Диссертация (1154389), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Выделим поэтому важный частный случай m = 2 теоремы 3.11, когда нули целой функции порядка ρ ∈ (0, 2) лежат на одной прямой, которуюудобно сейчас считать вещественной осью.Теорема 3.12. Пусть f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 2) с вещественными нулями Λf = Λ . Тогда справедливы утверждения:1. Если ∆ρ (Λ) = β > 0 , то выполняется точная оценкаβ ρσρ (f ) > C,22где величина C(ρ) определена в (3.40). Всякая функция, доставляющая равенство в эту оценку, обладает тем свойством, что равны нулю как нижняя ρ -плотность ее корней, так и ее нижний ρ -тип.1792. Если ∆ρ (Λ) = β > 0 и ∆ρ (Λ) > α ∈ [0, β] , то справедлива точнаяоценкаβ ρσρ (f ) > C k,,22αгде k = , а величина C(k, ρ) определена формулой (3.53).βОтметим, что нижние границы типов из теоремы 3.12 являются точными и в аналогичных задачах для целых функций с нулями в полуплоскости.Соответствующие результаты получены А.
Ю. Поповым [81] и В. Б. Шерстюковым [97], но только при ρ ∈ (0, 1) .В ряде случаев важно знать поведение целой функции на мнимой оси,ln |f (ix)|характеризуемое величинами lim, т. е. значениями индикатораx→±∞|x|ρln f (reiϕ )πвточкахϕ=±.hρ (f, ϕ) := limr→+∞rρ2Известен следующий факт (см. [104, theorem 7.3.1], где рассмотрена болееобщая ситуация уточненного порядка).Пусть f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 1) , все нули которойΛf = Λ являются вещественными.
Тогда эквивалентны утверждения:nΛ (r)=βr→+∞ r ρ∃ limиln |f (ix)|πβ.=x→±∞|x|ρ2 sin πρ2Результат верен также и для канонических произведений порядка ρ = 1(см. [105, theorem 8.2.1]).Случай же целых функций с неизмеримыми вещественными нулями менееизучен. В этой связи теорема 3.12 может предоставить точную информацию.Чтобы ее получить, воспользуемся следующим простым соображением.∃ limЕсли c ∈ R и f (z) = ecz∞Qn=1z1−λnF (z) := f (z)f (−z) =ze λn ,∞Yn=11−аλn ∈ R,zλn2 !,s 2∞Qxix1 − =1+,то при вещественных x имеем |f (ix)| =λnλnn=1n=1 2 !∞Yx1+|F (ix)| == |f (ix)|2.λnn=1∞Q180Эти же соотношения справедливы и для более простого произведения∞ Yzf (z) =1−,λn ∈ R.λnn=1В любом случае имеем ln |f (ix)| = 12 ln |F (ix)| , и это дает равенствоπ 1π 1 = hρ F, ±= σρ (F ).hρ f, ±2222Кроме того, очевидно, что ∆ρ (ΛF ) = 2 ∆ρ (Λf ) и ∆ ρ (ΛF ) = 2 ∆ ρ (Λf ) .Таким образом, на основании теоремы 3.12 получаем результат, показывающий, в частности, что индикатор в точках ϕ = ± π2 любой целой функциинецелого порядка ρ ∈ (0, 2) с вещественными нулями заданных ρ -плотностейне меньше, чем минимальный возможный ρ -тип на классе таких функций.Дадим точную формулировку.Теорема 3.13.
Пусть ρ ∈ (0, 2), ρ 6= 1 , β > 0, α ∈ [0, β] . Пусть, далее,f (z) — целая функция порядка ρ с вещественными нулями ρ -плотностей∆ρ (Λf ) = β, ∆ ρ (Λf ) > α. Тогда πln |f (ix)| βα ρπhρ f, −= hρ f,= lim> C,.x→+∞22xρ2β 2При ρ = 1 результат верен для целых функций вида∞ Yzzczλn ∈ R,f (z) = e1−e λn ,λnn=1c ∈ R,именно, справедливо неравенствоπ βα 1παh f, ±,+ max Φα,β (a),> C=a>022β 22где величина√(1 − k) a1+aβ− α arctg,Φα,β (a) = √ ln1 + ak2 a 1 + ak 2k=α,β(3.56)получена прямым подсчетом интеграла в (3.53) при ρ = 12 .Здесь и далее индекс в обозначениях характеристик hρ , σρ , ∆ ρ , ∆ρ приρ = 1 для удобства опускается.181При α = β, в частности, получаем оценкиln |f (ix)|πβπhρ f, ±>,ρ ∈ (0, 2), ρ 6= 1;= limx→+∞2xρ2 sin πρ2ln |f (ix)| πβπ= lim>,ρ = 1,h f, ±x→+∞2x2справедливые для соответствующих классов функций из теоремы 3.13.
Точность оценок для ρ ∈ (0, 1] подтверждается цитированными выше результатами из [104] и [105].Пожалуй, наиболее употребительными в приложениях являются целыефункции порядка ρ = 1 с вещественными нулями. Применительно к такимфункциям предыдущие результаты приводят к следующим утверждениям(ср. [139, theorem X], где рассмотрен случай четных функций).Теорема 3.14. Пусть f (z) — целая функция, порядок которой равенединице, а все нули вещественные и образуют последовательность Λ с плотностями ∆(Λ) = β, ∆(Λ) > α, α ∈ [0, β]. Тогда1. Для типа функции f (z) справедливо точное неравенствоσ>πα+ max Φα,β (a).a>022. Ширина df индикаторной диаграммы f (z) в направлении мнимой осиудовлетворяет оценке ππ+ h f, −> πα + 2 max Φα,β (a).df := h f,a>022Здесь Φα,β (a) определена формулой (3.56).Второе утверждение вытекает из теоремы 3.13 с учетом того, что домножение на экспоненту не меняет ширины индикаторной диаграммы.
Простейшими примерами функций, иллюстрирующими теорему 3.14, являются∞ ∞ z 2 Ysin πz Y1z −zγzf (z) ===e1−и g(z) =1+e n,πznzΓ(z)nn=1n=1где γ — константа Эйлера–Маскерони. Для первой из этих функций выполняются равенства∆(Λf ) = ∆(Λf ) = 2,σ(f ) = π =df,2в то время как для второй имеем∆(Λg ) = ∆(Λg ) = 1,σ(g) = ∞,182π π= .h g, ±223.2.4 Целые функции с нулями на осяхПомимо целых функций с вещественными нулями интерес представляюти функции с нулями на обеих координатных осях комплексной плоскости,что соответствует случаю m = 4 в теоремах 3.10 и 3.11.
Здесь мы рассмотрим более общую ситуацию, когда нули целой функции расположены на двухпроизвольных прямых, пересекающихся в начале координат. Приведем одинрезультат, полученный в [4, теорема 1] и перекликающийся с упомянутыми вначале предыдущего параграфа фактами из монографий [104] и [105].Пусть f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (1, 2), f (0) = 1, с нулямиΛf = Λ, лежащими на двух прямыхnonoππi( π2 + 2ρ)−i( π2 + 2ρ)z = te: t∈Rиz = te: t∈R .Следующие два утверждения эквивалентны:nΛ (r)= β,r→+∞ r ρ∃ limln |f (ix)f (−ix)|= πβx→+∞xρ∃ limln |f (x)f (−x)|= 0.x→+∞xρи ∃ lim(3.57)Отметим существенные в свете рассматриваемых нами задач особенностиэтого результата:а) последовательность нулей измерима,б) положение прямых привязано к порядку ρ ∈ (1, 2),в) пределы в (3.57) лишь косвенно связаны с величиной типа функции.Укажем также, что доказательство приведенного результата основано на применении классической теории Левина–Пфлюгера целых функций вполне регулярного роста.
Наш метод охватывает целые функции порядка ρ ∈ (0, 2)с нулями на двух прямых, расположение которых не зависит от величины порядка, причем сама последовательность нулей не предполагается измеримой. Мы будем опираться на следующий результат (см. [97]), в котором через Γθ = {z ∈ C : | arg z| 6 θ} обозначен угол, ограниченный лучамиγ±θ = {z ∈ C : arg z = ±θ} .Пусть f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями Λf = Λ ⊂ Γθ ,θ ∈ [0, π2 ], имеющими ρ -плотности ∆ρ (Λ) = β, ∆ ρ (Λ) > α. Тогда ρ -типтакой функции удовлетворяет неравенствуσρ(f ) > β Cθ (k, ρ),183k=α,β(3.58)гдеπkCθ (k, ρ) =cos ρ θ + maxa>0sin πρZaa−ρ − kτ −ρak 1/ρτ + cos θdτ.
(3.59)τ 2 + 2 τ cos θ + 1Равенство в (3.58) достигается для некоторой функции f0(z) с нулями,расположенными на лучах γθ , γ−θ и имеющими ρ -плотности ∆ρ (Λf0 ) = β,∆ ρ (Λf0 ) = α.Приведенный результат позволяет доказать теорему о росте максимумамодуля целой функций с нулями на двух прямых.Теорема 3.15.
Пусть f (z) — целая функция порядка ρ ∈ (0, 2) с нулями, имеющими верхнюю ρ -плотность β , нижнюю ρ -плотность > α ,и лежащими на двух прямых, пересекающихся в точке z = 0 под углом2 θ ∈ [0, π2 ] . Тогда имеет место неравенство ρβσρ (f ) > C2θ k,,22k=α,β(3.60)где Cθ (k, ρ) определена формулой (3.59). Для каждой пары рассматриваемых значений ρ и θ существует функция, реализующая равенство в (3.60).Доказательство. Без потери общности можно считать, что последовательность нулей Λf = {λn } лежит на множествеLθ := γθ ∪ γ−θ ∪ (−γθ ) ∪ (−γ−θ )с фиксированным θ ∈ [0, π4 ]. По условию ∆ρ (Λf ) = β, ∆ ρ (Λf ) > α.
Согласно представлению (3.44) имеем∞ Yzzf (z) = eaz1−e λn ,a ∈ C.λnn=1Рассмотрим вспомогательную функциюF (z) = f (z) f (z) f (−z) f (−z),где, как обычно, черта означает комплексное сопряжение. Если по-прежнему{rn } обозначает последовательность модулей нулей f (z) , выписанную в поnnрядке возрастания, то lim ρ = β, lim ρ > α, а нули функции F (z) обраn→∞ rnn→∞ rnзуют множество ΛF = rn eiθ ∪ rn e−iθ ∪ −rn eiθ ∪ −rne−iθ .184ПоэтомуF (z) =∞ Yn=1гдеF1 (z) =z1−rn eiθ∞ Yn=1z1−µn eiψz1−rn e−iθz1−µn e−iψz1+rn eiθ,z1+rne−iθh πiψ = 2 θ ∈ 0,,2=: F1 (z 2),µn = rn2 .Поскольку нули ΛF1 лежат во множестве γψ ∪γ−ψ и распределены одинаковона каждом луче γψ и γ−ψ , тоnn∆ ρ2 (ΛF1 ) = lim ρ = lim ρ = 2 βn→∞n→∞ rnµn2и, аналогично,∆ ρ2 (ΛF1 ) > 2 α,причем 0 <ρ2< 1 . Теперь к функции F1 (z) можно применить оценку (3.58): ρ2α ασ ρ2 (F1) > 2 β C2θ k,= .,k=22ββУчитывая, что F (z) = F1 (z 2 ), имеем σ 2ρ (F1) = σρ(F ).
Отсюда−ρ−ρσρ(F ) = lim r ln MF (r) = lim r ln max f (z) f (z) f (−z) f (−z) 6r→+∞r→+∞|z|=r6 4 lim r−ρ ln Mf (r) = 4 σρ(f ).r→+∞Таким образом, для любой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 2) с нулямиΛf ⊂ Lθ , ∆ρ (Λf ) = β, ∆ ρ (Λf ) > α , справедлива оценка ρ11βρσρ (f ) > σρ (F ) = σ 2 (F1) > C2θ k,,4422совпадающая с (3.60).Для доказательства точности оценки (3.60) воспользуемся примером экстремальной целой функции f0 (z), доставляющей равенство в (3.58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
