBeНа множестве R \∞S′′ρξj(x−ξj ) = Be′1 − ρ(x − ξj ) ,hi′x ∈ ξj , ξj . (3.136)In =: J оставляем ломаную y = Ω1(x) без изменений,n=1т. е.

полагаем Ω(x) = Ω1(x) при x ∈ J .a2j∈/ N, то в этом случае правую касательную проводим с угЕсли жеa1a2j (квадратные скобки означают целую часть).ловым коэффициентомa1Она пересечет левую касательную не в точке графика GA , а в некоторой точке (ξj , Ω(ξj )) , лежащей выше этого графика. Не очень сложные, но довольнокропотливые вычисления показывают, что выполняется условиеΩ(ξj )→ A,e ρξj(3.137)j = mn → ∞.Кроме того, поскольку на множестве J мы положили Ω(x) = Ω1(x) , тосоотношение (3.133) выполняется для x ∈ J , т.

е.Ω(x)= B.J∋x→+∞ e ρx(3.138)limИз условий (3.137), (3.138) заключаем, что справедливы предельные соотношенияΩ(x)Ω(x)limlim=A,= B.(3.139)ρxx→+∞ e ρxx→+∞ eФормула N (ex ) = Ω(x) определяет усредненную считающую функциюe вида (3.131) следующим образом: абсциссы вершинпоследовательности Λпостроенной ломаной (точнее, их логарифмы) задают члены последовательe с кратностью, равной разности угности, каждый из которых входит в Λловых коэффициентов звеньев ломаной с общей вершиной. Докажем, что построенная последовательность является экстремальной. Действительно, условия (3.139) означают, чтоe = lim N (r) = lim Ω(x) = A,∆∗ρ (Λ)ρρxr→+∞ rx→+∞ e∗e = lim N (r) = lim Ω(x) = B.∆ρ (Λ)r→+∞ r ρx→+∞ e ρ xПолагая в (3.135), (3.136), (3.132)x = ln t,ζn = e ξmn =mnρBa11/ρ239,1/ρt(i)n = ζn ai ,n ∈ N,получимN (t) = B ζnρ a11 + ρ lnN (t) = B ζnρ a21 + ρ lnt1/ρζn a1t1/ρζn a2!!e= B ζnρ a1 lna1ea2= B ζnρ a2 lnB tρ > N (t) > B tρ − O t−ρ ,t∈/∞[trζnρ,trζnρ,t ∈ [t(1)n , ζn ],(3.140)t ∈ [ζn, t(2)n ],(2)[t(1)n , tn ] =: T.(3.141)(3.142)n=1Для логарифма максимума модуля канонического произведения fe(z) , поe , опять воспользуемся представленистроенного по последовательности Λем (3.9) и запишем Z+∞σ(r) = r−ρ ln max fe(z) =ϕr (t)|z|=rtρdt,(1 + t)20NΛe (rt).

Согласно (3.140)–(3.142) имеем(rt)ρih (1) ρ ρζnζntnetrBa1 rt ln a1 ζn , t ∈ r , r , n ∈ N,ih ρ ρζn t(2)ζnetrnBa2 rt ln a2 ζn , t ∈ r , r , n ∈ N,ϕr (t) =∞S(1) (2)−2ρ[tn , tn ].,t∈/T=B−O(tr)где ϕr (t) :=(3.143)(3.144)n=1Интеграл в правой части (3.143) преобразуем следующим образом:σ(r) = BZ+∞0tρdt −(1 + t)2πρ−= Bsin πρ−ZZZ+∞(B − ϕr (t))tρdt =(1 + t)20tρ(B − ϕr (t))dt −(1 + t)2R+ \Ttρπρ(B − ϕr (t))dt=B− (I1(r) + I2 (r)) .(1 + t)2sin πρTИнтеграл I1 (r) при r → +∞ оценивается просто.

Именно,I1(r) = O r−2ρZR+ \Tdt−2ρ6Ortρ (1 + t)2240Z+∞0dt−2ρ.=Ortρ (1 + t)2Вычисление интеграла I2(r) потребует значительно больших усилий. Используя первые две строки (3.144), имеемI2 (r) =Z(2)ρt(B − ϕr (t))dt =(1 + t)2T=ζn /r Z∞Xn=1B − Ba1(1)tn /r(2)+∞Xn=1tZn /rB − Ba2ζn /rζnrtρζnrt∞Xn=1ρelna2tZn /rtρ(B − ϕr (t))dt =(1 + t)2(1)tn /relna1ρ trζntrζn∞Pт. е. I2 (r) = B S(r), где обозначено S(r) =ρ tρdt +(1 + t)2tρdt = B S(r),(1 + t)2Sn (r) иn=1Sn (r) =ζn /r ρZt − a1 ρζnrln(1 + t)2ea1 ρtrζn(2)tZn /r ρt − a2dt +(1) ρζnrln(1 + t)2ea2 ρtrζndt.ζn /rtn /rПредварительным итогом преобразований интеграла в (3.143) является асимптотическое равенство∞Xπρσ(r) = BSn (r) + o(1),−sin πρn=1(3.145)r → +∞.Наша ближайшая задача — оценить сумму в этой формуле. Интегрирование по частям каждого слагаемого дает ρ ζn /r ρ ρζn /r ρζnetrρZln a1 ζn t − a1 ζrnt − a1 rdt −+ ρSn (r) = −(1 + t)t(t + 1) (1)(1)tn /r−tρ − a2 ρ ρ t(2)(2)n /rtZn /r ρetrt − a2 ζrnln a2 ζn + ρdt +(1 + t)t(t + 1) ρζnrζn /rζn /r+ρtn /rζn /r ρZt − a1 ρζnrt(t + 1)(2)dt + ρ(1)tZn /r ρt − a2ζn /rtn /r241 ρζnrt(t + 1)dt.При вычислении подстановок мы учли, что a1 , a2 — корни уравнения (3.7).Таким образом, ρ ρ(2)ζn /r ρtZn /r ρζnZt − a1 rt − a2 ζrnSn (r) = ρdt + ρdt.(3.146)t(t + 1)t(t + 1)(1)ζn /rtn /rЗафиксируем j ∈ N и оценим Sn (r) для r ∈ [ζj , ζj+1] .

Пренебрегая отрицательными слагаемыми, получаем две оценки(2)(2)tZn /rSn (r) 6 ρtρ dt6 ρt(t + 1)(2)=!ρtn /r(2)Sn (r) 6 ρtZn /r(1)tnr−!ρ6(2)tρ dt6ρt(t + 1)ζn /rtρ−1 dt =(1)(1)tn /rtnrtZn /rtZn /rtρ−2 dt =(1)tn /rζnζjρ(2)tnρ ρ−1(3.147)(a2 − a1 ),r!ρ−1−1−ρζj+1ρ1−1/ρ1−1/ρ(a1− a2).61 − ρ ζnИз условия (3.134) следует, что1/ρmj+1ζj+1→ ∞, j → ∞.=ζjmj(1)tnr!ρ−16(3.148)(3.149)Отсюда, применяя теорему Штольца, нетрудно получить равенстваj−1Pζnρlim n=1ρj→∞ ζj∞Pρζj−11= lim ρ= lim ρ ρ= 0,ρj→∞ ζj − ζj−1j→∞ ζj /ζj−1 − 1ζnρ−1n=j+2limρ−1j→∞ζj+1= limρ−1−ζj+1j→∞ ζ ρ−1j+1−ζjρ−11= limj→∞ ζ 1−ρ /ζ 1−ρj+1j−1= 0.Теперь, с помощью (3.147) и (3.148) получаем, что равномерно по r ∈ [ζj , ζj+1]выполняются соотношенияj−1Xn=1Sn(r) 6 (a2 − a1 )ρj−1 Xζnn=1ζjj−1Pζnρ= (a2 − a1 ) n=1ρζj242−→ 0,j → ∞, (3.150)1−ρ∞ Xρζj+11−1/ρ1−1/ρ6Sn (r) 6(a1− a2)1−ρζnn=j+2n=j+2∞X6ρ1−1/ρ1−1/ρ(a1− a2)1−ρ∞Pζnρ−1n=j+2ρ−1ζj+1−→ 0,(3.151)j → ∞.Таким образом, мы установили, что для достаточно больших j главнымислагаемыми в суммеS(r) =∞XSn (r) =n=1j−1X∞XSn (r) +n=1Sn (r) + [Sj (r) + Sj+1(r)]n=j+2служат слагаемые с индексами j и j +1 .

Точнее, равномерно по r ∈ [ζj , ζj+1]справедливо равенствоS(r) = o(1) + [Sj+1(r) + Sj+2(r)],(3.152)j → ∞.Преобразуем сумму в квадратных скобках. Для этого в формуле (3.146), выражающей Sn (r) , сделаем замену переменной t = 1/τ : ρ ρ(2)tZζn /r ρn /r ρζnZt − a1 rt − a2 ζrndt + ρdt =Sn (r) = ρt(t + 1)t(t + 1)(1)ζn /rtn /r−1/ρ= ρa1 Z r/ζnτ−ρ− a1 −ρrζnτ +1dτ + ρr/ζnr/ζnZτ −ρ − a2 −ρrζnτ +1−1/ρa2dτ.r/ζnЗапишем полученное равенство в видеrSn (r) = ρ Φζn(3.153),где функция−1/ρΦ(b) =baZ1τ−ρ− a1 bτ +1b−ρdτ +Zbτ −ρ − a2 b−ρdτ,τ +1b > 0,−1/ρba2та же, что и в формуле (3.121).

Представим ее в виде−1/ρΦ(b) = Φ1(b) − Φ2(b),где Φk (b) =baZkb243τ −ρ − ak b−ρdτ,τ +1k = 1, 2.Нам потребуются некоторые свойства функции Φ(b) . Покажем сначала, что(3.154)Φ(0+) = Φ(+∞) = 0.Достаточно проверить, что каждая функция Φk (b), k = 1, 2, удовлетворяетэтим условиям. Интегрирование по частям дает выражение−1/ρΦk (b) = (ak − 1)ln(b + 1)+ρbρbaZkln(τ + 1)d τ,τ ρ+1k = 1, 2.bУбедимся, что каждое слагаемое здесь удовлетворяет (3.154).

Действительно,ln(b + 1)величинастремится к нулю как при b → 0+ , так и при b → +∞ .bρДалее,−1/ρbaZk−1/ρln(τ + 1)dτ ∼τ ρ+1bbτ −ρ d τ = O b1−ρ → 0,b → 0+,−1/ρ−1/ρbaZkbaZkln(τ + 1)dτ ∼τ ρ+1baZkbb1 2 −1/ρln τ2d τ 6 ρ ln bak − ln b → 0, b → +∞.τ ρ+12bТаким образом, (3.154) выполнено. Поскольку Φ(b) допускает положительные значения при некоторых b > 0 (чтобы не прерывать нить доказательствамы этот факт проверим в начале следующего параграфа), то можно утверждать, что непрерывная на R+ функция Φ(b) достигает своего максимумав некоторой точке b0 , причем(3.155)max Φ(b) = Φ(b0) > 0.b>0Из (3.152), (3.153) следует равномерное по r ∈ [ζj , ζj+1] соотношение rrS(r) = Sj (r) + Sj+1(r) + o(1) = ρ Φ+Φ+ o(1)(3.156)ζjζj+1pпри j → ∞ .

Оценим S(r) сверху.Пустьсначалаr∈[ζ,ζj ζj+1]. Тогдаjсогласно (3.155) имеем Φ ζrj 6 Φ(b0), j ∈ N. Поскольку0<ζjζj+16rζj+16sζjζj+1244−→ 0,j → ∞,то благодаря (3.154) находим, чтоr−→ 0,maxΦ√ζj+1ζj 6r6 ζj ζj+1j → ∞. prПусть теперь r ∈ [ ζj ζj+1, ζj+1]. Тогда Φ ζj+16 Φ(b0). Так какr>ζjsζj+1−→ ∞,ζjj → ∞,то снова в силу (3.154) имеем rΦ−→ 0,√ maxζjζj ζj+1 6r6ζj+1j → ∞.В обоих случаях получаемS(r) 6 ρ Φ(b0) + o(1),r → +∞.(3.157)Более того, если b0 > 1, то, полагая в (3.156) r = pj = b0 ζj , получаем сучетом условий (3.154), чтоb0 ζj+ o(1) = ρ Φ (b0 ) + o(1),j → ∞.S(pj ) = ρ Φ (b0 ) + Φζj+1Если же b0 6 1, то, полагая в (3.156) r = pj = b0 ζj+1 , опять в силу (3.154)получаем b0 ζj+1S(pj ) = ρ Φ+ Φ (b0) + o(1) = ρ Φ (b0) + o(1),j → ∞.ζjВ обоих случаях выполняетсяS(pj ) = ρ Φ (b0 ) + o(1),j → ∞.Из (3.157), (3.158) следует, чтоlim S(r) = ρ Φ(b0).r→+∞Это, в свою очередь, с учетом (3.145) влечетπρπ− lim S(r) = Bρ− Φ(b0) .lim σ(r) = Bsin πρ r→+∞sin πρr→+∞245(3.158)Подводя итог, заключаем, что для функции fe(z) с построенным нулевымe согласно (3.143), (3.145), (3.152), (3.157), (3.158) выполняютсямножеством Λравенстваπ− Φ(b0) .σ(fe) = lim σ(r) = Bρsin πρr→+∞Все случаи рассмотрены.

Характеристики

Список файлов диссертации