Диссертация (1154389), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

При фиксированных ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] найтивеличинуon∗∗∗∗∗∗ese(α , β ; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ρ(Λ) = ∆ ρ (Λ) > α , ∆ρ (Λ) = β .(3.5)Сформулируем главный результат параграфа (см. [32]).Теорема 3.1. Для произвольного ρ ∈ (0, 1) и любых чисел α∗ > 0 иβ ∗ > 0 ( α∗ 6 β ∗ ) справедливо равенствоbZa2 β ∗a−ρ − α∗ τ −ρ  πα∗∗∗se(α , β ; ρ) = ρ + maxdτ  ,(3.6)b>0sin πρτ +11/ρb(a1 /a2 )в котором a1 = a1 (α∗, β ∗) и a2 = a2 (α∗, β ∗) — корни уравненияa lne= α∗ / β ∗ ,aa1 6 1 6 a2 .(3.7)Нижняя грань se(α∗, β ∗; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности положительных чисел Λ0 с характеристикамиe ρ(Λ0 ) = ∆∗ (Λ0 ) = α∗∆ρ138∗и ∆ρ (Λ0) = β ∗ .На первый взгляд, решение такой экстремальной задачи для дискретноизмеримых последовательностей корней изучаемых целых функций легко∗получить, сочетая равенство (3.4) теоремы B с равенствами ∆ = ρ a1 ∆ ,∗∆ = ρ a2 ∆ , установленными в теореме 1.22 первой главы.

На самом деле, это не так. Совместное применение отмеченных результатов приводит коценкеaZa2 a−ρ − a1 τ −ρ ∗∗∗  πa1se(α , β , ρ) > ρβ + maxdτ  ,(3.8)a>0sin πρτ +1a(a1 /a2 )1/ρкоторая, однако, уже не является точной.

Одна из причин кроится в том,что экстремальная последовательность Λ0 ⊂ R+ из теоремы B не принадлежит в общей ситуации классу последовательностей, по которому беретсяточная нижняя грань в определении se(α∗, β ∗; ρ). Покажем, что за исключением крайних случаев α∗ = 0 и α∗ = β ∗ в оценке (3.8) будет стоять строгийзнак неравенства.При α∗ = 0 правые части (3.6) и (3.8) равны C(ρ)ρeβ ∗, так как в этомслучае a1 = 0, a2 = e.При α∗ = β ∗ равенство указанных частей сохранится, но теперь обе ониπρβ ∗, поскольку здесь a1 = a2 = 1.совпадают с величинойsin πρНаконец, проверим, что при α∗ ∈ (0, β ∗) справедливо строгое неравенствоaZa2 β ∗a−ρ − α∗ τ −ρ  πα∗ρ+ maxdτ  >a>0sin πρτ +11/ρa(a1 /a2 )πa1> ρβ + maxa>0sin πρ∗Zaa(a1 /a2 )1/ρa2 a−ρ − a1 τ −ρ dτ  .τ +1Последнее неравенство после деления обеих его частей на ρβ ∗ и введенияα∗∗обозначения k = ∗ ∈ (0, 1) приводится к видуβπk ∗+maxsin πρ a>0Zaa2 a−ρ − k ∗ τ −ρπa1dτ >+maxτ +1sin πρ a>0a(a1 /a2 )1/ρZaa(a1 /a2 )1/ρОбозначимE = [0, a (a1 /a2 )1/ρ ] ∪ [a, +∞)139a2 a−ρ − a1 τ −ρdτ.τ +1и рассмотрим функцию вещественной переменной ξπξ+fa (ξ) :=sin πρZaa2 a−ρ − ξτ −ρdτ =τ +11/ρa(a1 /a2 )=ξZEτ −ρ dτ1+a.+ a2 a−ρ ln1/ρτ +11 + a (a1 /a2)α∗eПоскольку эта линейная функция возрастает и k = ∗ = a1 ln> a1 , тоβa1выполняется неравенствоfa (k ∗) > fa(a1 ).∗Выбирая в качестве a точку a∗ , в которой достигает своего максимума правая часть (3.8), получаемse(α∗ , β ∗; ρ) > ρβ ∗ fa∗ (k ∗) > ρβ ∗ fa∗ (a1),α∗ ∈ (0, β ∗),что заканчивает нашу проверку.Полное доказательство теоремы 3.1 намного сложней и состоит из двухчастей: вывод оценки для типа и обоснование ее точности.

В следующем разделе устанавливается требуемая оценка снизу для ρ -типа целой функции LΛ .Первоначально точность этой оценки гарантировал экстремальный пример,построенный В. Б. Шерстюковым в совместной работе [32]. Мы не приводимконструкцию этого примера, поскольку в § 3.3.2 при исследовании роста целых функций с нулями в угле будет предъявлен общий пример экстремального характера, принадлежащий автору и основанный на принципиально иныхидеях.3.1.2 Доказательство оценки снизуe = ∆∗ будем устанавливать заявИтак, при выполнении условия ∆ = ∆eленное равенствоaZa2 β ∗a−ρ − α∗ τ −ρ  πα∗∗∗se(α , β ; ρ) = ρ + maxdτ  .a>0sin πρτ +11/ρa(a1 /a2 )Величина se(0, β ∗; ρ) была найдена ранее в совместной работе [108]:se(0, β ∗, ρ) = C(ρ)ρeβ ∗,140что является частным случаем формулы (3.6) при α∗ = 0 (функция C(ρ) таже, что и в теореме А).

Поэтому всюду далее считаем α∗ > 0. Кроме того,не ограничивая общности рассуждений, рассматриваем бесконечные произведения вида∞ YzLΛ(z) =1−,λn > 0.λnn=1Запишем при каждом R > 0 известное представлениеln max |LΛ(z)| =|z|=R∞Xn=1ln 1 +RλnZ+∞ R=dnΛ(x).ln 1 +x0Интегрирование по частям приводит к формуле+∞ Z+∞Z+∞ RnΛ (x) R dxR ln 1 ++.dnΛ (x) = nΛ(x) ln 1 +xx 0x R+x00Поскольку подстановка обращается в нуль, то интегрируя еще раз по частямNΛ(Rt)и полагая x = Rt и ϕR (t) :=, приходим к равенству(Rt)ρZ+∞R−ρ ln max |LΛ(z)| =ϕR (t)|z|=Rtρdt.(1 + t)2(3.9)0Пусть теперь зафиксированы произвольно числа a > 0 и ε ∈ (0, α∗ ). Найдем из определения усредненной нижней ρ -плотности последовательности Λcчисло c > 0 так, чтобы при каждом R > ac для всех t >выполнялосьRнеравенство ϕR (t) > αε∗ := α∗ − ε.

В частности, ϕR (1/a) > αε∗ . При всехзначениях аргумента t > 1/a запишем оценкуNΛ (Rt) = NΛ (R/a) +ZRtnΛ (x)dx > NΛ(R/a) + nΛ(R/a) ln at.xRa−1cОбозначив ξ(R) := (R/a)−ρnΛ (R/a), видим, что при всех R > ac и t >Rсправедливо неравенствоNΛ (R/a) + nΛ (R/a) ln at ϕR (1/a) + ξ(R) ln atαε∗ + ξ(R) ln atϕR (t) >=>.(Rt)ρ(at)ρ(at)ρОбозначим через s = a2 /a1 отношение большего корня уравненияea ln = α∗/ β ∗a141к меньшему и рассмотрим функцию ∗ 1/ρα,t∈(0,1/a]∪s/a,+∞,εψR (t) =α∗ + ξ(R) ln at1/ρ ε, t ∈ 1/a, s /a .(at)ρВыбор промежутков в определении функции ψR (t) станет ясен из дальнейшего. Сейчас на основе проведенных выкладок мы можем только утверждать,cсправедливо неравенствочто при каждом R > ac и любых t >R(3.10)ϕR (t) > ψR (t).Из (3.9) и (3.10) заключаем, что при фиксированном R > ac имеет местооценкаZ+∞tρ−ρdt.(3.11)R ln max |LΛ(z)| >ψR (t)(1 + t)2|z|=RcR−1Преобразуем интеграл, стоящий в правой части:−1+∞+∞aZZZtρtρtρ∗ψR (t)dt = αε dt +dt +222(1 + t)(1 + t)(1 + t)cR−1cR−1a−1 s1/ρa−1Z s1/ρZ+∞tραε∗ + ξ(R) ln attρ∗+dt=αdt +ε(at)ρ(1 + t)2(1 + t)2a−1cR−1−1cRa−1ZZ s1/ρ ∗tραε + ξ(R) ln attρ∗∗  πρ−αdt=αdt−++εε(at)ρ(1 + t)2sin πρ(1 + t)20a−1+a−1Z s1/ραε∗(a−ρ − tρ ) + a−ρ ξ(R) ln atdt.(1 + t)2a−1Выбирая последовательность Rj → +∞, для которойlim ξ(Rj ) = ∆ρ (Λ) = ∆,j→∞и заменяя в последнем интеграле at на x, из (3.11) выводим оценкуσρ(LΛ) > limZ+∞j→∞cRj−1ρπρtdt=αε∗ +a1−ρψRj (t)2(1 + t)sin πρZs1/ρ1142αε∗ (1 − xρ ) + ∆ ln xdx.(x + a)2Поскольку число ε ∈ (0, α∗ ) взято произвольно, а для дискретно измеримойпоследовательности Λ имеем ∆ = ρa2 β ∗ (см.

формулу (1.119) в теореме 1.22главы 1), тоπρ ∗σρ (LΛ) >α + a1−ρsin πρZs1/ρα∗ (1 − xρ) + ρa2 β ∗ ln xdx.(x + a)21Если справа в полученном неравенстве проинтегрировать по частям, то онопримет более простой вид. Действительно,Zs1/ρ1s1/ρα∗ (1 − xρ ) + ρa2 β ∗ ln xα∗ (1 − xρ) + ρa2 β ∗ ln x dx = − +(x + a)2x+a1+ρZs1/ρa2 β ∗ − α∗ xρdx.x(x + a)1Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, так какaaa222+ a2 β ∗ ln = α∗ 1 −+α∗ (1 − s) + a2 β ∗ ln s = α∗ 1 −a1a1a1 ∗∗aeaααa222= α∗ 1 −+ β∗ − ∗ += 0.+ a2 β ∗ ln + a2 β ∗ lnea1a1βa1 β ∗В результате установлено, чтоσρ (LΛ) >πρ ∗α + a1−ρρsin πρZs1/ρa2 β ∗ − α∗xρdx.x(x + a)1После замены переменной x = a/τ с учетом свободы в выборе a > 0 окончательно получаемaZa2 β ∗ a−ρ − α∗ τ −ρ  πα∗σρ (LΛ) > ρ + maxdτ  .a>0sin πρτ +11/ρa(a1 /a2 )Основная оценка в теореме 3.1 установлена.

Точность оценки, как указаноранее, вытекает из общего результата § 3.3.2.Теперь мы готовы сформулировать ответ на вопрос А. Ю. Попова: насколько сильно может отличаться тип целой функции при порядке ρ ∈ (0, 1)143с дискретно измеримой последовательностью положительных нулей заданной усредненной верхней ρ -плотности от своего наибольшего возможного приданных условиях значения? Соответствующий результат является следствием основной теоремы при α∗ = 0.Теорема 3.2. Пусть ρ ∈ (0, 1). Всякая целая функция f (z) , последовательность корней которой расположена на одном луче и дискретно изме∗рима с фиксированной усредненной верхней ρ -плотностью ∆ , имеет типσρ(f ), удовлетворяющий неулучшаемым с обеих сторон оценкам∗C(ρ)ρe ∆ 6 σρ(f ) 6πρ∗∆ .sin πρ(3.12)Здесь C(ρ) — величина, определенная формулой (3.2).Как уже отмечалось, верхняя оценка в (3.12) достигается для функцийс измеримой последовательностью положительных корней.

В этом случаесуществующая по условию теоремы 3.1 дискретная усредненная плотностьнулей совпадает с их усредненной плотностью.Оценка снизу в (3.12) достигается, например, на целой функции с положительными нулями и типом σ = C(ρ) ∆, построенной в работе [79]. В самом∗деле, как показано в [108], для этой функции ∆ = ρe ∆ .3.1.3 Целые функции с неизмеримыми нулямиОдна из основных задач этого раздела состоит в нахождении наименьшего возможного значения типа целой функции порядка ρ ∈ (0, 1) с нулямина одном луче заданной верхней усредненной ρ -плотности. Предложенныйподход связан с решением более общей экстремальной задачи, в которой учитываются и верхняя и нижняя усредненные ρ -плотности нулей.Далее, если не оговорено противное, рассматривается случай ρ ∈ (0, 1).Хорошо известны следующие точные „классические“ оценки (см., например,[62], [45], [90]):πρ∗∗∆ρ (Λ) 6 σρ (f ) 6∆ρ (Λ) .(3.13)sin πρОценка снизу в (3.13) достигается на довольно сложно устроенной последовательности, аргументы которой в определенном смысле равномерно распределены на [0, 2π] [62, гл.

4, §1]. Оценка же сверху в (3.13) достигается в случае,когда последовательность нулей измерима и все нули функции расположенына одном луче.Возникает естественный вопрос, поставленный А. Ю. Поповым: насколько уточняется левое неравенство в (3.13), если корни целой функции лежат144на одном луче? Ответ на этот вопрос принципиален не только для внутреннего развития теории целых функций, но и представляет интерес в проблеменахождения радиуса полноты систем экспонент ([129], [77], [91], [92]).Отметим еще, что верхняя усредненная ρ -плотность последовательностикак количественная характеристика скорости стремления ее элементов к бесконечности стала завоевывать признание во многом благодаря появлениюпростой, но неулучшаемой оценке снизу в (3.13), справедливой, кстати, прилюбом ρ > 0 и вытекающей из формулы Йенсена.Дадим точную формулировку проблемы.

Характеристики

Список файлов диссертации