Диссертация (1154389), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Значит интеграл в формуле (3.108) берется по стягивающемуся с ростом x ∈ [0, 1] отрезку. Величина интеграла при этом убывает, чтовлечет возрастание ϕ′(x) . Следовательно, функция ϕ(x) выпукла на [0, 1] .Кроме того,Из приведенных выше соотношений a′i (x) = −1π1ϕ′(x) > ϕ′(0) =cos ρθ −sin πρρZae ρ1t−ρ(tR(t))′ dt =ρ0Z+∞t−ρ (tR(t))′ dt > 0.1ae ρПоэтому функция ϕ(x) также возрастает на [0, 1]. При вычислении несобственного интеграла мы воспользовались результатом из [82, гл. 2, раздел 2.2.9].222Поскольку ϕ(1) = ϕ′(1) =π cos ρθ, то в силу выпуклости ϕ(x) имеемsin πρϕθ, a (x) = ϕ(x) > ϕ(1) + ϕ′ (1)(x − 1) =π cos ρθ π cos ρθπx cos ρθ+(x − 1) =.sin πρsin πρsin πρОтсюда заключаем, чтоπ k ∗ cos ρθ1 ∗ ∗∗C (k , ρ) = max {ϕθ,a (k )} >.a>0ρsin πρАналогичным образом получаем следующую оценку:ϕθ, a(x) = ϕ(x) > ϕ(0) + ϕ′(0)x =1ρae11Ze ln(1 + 2ae ρ cos θ + (ae ρ )2) π cos ρθ 1=+ x−t−ρ (tR(t))′ dt .12sin πρρ(ae ρ )ρ0Если точка a0 = a0 (ρ, θ) такова, чтоCθ∗(ρ)ln(1 + 2a0 cos θ + a20 )ln(1 + 2a cos θ + a2 )=,= maxa>0aρaρ0то1 ∗ ∗Cθ (k , ρ) = max {ϕθ, a (k ∗)} > ϕa0 e−1/ρ (k ∗) =a>0ρZa01π cos ρθe−t−ρ (tR(t))′ dt .= Cθ∗(ρ) + k ∗ 2sin πρρ0С другой стороны, опять используя выпуклость ϕ(x) и учитывая, что1ϕ(0) =Zae ρ011e ln(1 + 2ae ρ cos θ + (ae ρ )2)ea−ρ R(t) dt =6 Cθ∗ (ρ),122(ae ρ )ρзапишемϕθ, a (x) = ϕ(x) 6 ϕ(1)x + ϕ(0)(1 − x) 6πx cos ρθ e ∗+ Cθ (ρ)(1 − x).sin πρ2Тогдаπ k ∗ cos ρθ e ∗1 ∗ ∗∗Cθ (k , ρ) = max {ϕθ, a (k )} 6+ Cθ (ρ)(1 − k ∗).a>0ρsin πρ2Полученную информацию соберем в отдельное утверждение.223Предложение 3.1.

При любых k ∗ ∈ [0, 1], ρ ∈ (0, 1), θ ∈ [− π2 , π2 ] справедливы следующие оценки:πk ∗ ρρe ∗πk ∗ ρ∗ ∗cos ρθ 6 Cθ (k , ρ) 6cos ρθ +Cθ (ρ)(1 − k ∗ ),sin πρsin πρ2πk ∗ ρρe ∗∗ ∗Cθ (k , ρ) >cos ρθ +Cθ (ρ) − k ∗sin πρ2Za0−ρtt2 cos θ + 2 t + cos θdt ,(t2 + 2 t cos θ + 1)20где a0 — точка, на которой достигается максимум в определении Cθ∗(ρ) .Замечание 3.3. Доказанное при фиксированных a > 0, θ ∈ [− π2 , π2 ] строгое возрастание функции ϕ(x) = ϕθ, a (x) влечет строгое возрастание попеременной k ∗ максимума Cθ∗(k ∗ , ρ) = ρ max {ϕθ, a (k ∗)} . Этот факт позa>0воляет установить интересное свойство экстремальных функций, доставляющих равенства в оценках из теорем 3.16 – 3.24.

Именно, каждая такаяфункция имеет минимально допустимую условиями своих теорем нижнюю усредненную ρ -плотность нулей.В самом деле, если, например, в теореме 3.19 нули Λf функции f (z)имеют нижнюю усредненную ρ -плотность ∆ ∗ρ (Λf ) = α1∗ > α∗ , то величина ее ρ -типа подчинена условию ∗ ∗ α∗ α1σρ (f ) > Cθ, ρ > Cθ∗,ρ .∗ββ∗Такая функция f (z) не может быть экстремальной в теореме 3.19. Этоже замечание справедливо и в отношении других теорем.Этим замечанием мы завершаем рассмотрение цикла экстремальных задач, связывающих тип целой функции с плотностными характеристиками еенулей. Заключительный параграф этой главы посвящен исследованию аналогичных проблем для нижнего типа целой функции.3.5 Экстремальные задачи для нижнего типацелой функцииПусть ρ > 0 . Нижним ρ -типом целой функции f (z) и ее ρ -типом называются соответственно величиныσ ρ (f ) = lim r−ρ ln max |f (z)| ,r→+∞σ ρ (f ) = lim r−ρ ln max |f (z)| .r→+∞|z|=r224|z|=rКак видно из предыдущих параграфов этой главы, влияние основныхплотностных характеристик последовательности нулей целой функции в случаях, когда они расположены, например, в R+ или произвольно в C , на величину ее типа полностью изучено.

С другой стороны, в статье В. С. Азарина [6](см. также обзор [44]) показано, что целая функция с измеримой последовательностью нулей может не иметь совершенно регулярного роста модуля, т. е.величины ее ρ -типа и нижнего ρ -типа могут не совпадать. Для полноценногоописания поведения даже таких функций f (z) с известной плотностью нулей требуется знать точный диапазон изменения не только ρ -типа σρ(f ) , нои нижнего ρ -типа σ ρ (f ) . Исследованию экстремальных задач, включающихнижний индикатор и нижний тип целых функций при заданном диапазоне изменения плотностных характеристик нулей, посвящены работы А.

А. Гольдберга [42], [43], А. А. Кондратюка [55], В. С. Азарина [7]. Отметим также результаты И. Ф. Красичкова-Терновского, связанные с оценками снизу для целых функций конечного порядка через близкую усредненную характеристикураспределения нулей — индекс концентрации (см., например, [61]). Однако,самым естественным задачам, связанным с нижним типом при фиксированных значениях плотностей, уделялось гораздо меньше внимания. Недостаток же фактов общей теории побуждал к поиску частных ответов в каждойконкретной ситуации.

Подтверждение сказанному можно найти в известноймонографии А. Ф. Леонтьева [63, гл. VI, § 2, c. 405–409].Этот параграф посвящен нахождению точных двусторонних оценок нижнего ρ -типа целой функции с положительными или произвольно расположенными на плоскости нулями заданных усредненных плотностей (см. [27]).Приведем вначале известное соотношениеσ ρ (f ) > ∆∗ρ (Λ) >∆ ρ (Λ),ρ(3.109)которое вытекает непосредственно из формулы Иенсена и неравенств, связывающих обычные и усредненные плотности.

Некоторые оценки предварительного характера для нижнего ρ -типа функции f (z) с Λf ⊂ R+ даны взаметке [30]. Оценки сверху нижнего ρ -типа через нижние ρ -плотности вматематической литературе вообще отсутствуют. В работе [34] найдено объяснение этому факту. Именно, обоснована принципиальная невозможностьоценки сверху нижнего типа только через нижнюю ρ -плотность. Из полученной ниже теоремы 3.30 также следует, что нельзя оценить сверху нижнийρ -тип только через нижнюю усредненную ρ -плотность.

Однако, оценки нижнего ρ -типа сверху, учитывающие обе ρ -плотности, возможны, и в [34] доказан такой точный результат, утверждающий дополнительно, что наибольшая225возможная величина нижнего ρ -типа не зависит от расположения нулей целой функции на плоскости.Для произвольного порядка ρ ∈ (0, 1) и любых чисел α > 0 и β > 0,связанных условием α 6 β, справедливы равенстваI.sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C, ∆ ρ (Λ) > α, ∆ ρ (Λ) = β == sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α, ∆ ρ (Λ) = β =: S(α, β; ρ).II.πβS(α, β; ρ) =− supsin πρ a>01/ρa(β/α)Zβτ −ρ − αa−ρdτ.τ +1aВерхняя грань S(α, β; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности Λ0 , у которой ∆ ρ (Λ0) = α и ∆ ρ (Λ0 ) = β.Ниже мы предъявим неулучшаемые оценки нижнего ρ -типа и снизу исверху через усредненные ρ -плотности корней, решив экстремальные задачив двух принципиальных случаях: корни функции лежат на одном луче; корнифункции произвольно распределены на плоскости.

Речь идет о следующихэкстремальных задачах.Пусть заданы числа ρ > 0, β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] . Требуется вычислитьэкстремальные величины:s∗C (α∗ ; ρ) := inf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C, ∆ ∗ρ (Λ) = α∗ ,(3.110)on∗∗∗∗∗∗∗s C (α , β ; ρ) := inf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C, ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β ,(3.111)∗∗∗∗(3.112)s R+ (α ; ρ) := inf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = α ,on∗∗∗∗∗∗∗s R+ (α , β ; ρ) := inf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β ,(3.113)on∗∗∗∗∗∗∗S C (α , β ; ρ) := sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C, ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β ,(3.114)on∗∗∗∗∗∗∗S R+ (α , β ; ρ) := sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β .(3.115)В § 3.5.1 мы решаем экстремальные задачи (3.110)–(3.113).

Из полученныхрезультатов следует, что наименьшие возможные значения нижнего ρ -типав каждом из указанных случаев расположения нулей на плоскости не зависятот верхней усредненной ρ -плотности. Этот вывод непосредственно вытекаетиз теорем 3.26, 3.27.226Теорема 3.26. Пусть ρ > 0. Для любых фиксированных чисел α∗ > 0и β ∗ > α∗ справедливы равенстваs∗C (α∗ ; ρ) = s∗C (α∗ , β ∗; ρ) = α∗ .e ⊂ CПри любом значении β ∗ > α∗ существует последовательность Λ∗e = α∗ и ∆ (Λ)e = β ∗ , на которойс усредненными ρ -плотностями ∆∗ρ (Λ)ρнижние грани достигаются.Теорема 3.27. Пусть ρ ∈ (0, 1).

Для любых фиксированных чисел α∗ > 0и β ∗ > α∗ справедливы равенстваπρs∗ R+ (α∗ ; ρ) = s∗ R+ (α∗ , β ∗; ρ) =α∗ .sin π ρПри любом значении β ∗ > α∗ существует возрастающая последовательe ⊂ R+ с усредненными ρ -плотностями ∆∗ (Λ)e = β ∗,e = α∗ и ∆ ∗ (Λ)ность Λρρна которой нижние грани достигаются.В § 3.5.2 решены экстремальные задачи (3.114), (3.115) и установлено,что наибольший возможный нижний ρ -тип целой функции, как и в случаеобычных ρ -плотностей, не зависит от расположения нулей на плоскости, нозависит от обеих усредненных ρ -плотностей. Здесь доказывается следующаятеорема.Теорема 3.28.

Для любого ρ ∈ (0, 1) и любых фиксированных чиселβ > 0 , α∗ ∈ [0, β ∗] справедливы равенстваπ∗∗∗∗∗∗∗S C (α , β ; ρ) = S R+ (α , β ; ρ) = ρ β− sup Φ(b) ,sin πρb>0∗гдеΦ(b) =Zb1−ρba2−1ρτ −ρ − a2 b−ρdτ +τ +1baZ11−ρτ −ρ − a1 b−ρdτ = ρτ +1baZ1τ −ρ−1 lnτ +1dτ,b+11−ρbba2eи b1 , b2 — корни уравнения b ln = α∗ / β ∗ (0 6 b1 6 1 6 b2 6 e).bВерхние грани достигаются на некоторой возрастающей последовательноe у которой ∆∗ (Λ)e = α∗ и ∆ ∗ (Λ)e = β ∗.сти Λ,ρρВ последнем параграфе анализируется экстремальная величина из теоремы 3.28, даются простые двусторонние оценки этой величины. Обосновывается также вывод о невозможности получения оценки сверху нижнего ρ -типафункции только через нижнюю усредненную ρ -плотность ее корней.2273.5.1 Оценки снизу нижнего типа целой функцииДоказательство теоремы 3.26.

Пусть числа ρ > 0, α∗ > 0 и β ∗ > α∗фиксированы, а f (z) — целая функция порядка ρ с произвольно расположенной на комплексной плоскости последовательностью нулей Λf = Λ усред∗ненных ρ -плотностей ∆∗ρ (Λ) = α∗, ∆ ρ (Λ) 6 β ∗. Из классической формулыИенсена вытекает неравенство1ln max |f (z)| >|z|=r2πZ2π0ln f (reiϕ ) dϕ = NΛ(r),которое после деления на rρ и перехода к нижнему пределу при r → +∞приводит к оценкеσ ρ (f ) > ∆ ∗ρ (Λ) = α∗ .(3.116)Для завершения доказательства теоремы надо при любых значениях параметров ρ > 0, β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] построить такую целую функцию f˜(z),нижний ρ -тип которой удовлетворял бы равенству σ ρ (f˜) = α∗ .Если α∗ = 0, то, применяя известное неравенство∆ ρ (Λ)/ρ 6 ∆ ∗ρ (Λ) = α∗ = 0,имеем ∆ ρ (Λ) = 0. Но, как показано в работе [34], каждая целая функцияс нулевой нижней ρ -плотностью корней имеет нулевой нижний ρ -тип.Пусть теперь α∗ > 0. Из теоремы 2.1 работы А.

Ю. Попова [81] извлекаем,что для любых ρ > 0 и k ∈ (0, 1] существует целая функция f0(z) с нулевыммножеством Λ0 , удовлетворяющая условиям∆ ∗ρ (Λ0)k= ,ρ∗∆ρ (Λ0)ek−1=.ρКроме того, в доказательстве этой теоремы показано (см. [81, формула (2.23)]),что для неограниченного множества значений rs выполняется соотношениеln max |f0(z)||z|=rsrsρ=k+ o(1),ρrs → +∞.Отсюда с учетом (3.116) следует равенство σ ρ (f0) =k.ρex−1Пользуясь тем, что функцияна промежутке (0, 1] убывает от +∞xβ∗α∗ ρek−1= ∗ . Для числа q =расдо 1, найдем k ∈ (0, 1] из условияkαkсмотрим функцию f˜(z) = f0 (q 1/ρz) . Ее нулевое множество Λ̃ = q −1/ρΛ0228имеет усредненную считающую функцию NΛ̃(r) = NΛ0 q 1/ρr .

Характеристики

Список файлов диссертации