Диссертация (1154389), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Каки выше, строим функцию F1∗ (z) c нулями плотностей ∆ ρ2 (ΛF1∗ ) = β,∆ ρ2 (ΛF1∗ ) = α, расположенными на лучах γ2θ , γ−2θ , и такую, что ρβρσ 2 (F1) = C2θ k,.22Полагая теперь f ∗(z) = F1∗ (z 2 ), имеем ρβ∗∗.σρ (f ) = σ ρ2 (F ) = C2θ k,∆ρ (Λf ∗ ) = β, ∆ ρ (Λf ∗ ) = α,22Теорема доказана.1853.3 Наименьший возможный рост целой функции с нулями в углахЗадача о точной оценке снизу типа целой функции порядка ρ ∈ (0, 1)через усредненные плотности распределения ее нулей в случае, когда нули лежат на луче, исследована в § 3.1. Следующим естественным шагомв данном направлении является изучение роста целых функций с нулями,расположенными не на одном, а на нескольких лучах или в угле. Совсемнедавно А. Ю. Попов [81] определил наименьший возможный тип при порядке ρ ∈ (0, 1) целых функций с нулями заданной верхней плотности, расположенными в некотором угле, а В.

Б. Шерстюков [97] решил такую же задачус дополнительным условием на нижнюю плотность нулей. В § 3.2 найденонаименьшее возможное значение типа при порядке ρ ∈ (0, m) целых функций с нулями заданных верхней и нижней плотностей, расположенными на mлучах, делящих плоскость на равные углы. Как и в случае целых функцийс положительными нулями, актуальной является задача о точных оценкахтипа через интегральные характеристики распределения нулей — усредненные верхнюю и нижнюю плотности.

Здесь мы определяем наименьшее значение типа целых функций с нулями, имеющими заданные верхнюю и нижнюю усредненные плотности. При этом предполагается, что нули лежат либов некотором угле, либо между двумя прямыми, либо на нескольких правильно расположенных лучах, а также на некоторых более широких множествах(см. [28]). В частности, решена одна из проблем, поставленных в недавнемобзоре [81] (см.

§ 1, задача 1∗ ).Будем использовать определения и соглашения, принятые в предыдущихчастях диссертации. Опишем структуру этого параграфа. В §§ 3.3.1, 3.3.2исследуется случай, когда нули целой функции распределены в углеΓθ := {z ∈ C : | arg z| 6 θ}и обладают заданными усредненными ρ -плотностями. При этих условияхнаходится величина наименьшего возможного ρ -типа функции. Главным результатом этих параграфов является следующая теорема.Теорема 3.16. Пусть ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗] , θ ∈ [0, π2 ] . Типпри порядке ρ каждой целой функции f (z) с нулями Λf , лежащими в уг∗ле Γθ и имеющими усредненные ρ -плотности ∆ρ (Λf ) = β ∗, ∆ ∗ρ (Λf ) > α∗ ,186удовлетворяет неравенству πα∗ cos ρθσρ(f ) > ρ  sin πρ + maxa>01/ρaa2Z1/ρaa1(β ∗a−ρ − α∗ τ −ρ ) (τ + cos θ) dτ  , (3.61)τ 2 + 2τ cos θ + 1где a1 , a2 (0 6 a1 6 1 6 a2 6 e) — корни уравненияa lnα∗e= ∗.a β(3.62)Равенство в оценке (3.61) достигается на некоторой целой функции с нулями Λf = Λ0 , лежащими на лучах γ±θ := {z ∈ C : arg z = ±θ} , и такими,∗что ∆∗ρ (Λ0) = α∗ , ∆ρ (Λ0) = β ∗ .Выделим несколько важных случаев теоремы 3.16.

Полагая в ней α∗ = 0 ,получаем следующий результат.Теорема 3.17. Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1) снулями, расположенными в угле раствора 2θ ∈ [0, π] и имеющими верхнююусредненную ρ -плотность β ∗ , удовлетворяет оценкеσρ (f ) >ln(a2 + 2a cos θ + 1)β ∗eρmax.2 a>0aρ(3.63)Существует целая функция, нули которой образуют последовательность∗Λ0 ⊂ γθ ∪ γ−θ с верхней усредненной ρ -плотностью ∆ρ (Λ0 ) = β ∗ , реализующая равенство в этой оценке.Теперь из теоремы 3.16 при α∗ = β ∗ для целых функций с измеримыминулями вытекает такое утверждение.Теорема 3.18. Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1) с измеримыми нулями усредненной ρ -плотности β ∗ , расположенными в углераствора 2θ ∈ [0, π] , удовлетворяет оценкеσρ (f ) > β ∗πρ cos ρθ.sin πρ(3.64)Равенство реализуется на целой функции, нулями которой служит измеримая последовательность Λ0 ⊂ γθ ∪γ−θ с усредненной ρ -плотностью β ∗/2на каждом из лучей γ±θ .187Если θ = 0, то нули функции расположены на положительной полуоси R+ .

В этом случае теорема 3.16 дает значение наименьшего ρ -типа целойфункции с положительными нулями заданных усредненных ρ -плотностей,найденное в § 3.1:при любых заданных ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗] экстремальная величинаno∗∗∗∗∗∗∗s (α , β ; ρ) := inf σρ(f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α , ∆ ρ (Λ) = βвычисляется по формуле πα∗s (α , β ; ρ) = ρ  sin πρ + maxa>0∗∗∗1/ρaa2Z1/ρaa1(β ∗a−ρ − α∗ τ −ρ ) dτ ,τ +1где a1 и a2 по-прежнему являются корнями уравнения (3.62); нижняягрань s ∗ (α∗ , β ∗ , ρ) достигается на некоторой последовательности Λ0 ⊂ R+∗такой, что ∆∗ρ (Λ0 ) = α∗ и ∆ρ (Λ0) = β ∗ .Дальнейшее содержание таково.

В § 3.3.3 мы усиливаем теорему 3.16, показывая, что ее утверждение остается в силе для функций с нулями, лежащими в некоторых „близких“ к углу криволинейных областях. В § 3.3.4решены аналогичные задачи для целых функций с нулями, расположенными в областях, „близких“ не к одному, а к нескольким непересекающимсяуглам, биссектрисы которых делят плоскость на равные части.

Следующий§ 3.3.5 посвящен важному случаю расположения нулей целых функций порядка ρ ∈ (0, 2) на одной прямой, между двумя пересекающимися или параллельными прямыми, а также и в чуть более широких множествах. Здесьже даны точные оценки снизу индикатрис роста целых функций. Наконец, взаключительном § 3.3.6 установлены некоторые свойства экстремальной величины, выражающей наименьший возможный ρ -тип целых функций.3.3.1 Доказательство теоремы 3.16: основная оценкаПусть ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗], θ ∈ [0, π/2] — фиксированныечисла, a1 и a2 — корни уравнения (3.62). Пусть далее f (z) — целая функция,все нули которой Λ = Λf лежат в угле Γθ = {z ∈ C : | arg z| 6 θ} и имеютусредненные ρ -плотности∗∆ ∗ρ (Λ) > α∗ .∆ ρ (Λ) = β ∗,188Наша ближайшая задача — доказать неравенство (3.61), связывающее ρ -типσρ(f ) такой функции с усредненными плотностями ее нулей.Без ограничения общности будем в дальнейшем считать, что f (0) = 1 , иупорядочим нули функции f (z) по возрастанию модуля, записав их в видеλn = rn eiθn ,|θn | 6 θ,rn = |λn | ր +∞,n ∈ N.По теореме Адамара [62, гл.

I, §10] функция f (z) представляется в виде канонического произведения∞ Yzf (z) =1−,z ∈ C.(3.65)λnn=1Рассмотрим вспомогательную целую функцию∞ Yzz1−F (z) = f (z) f (z) ==1−λλnnn=1=∞Yn=11−z11+λn λn+z|λn |2 !=∞Yn=12zcos θn +1−rnzrn2 !,где черта означает комплексное сопряжение. Для любого z ∈ C, |z| = r,имеем 2 2zr2z2rωn (z) := 1 −= ωn(−r).cos θn +cos θn +61+rnrn rnrnУчитывая теперь, что для |θn| 6 θ справедливо соотношение cos θn > cos θ ,получаем 2 !∞∞YY2rrmax |F (z)| =ωn (−r) >1+cos θ +,|z|=rrrnnn=1n=1ln max |F (z)| >|z|=r∞Xn=1ln 1 +2rcos θ +rnrrn2 !=: σ(r).Заметим, что неравенство превращается в равенство, если |θn | = θ для всехn ∈ N .

Положим временно для сокращения записи b = cos θ. Как и прежде, будем обозначать через n(t) = nΛ(t) считающую функцию нулей f (z)и через N (t) = NΛ(t) — их усредненную считающую функцию. В дальнейшем зависимость от Λ в обозначениях этих и других характеристик будемопускать там, где это не вызывает недоразумений.189Применяя стандартное интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса,преобразуем выражение для σ(r) :+∞Z+∞ r 2 r 2 2r2rσ(r) =d n(t) = ln 1 + b +n(t) −ln 1 + b +tttt00−Z+∞Z+∞−2br/t2 − 2r2/t3n(t) dt = 2r1 + 2br/t + (r/t)20= 2r0n(t) dtbt + r=r2 + 2brt + t2 | {zt }dN (t)+∞ Z+∞bt + rbr2 + 2rt + bt2 +N(t)dt .N(t)r2 + 2brt + t2(r2 + 2brt + t2 )200Здесь обе подстановки обращаются в нуль.

Действительно, условие f (0) = 1∗влечет n(0) = N (0) = 0, а из конечности величины ∆ρ и известного неравенства (см. [62, гл. IV, §1])∗∆ρ 6 e ρ ∆ρ(3.66)следует, что N (t) = O(tρ ) и n(t) = O(tρ ) при t → +∞. После заменыпеременной t = rτ в последнем интеграле получаемZ+∞Z+∞N (rτ ) τ ρ (bτ 2 + 2τ + b)bτ 2 + 2τ + bρdτ = 2 rdτ.σ(r) = 2N (rτ ) 2(τ + 2bτ + 1)2(rτ )ρ (τ 2 + 2bτ + 1)200Подводя итог вычислениям, запишем соотношениеln max |F (z)||z|=rrρσ(r)> ρ =2rZ+∞∆∗(rτ ) K(τ ) dτ,(3.67)0где обозначеноN (r)∆ (r) := ρ ,r∗τ ρ (bτ 2 + 2τ + b)K(τ ) :=.(τ 2 + 2bτ + 1)2В случае, когда |θn | = θ при всех n ∈ N , выполняется равенствоln max |F (z)||z|=rrρZ+∞σ(r)= ρ =2∆∗(rτ ) K(τ ) dτ.r0Оценим снизу функцию ∆∗(r) .190(3.68)Рассмотрим сначала случай, когда последовательность нулей целой функ∗ции неизмерима, т.

е. ∆ ∗ < ∆ . Из определения усредненной считающейфункции N (x) вытекает, что при всех положительных r, τ, a выполняетсяоценкаN (rτ ) = N (r/a) +Zrτn(x)dx > N (r/a) + n(r/a) ln aτ.xra−1Отсюда уже нетрудно получить, что∆∗(rτ ) >N (r/a) 1 + ν(r/a) ln aτN (r/a) + n(r/a) ln aτ==(rτ )ρ(r/a)ρ(aτ )ρ= ∆∗(r/a)1 + ν(r/a) ln aτ,(aτ )ρn(r). Далее нам потребуется одно вспомогательноеN (r)утверждение, доказанное в лемме 3.1 из § 3.1.5.Пусть Λ — неизмеримая последовательность положительных чисел,∗т. е.

∆ ∗ < ∆ . Тогда найдется последовательность Rj → +∞, на которойвыполняются соотношениягде обозначено ν(r) :=ν(Rj ) > ρ,∗∆∗(Rj ) → ∆ ,(3.69)j → ∞.Зафиксируем произвольно положительные числа a > 0 и ε > 0. Изопределения усредненной нижней ρ -плотности последовательности Λ найc1/ρдем число c > 0 так, чтобы при каждом r > a c a2для всех τ >r∗α. Пусть r пробегает значевыполнялось неравенство ∆∗(rτ ) > αε∗ :=1+εния rj = aRj , где Rj взяты из леммы 3.1. Применяя эту лемму, для всехдостаточно больших j , скажем j > j0 , получимν(Rj ) = ν(rj /a) > ρ,∆∗(Rj ) = ∆∗(rj /a) > βε∗ :=β∗.1+εПродолжая доказательство оценки (3.61), можем записать соотношение∆∗(rj τ ) > βε∗1 + ρ ln aτ,(aτ )ρτ>c,rjj > j0 .Введем для τ > 0 вспомогательную функцию 111+ρlnaτ,τ ∈ (aa2ρ )−1, (aa1ρ )−1 , βε∗ρ(aτ ) 1ψr (τ ) =1ρρ∗−1−1αε ,τ∈/ (aa2 ) , (aa1 ).191Здесь и ниже a1 6 1 6 a2 суть корни уравнения (3.62).

Обратим вниманиена то, что при α∗ = 0 имеем a1 = 0 , a2 = e , и функция ψr (τ ) принимаетвид 1−1 βε∗ 1 + ρ ln aτ ,ρτ ∈ (ae ) , +∞ ,(aτ )ρψr (τ ) = 1−10,τ∈/ (ae ρ ) , +∞ .Учитывая, что для τ > c rj−1 выполняется ∆∗(rj τ ) > αε∗ , можем утверждать,1/ρчто при всех rj > a c a2и τ > c rj−1 , j > j0 справедливо неравенство∆∗ (rj τ ) > ψrj (τ ).Последнее вместе с (3.67) во всех случаях влечет за собой оценкуln max |F (z)||z|=rjrjρ>2Z+∞ψrj (τ ) K(τ ) dτ,j > j0 .(3.70)c rj−1Интеграл в правой части преобразуем следующим образом:Z+∞ψrj (τ ) K(τ ) dτ =c rj−1= αε∗ 1ρ −1(aaZ2 )K(τ ) dτ +1c rj−1= αε∗ Z+∞c rj−1Z+∞(aa1ρ )−1K(τ ) d τ +1∗K(τ )dτ  + βερ −1(aaZ1 )1 + ρ ln aτK(τ ) dτ =(aτ )ρ1(aa2ρ )−11ρ −1(aaZ1 ) 1(aa2ρ )−11+ρlnaτ− αε∗ K(τ ) dτ =βε∗ρ(aτ )1ρ −1crj−1(aaZ+∞ZZ1 )(βε∗a−ρ (1 + ρ ln aτ ) − αε∗ τ ρ ) K(τ )= αε∗  K(τ )dτ −K(τ ) dτ +dτ.τρ001(aa2ρ )−1Переходя теперь в неравенстве (3.70) к пределу по j → ∞, получаемσρ(F )> limj→∞2Z+∞ψrj (τ ) K(τ ) dτ =c rj−11921ρ −1(aaZ+∞Z1 )(βε∗a−ρ (1 + ρ ln aτ ) − αε∗ τ ρ ) K(τ )∗= αεK(τ ) dτ +dτ.τρ01(aa2ρ )−1Устремив здесь ε к нулю, приходим к неравенству1σρ (F )> α∗2Z+∞ρ −1(aaZ1 )K(τ ) dτ +|0{z1}I1(β ∗a−ρ (1 + ρ ln aτ ) − α∗ τ ρ ) K(τ )dτ .

Характеристики

Список файлов диссертации