Диссертация (1154389), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Нам удобней здесь рассматривать целые функции, имеющие последовательности нулей, „привязанные“ не к мнимой, а к вещественной оси. Ясно,что поворот комплексной плоскости не меняет ни величины типов функцийfˆ(z) = f (iz) ни усредненные плотности нулей. Сформулируем результат,вытекающий из теоремы 3.20 при m = 2 в виде отдельного утверждения.Теорема 3.22. Пусть θ ∈ [0, π/4] . Тип каждой целой функции f (z) по∗рядка ρ ∈ (0, 2) с нулями Λf ∈ Ṽ2, θ усредненных ρ -плотностей ∆ρ (Λf ) = β ∗,∆ ∗ρ (Λf ) > α∗, удовлетворяет точной оценкеρ β∗ ∗ ∗ ρ σρ(f ) >C2θ k ,=22(3.105)2/ρ∗∗ρ β πkcos 2ρθ + max=a>02 sin πρ2aaZ2(a−ρ/2 − k ∗ t−ρ/2)(t + cos 2θ)dt,t2 + 2t cos 2θ + 12/ρaa1α∗eα∗иa,a(06a616a6e)—корниуравненияaln.=1212β∗a β∗Равенство достигается нафункциис нулями Λ0 , ле некоторой целойжащими на прямых l±θ = z ∈ C : z = te±iθ , t ∈ R и имеющими усред∗ненные ρ -плотности ∆∗ρ (Λ0) = α∗ , ∆ρ (Λ0) = β ∗.где k ∗ =Для θ = 0 отсюда получаем такой факт.Следствие 3.3.

Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 2)с нулямиℑλnΛf = {λn } :−→ 0, n → ∞,|λn |∗имеющими усредненные ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β ∗ , ∆ ∗ρ (Λf ) > α∗ , удовлетворяет точной, достижимой оценкеρβ ∗ ∗ ∗ ρ σρ (f ) >=C k ,22216ρβ ∗ πk ∗+ max=a>02  sin πρ22/ρaa2Z2/ρaa1ρρa− 2 − k ∗ τ − 2 dτ ,τ +1α∗k = ∗,β∗α∗eгде a1 , a2 (0 6 a1 6 1 6 a2 6 e) — корни уравнения a ln = ∗ .a βОбратим внимание на то, что этот результат справедлив, в частности,в случаях, когда нули целой функции расположены:a) на вещественной прямой;b) между параллельными прямыми {z ∈ C : ℑz = ±h} при любом h > 0 ;c) более общо, во множестве{z = x + iy ∈ C : |x| δ1(x) 6 y 6 |x| δ2(x),x ∈ R} ,где δ1 (x) 6 0 6 δ2(x), x ∈ R, и для k = 1, 2 функции δk (x) −→ 0 приx → ±∞.Интересно также отметить, что оценки величины ρ -типа из следствий 3.1и 3.3 совпадают.

Но следствие 3.1 справедливо для целых функций порядкаρ ∈ (0, 1) с нулями на оси или в полуплоскости, а следствие 3.3 — для целыхфункций порядка ρ ∈ (0, 2) с нулями на оси или „близкими“ к ней.Особый интерес представляет поведение на мнимой оси целой функцииln |f (ix)|с вещественными нулями, характеризуемое величинами lim, т. е.x→±∞|x|ρзначениями в точках ϕ = ± π2 индикатораln f (reiϕ),−π 6 ϕ 6 π.hρ (f, ϕ) := limr→+∞rρВ § 3.2.3 рассмотрены оценки снизу индикаторов hρ f, ± π2 через обычныеρ -плотности последовательности нулей. Здесь мы можем c помощью теоремы 3.22 усилить эти результаты, доказав аналогичные оценки индикаторовчерез усредненные ρ -плотности.

Одновременно уточняются и расширяютсярезультаты работ [104, theorem 7.3.1], [105, theorem 8.2.1].Действительно, как показано после теоремы 3.12, если c ∈ R, λn ∈ R и 2 !∞ ∞YYzzze λn , а F (z) = f (z)f (−z) =,f (z) = ecz1−1−λλnnn=1n=1то при вещественных r > 0 справедливо равенство 2 !∞Yr1+= |f (±ir)|2.max |F (z)| = |F (±ir)| =|z|=rλnn=1217Это же равенство выполняется и для более простого произведения∞ Yzf (z) =1−,λn ∈ R.λnn=1В любом случае имеем ln |f (±ir)| = 12 ln |F (±ir)| , и это дает равенстваπ 1π 1 = hρ F, ±= σρ (F ).hρ f, ±2222∗∗Кроме того, очевидно, что ∆ρ (ΛF ) = 2 ∆ρ (Λf ) и ∆∗ρ (ΛF ) = 2 ∆∗ρ (Λf ) .Итак, с помощью теоремы 3.22 убеждаемся в справедливости следующегорезультата.Теорема 3.23.

Пусть ρ ∈ (0, 2), ρ 6= 1, β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗] . Пусть,далее, f (z) — целая функция порядка ρ с вещественными нулями усред∗ненных ρ -плотностей ∆ρ (Λf ) = β ∗ , ∆∗ρ (Λf ) > α∗. Тогдаhρ ππln |f (±ir)| ρ β ∗ ∗ ∗ ρ f, −>C k ,= hρ f,= lim,r→+∞22rρ22При ρ = 1 результат верен для функций вида∞ Yzzcze λn ,λn ∈ R,f (z) = e1−λnn=1α∗k = ∗.β∗c ∈ R,именно, справедливо неравенствоπα∗π β ∗ ∗ 1> C k ,+ max Φ∗α∗ ,β ∗ (a),=h f, ±a>02222где величинаΦ∗α∗ ,β ∗ (a)√β∗(a2 − a1 ) a1 + aa22∗= √ ln− α arctg2 a 1 + aa211 + aa1 a2получена прямым подсчетом интеграла в (3.97) при ρ = 21 .Можно ли дать оценки индикатора целой функции в точках, отличныхот ϕ = ± π2 ? Как показывают результаты следующего параграфа, в некоторых случаях разработанный метод предоставляет возможность получатьточные оценки индикатора не только в отдельных точках, но и для значенийаргумента из определенных промежутков.2183.4.1 Оценки индикатора целой функции снизуПусть f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 1) с отрицательными нулями λn = −rn , 0 < rn ր +∞ .

Тогда справедливо представление∞ Yzf (z) =1+, z ∈ C,rnn=1причем|f (reiθ )|2 = f (reiθ ) f (reiθ ) = Y 2 !∞ ∞iθ−iθYrerrre=1+1 + 2 cos θ +.1+=rrrrnnnnn=1n=1Но в правой части равенства2 ln |f (reiθ )| =∞Xln 1 +n=12rcos θ +rnrrn2 !без труда узнаем величину σ(r) , на оценке которой основывалось доказательство теоремы 3.16. Следует учесть только, что в отличии от ситуации вэтой теореме считающая функция нулей уменьшается в два раза, посколькунули теперь располагаются не на двух лучах — сторонах угла, а на однойотрицательной полуоси. Отметим также.

что выбор последовательности модулей нулей экстремальной целой функции из теорем 3.16, 3.17 не зависел отраствора угла. Указанные обстоятельства позволяют сформулировать следующие утверждения.Теорема 3.24. Пусть β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗] , и f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 1) с отрицательными нулями Λf усредненных ρ -плотностей∗∆ρ (Λf ) = β ∗, ∆∗ρ (Λf ) > α∗ . Тогда для каждого значения θ ∈ [− π2 , π2 ] справедлива точная оценкаln f (reiθ )α∗∗ ∗ ∗∗> ρ β Cθ (k , ρ),k = ∗,hρ (f, θ) = limr→+∞rρβили, в развернутом виде,1/ρ πα∗hρ (f, θ) > ρ  sin πρ cos ρθ + maxa>0aaZ21/ρaa1219(β ∗a−ρ − α∗ t−ρ )(t + cos θ) dt,t2 + 2t cos θ + 1(3.106)α∗eгде a1 , a2 (0 6 a1 6 1 6 a2 6 e) — корни уравнения a ln = ∗ .a βСуществует целая функция, обладающая отрицательными нулями Λ0∗усредненных ρ -плотностей ∆ρ (Λ0) = β ∗, ∆∗ρ (Λ0 ) = α∗ , индикатор которой при всех θ ∈ [− π2 , π2 ] доставляет равенство в (3.106).Для α∗ = 0 отсюда следует такое утверждение.Теорема 3.25.

Индикатор целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1) с от∗рицательными нулями Λf усредненной верхней ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β ∗для каждого значения θ ∈ [− π2 , π2 ] удовлетворяет точному неравенствуln(a2 + 2a cos θ + 1)β ∗eρmax.hρ (f, θ) >2 a>0aρ(3.107)Существует целая функция, обладающая отрицательными нулями усред∗ненной ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β ∗, индикатор которой при всех θ ∈ [− π2 , π2 ]доставляет равенство в (3.107).Для α∗ = β ∗ из (3.106) вытекает неравенствоhρ (f, θ) > ρπα∗cos ρθ,sin πρоднако для целых функций с измеримой последовательностью отрицательных нулей известна асимптотика f (z) при z → ∞ , откуда точно находитсявеличина индикатора hρ (f, θ) при всех θ (см.

[104, гл. 7]):πα∗hρ (f, θ) = ρcos ρθ,sin πρθ ∈ (−π, π).Это равенство говорит о неулучшаемости последней оценки для индикатора.3.4.2 Свойства экстремальной величины Cθ∗(k ∗, ρ)Наименьший ρ -тип целых функций с нулями на рассмотренных в предыдущих параграфах множествах выражается через величину (3.97):1/ρCθ∗(k ∗, ρ)∗πkcos ρθ + max=a>0sin πρaaZ2(a−ρ − k ∗t−ρ )(t + cos θ)dt,t2 + 2t cos θ + 11/ρaa1имеющую весьма сложный вид.

Приведем здесь некоторые ее свойства, которые дадут нам возможность полнее охарактеризовать экстремальные функции. Дадим также простые оценки для величины Cθ∗(k ∗, ρ) через элементарные и исследованные ранее неэлементарные функции. Так, в [81, теорема 3.2]220подробно описаны свойства Cθ∗(ρ) , гдеCθ∗(ρ):=Cθ∗(0, ρ)ln(a2 + 2a cos θ + 1)= max.a>0aρПриступая к изучению функции Cθ∗(k ∗, ρ) покажем сначала, что она является возрастающей и выпуклой по переменной k ∗ на отрезке [0, 1] при каждом фиксированном значении параметров ρ ∈ (0, 1) и θ ∈ [0, π2 ] .

Поскольку максимум выпуклых и возрастающих функций также является функциейвыпуклой и возрастающей, то достаточно показать, что при любых фиксированных ρ ∈ (0, 1), θ ∈ [0, π2 ] и a > 0 этими же свойствами обладаетфункция1/ρπxϕ(x) = ϕθ, a (x) :=cos ρθ +sin πρaaZ2(a−ρ − x t−ρ)(t + cos θ)dt,t2 + 2t cos θ + 11/ρaa1в определении которой a1 = a1 (x) и a2 = a2 (x) суть корни уравненияa lne= x,ax ∈ [0, 1],0 6 a1 6 1 6 a2 6 e .Из этого уравнения легко получаем, чтоa′i (x) = −1,ln ai (x)1−x= ln ai (x),ai (x)i = 1, 2.С учетом записанных равенств найдем производную функции ϕ(x), полагаяt+bради краткости cos θ = b и R(t) = 2. Имеемt + 2tb + 1ϕ′(x) =1a 1ρ −1 ′πρcos ρθ + (a−ρ − x a−ρ a−1)R(aaa a2 −)22sin πρρ 21ρ1ρ− (a−ρ − x a−ρ a−11 )R(aa1 )Zaa2a ρ1 −1 ′a a1 −ρ 1t−ρ R(t) dt =πcos ρθ +sin πρ1aa1ρ+1ρ1a1−ρ a1ρ−11R(aa1ρ ) −1a1−ρ a2ρ221−11R(aa2ρ ) −1ρZaa21aa1ρt−ρ R(t) dt.1ρОбозначив для сокращения записи ti = aai , i = 1, 2, получим1 1−ρπ1−ρ′t R(t2 ) − t1 R(t1 ) −cos ρθ −ϕ (x) =sin πρρ 2π1=cos ρθ −sin πρρZt2Zt2t−ρ R(t) dt =t1t−ρ (tR(t))′ dt .t1Последнее равенство легко проверяется:′Zx−ρ1−ρ ′1−ρ x R(x) + t−ρ R(t) dt = (1 − ρ)x R(x) + x R (x) + x−ρR(x) =ρρ01 −ρx−ρx−ρ1−ρ ′′= (x R(x) + x R (x)) =(R(x) + xR (x)) =(xR(x))′.ρρρТаким образом, мы пришли к формуле1ϕ′ (x) =1πcos ρθ −sin πρρρZaa2t−ρ (tR(t))′ dt,(3.108)1aa1ρпричем подынтегральное выражение положительно:′t2 + t bb t2 + 2 t + b′(tR(t)) == 2> 0,t2 + 2 t b + 1(t + 2 t b + 1)2t > 0.1, i = 1, 2, следует, чтоln ai (x)функция a1 (x) возрастает на отрезке [0, 1] , а функция a2 (x) убывает наэтом же отрезке.

Характеристики

Список файлов диссертации